Đồ họa máy tính - Các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều

áp một phép tịnh tiến khác lên P’,
ta được điểm ( )',' yxQ . Như vậy, Q là ảnh của phép
biến đổi kết hợp hai phép tịnh tiến liên tiếp
( )111 , yxT trtrM và ( )222 , yxT trtrM có tọa độ :
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }222111222111 ,.,.,.,. yxTyxTyxTyxT trtrMtrtrMPtrtrMtrtrMPQ ==
· Ta có :
( ) ( )
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=
1
010
001
.
1
010
001
,.,
2211
222111
yxyx
yxTyxT
trtrtrtr
trtrMtrtrM
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
++
=
1
010
001
2121 yyxx trtrtrtr
hay : ( ) ( ) ( )2121222111 ,,., yyxxTyxTyxT trtrtrtrMtrtrMtrtrM ++=
· Vậy kết hợp hai phép tịnh tiến là một phép tịnh
tiến. Từ đó ta có kết hợp của nhiều phép tịnh tiến
cũng là một phép tịnh tiến.
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 8/16
Kếát hợïp cáùc phéùp biếán đổåi tỉ lệä
· Tương tự như phép tịnh tiến, ta có tọa độ điểm
( )',' yxQ là điểm có được sau khi kết hợp hai phép tỉ
lệ ( )111 , yxS ssM và ( )222 , yxS ssM là :
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }222111222111 ,.,.,.,. yxSyxSyxSyxS ssMssMPssMssMPQ ==
· Ta có :
( ) ( )
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=
100
00
00
.
100
00
00
,., 2
2
1
1
222111 y
x
y
x
yxSyxS s
s
s
s
ssMssM
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=
100
0.0
00.
21
21
yy
xx
ss
ss
hay : ( ) ( ) ( )2121222111 .,.,., yyxxSyxSyxS ssssMssMssM =
· Vậy kết hợp hai phép tỉ lệ là một phép tỉ lệ. Dễ
dàng mở rộng cho kết quả : kết hợp của nhiều phép
tỉ lệ cũng là một phép tỉ lệ.
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 9/16
Kếát hợïp cáùc phéùp quay
· Tương tự, ta có tọa độ điểm ( )',' yxQ là điểm phát
sinh sau khi kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ
( )11 aRM và ( )22 aRM là :
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }22112211 .... aaaa RRRR MMPMMPQ ==
· Ta có :
( ) ( )
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
-
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
-=
100
0cossin
0sincos
.
100
0cossin
0sincos
. 22
22
11
11
2211 aa
aa
aa
aa
aa RR MM
( ) ( )
( ) ( )
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
++-
++
=
100
0cossin
0sincos
2121
2121
aaaa
aaaa
hay : ( ) ( ) ( )212211 . aaaa += RRR MMM
· Vậy kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ là một
phép quay quanh gốc tọa độ. Từ đó dễ dàng suy ra
kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng
là một phép quay quanh gốc tọa độ.
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 10/16
Phéùp quay cóù tââm quay làø điểåm bấát kì
· Giả sử tâm quay có tọa độ ( )RR yxI , , ta có thể xem
phép quay quanh tâm I một góca được kết hợp từ
các phép biến đổi cơ sở sau :
¨ Tịnh tiến theo vector tịnh tiến ( )RR yx -- , để dịch chuyển
tâm quay về gốc tọa độ (đưa về trường hợp quay quanh
gốc tọa độ).
¨ Quay quanh gốc tọa độ một góc a .
¨ Tịnh tiến theo vector tịnh tiến ( )RR yx , để đưa tâm quay
về lại vị trí ban đầu.
· Ta có ma trận của phép biến đổi :
( ) ( ) ( ) ( )RRTRRRTRRR yxMMyxMyxM ,..,,, aa --=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
-
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
--
=
1
010
001
.
100
0cossin
0sincos
.
1
010
001
RRRR yxyx
aa
aa
( ) ( ) ÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
-+-+-
-=
1cos1.sin.sincos1
0cossin
0sincos
RRRR yxyx aaaa
aa
aa
x
y
x
y
a
x
y
I(xR,yR)
x
y
I(xR,yR)
(a) (b) (c) (d)
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 11/16
 Mộät sốá tính chấát củûa phéùp biếán đổåi affine
· Bảo toàn đường thẳng : ảnh của đường thẳng qua
phép biến đổi affine là đường thẳng.
¨ Để biến đổi một đoạn thẳng qua hai điểm A và B, chỉ
cần thực hiện phép biến đổi cho A và B.
¨ Để biến đổi một đa giác, chỉ cần thực hiện phép biến đổi
đối với các đỉnh của đa giác.
· Bảo toàn tính song song : ảnh của hai đường thẳng
song song là song song.
¨ Ảnh của các hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình
bình hành sau phép biến đổi là hình bình hành.
· Bảo toàn tính tỉ lệ về khoảng cách : Nếu điểm C chia
đoạn AB theo tỉ số t thì ảnh của C cũng sẽ chia ảnh
của đoạn AB theo tỉ số t.
¨ Trong hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường nên các đường chéo của bất kì hình
bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
¨ Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến
chia mỗi đường theo tỉ số 1:2. Do ảnh của tam giác đều
qua phép biến đổi affine là một tam giác nên giao điểm
của các đường trung tuyến trong một tam giác cũng sẽ
chia chúng theo tỉ lệ 1:2.
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 12/16
Phéùp đốái xứùng
· Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay quanh
trục đối xứng một góc 1800.
· Trục đối xứng là trục hoành : ÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
-=
100
010
001
RfxM
· Trục đối xứng là trục tung : ÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ-
=
100
010
001
RfyM
Phéùp biếán dạïng
· Phép biến dạng là phép biến đổi làm thay đổi, méo
mó hình dạng của các đối tượng.
· Biến dạng theo phương trục x sẽ làm thay đổi hoành
độ còn tung độ vẫn giữ nguyên : ÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=
100
01
001
xyShx shM
· Biến dạng theo phương trục y sẽ làm thay đổi tung
độ còn hoành độ vẫn giữ nguyên : ÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=
100
010
01 yx
Shy
sh
M
x
y
(1,1) (3,1)
(3,3)(1,3)
(4,1) (6,1)
(12,3)(10,3)
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 13/16
Phéùp biếán đổåi ngượïc
· Phép biến đổi ngược dùng để undo một phép biến đổi
đã thực hiện.
· Q là ảnh của P qua phép biến đổi T có ma trận biến
đổi M là : PMQ = , nên phép biến đổi ngược T-1 sẽ
có ma trận biến đổi là M-1 với M-1 là ma trận nghịch
đảo của ma trận M.
· Với giả thiết ban đầu về ma trận M là 0¹- bcad ,
ta có công thức tính ma trận nghịch đảo M-1 của
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=
1
0
0
fe
dc
ba
M là : ÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
--
-
-
-
=-
1
0
0
11
afbedecf
ac
bd
bcad
M
· Ma trận của các phép biến đổi ngược của các phép
biến đổi cơ sở tịnh tiến, tỉ lệ, quay :
( ) ( )yxT
yx
yxT trtrM
trtr
trtrM --=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
--
=- ,
1
010
001
,1
( ) ÷÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
=
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
ỉ
=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
=-
yx
S
y
x
x
y
yx
yxS ss
M
s
s
s
s
ss
ssM 1,1
100
010
001
100
00
00
1,1
( ) ( )aaa
aa
a -=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ -
=- RR MM
100
0cossin
0sincos
1
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 14/16
Phâân rãõ phéùp biếán đổåi
· Một phép biến dạng theo phương trục x có thể được
phân rã thành tích của một phép biến đổi tỉ lệ và
một phép biến dạng đơn vị, và với một phép biến đổi
tỉ lệ khác theo công thức sau :
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
÷÷
÷
÷
÷
÷
ø
ư
çç
ç
ç
ç
ç
è
ỉ
=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
100
010
00
100
011
001
100
010
001
100
01
001 xyxy
xy
shsh
sh
· Phép biến dạng đơn vị còn có thể được phân rã tiếp :
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
-
÷
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
ç
è
ỉ
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ -
=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
100
0cossin
0sincos
100
010
00
100
0cossin
0sincos
100
011
001
bb
bb
f
f
aa
aa
trong đó 
( )
ï
ỵ
ï
í
ì
=÷÷
ø
ư
çç
è
ỉ
=
==
-
-
01
01
72.311tan
28.58tan
f
b
fa
· Từ đó, một phép biến đổi bất kì có thể được phân rã
thành các phép biến đổi cơ sở sau :
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ư
çç
ç
ç
ç
ç
ç
è
ỉ
-
÷
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
ç
è
ỉ
-
÷
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
ç
è
ỉ
+
=
÷
÷
÷
ø
ư
ç
ç
ç
è
ỉ
1
010
001
100
0
0
100
00
00
100
01
001
1
0
0
2
fe
Q
a
Q
b
Q
b
Q
a
Q
bcad
Q
Q
bdac
fe
dc
ba
trong đó 222 baQ +=
· Suy ra : Bất kì phép biến đổi nào cũng được kết hợp
từ các phép tịnh tiến, tỉ lệ và quay.
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 15/16
Phéùp biếán đổåi giữõa cáùc hệä tọïa độä
· Để thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông
thường đối tượng sẽ được mô tả trong các hệ tọa độ
cục bộ gắn với chúng. Tuy nhiên để có thể hiển thị
toàn bộ một ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành
phần, các mô tả này phải được chuyển về một hệ tọa
độ chung duy nhất.
· Việc chuyển đổi này thường được chia làm hai loại :
chuyển từ các hệ tọa độ không phải là hệ tọa độ
Descartes như hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ
elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, và chuyển đổi
giữa hai hệ tọa độ Descartes. Trong phần này chúng
ta sẽ khảo sát phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ
Descartes với nhau.
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 16/16
· Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O và các
vector đơn vị lần lượt là ji, . Hệ tọa độ (II) là ảnh
của hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), có gốc tọa
độ là O’ và các vector đơn vị lần lượt là vu, .
· Lúc này một điểm ( )yxP , bất kì trong hệ tọa độ (I)
sẽ được biến đổi thành điểm ( )baQ , trong hệ tọa độ
(II). Vấn đề đặt ra ở đây là mối liên hệ giữa ba, với
Myx ,, như thế nào.
· Người ta chứng minh được rằng 
1-= PMQ
P
O i
j
O'
u
v