Đề thi học kỳ I môn Giải tích 1 - Ca 1 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.
Môn học: Giải tích 1.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 1
Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim
x→0
3
√
1 + x3 − x c o t x− x2/3
x c o s x− s in x .
Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong y = x
1
x .
Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y =
1
ln |x− 1 | .
Câu 4 : Giải phương trình vi phân y′ − x2y = x
5 + x2
3
với điều kiện y ( 0 ) = 0 .
Câu 5 : Tính tích phân suy rộng
∫ +∞
1
dx
x19/3 · 3√1 + x2
Câu 6 : Giải phương trình vi phân y′′ − 2 y′ + y = s in ( 2 x ) · c o s x.
Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trị riêng, véctơ riêng.

dx
dt
= 3 x + y + z
dy
dt
= 2 x + 4 y + 2 z
dz
dt
= x + y + 3 z
Đáp án. Câu 1(1 điểm). Khai triển Maclaurint 3
√
1 + x3−x c o t ( x ) − x2
3
= x
3
3
+o( x3 ) ; x c o s x− s in x =
−x3
3
+ o( x3 )
→ I = lim
x→0
3
√
1 + x3 − x c o t x− x2/3
x c o s x− s in x = limx→0
x3
3
+ o( x3 )
−x3
3
+ o( x3 )
= − 1 .
Câu 2(1.5 điểm). Tập xác định x > 0 , đạo hàm: y′ = x1/x · 1
x2
( 1 − ln x) → y′ ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e.
Hàm tăng trên ( 0 , e) , giảm trên ( e,+∞ ) , cực đại tại x = e, fcd = e1/e
lim
x→0+
x1/x = 0 , không có tiệm cận đứng, lim
x→+∞
x1/x = 1 , tiệm cận ngang y = 1 .
Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.
Câu 3(1.5đ). Miền xác định x 
= 0 , x 
= 1 , x 
= 2 . lim
x→0
f ( x) =∞→ x = 0 là điểm gián đoạn loại 2.
lim
x→1
f ( x) =∞→ x = 1 là điểm gián đoạn loại 1, khử được;
lim
x→2
f ( x) =∞→ x = 2 là điểm gián đoạn loại 2.
Câu 4(1.5đ). y = e−
∫
p(x)dx
(∫
q ( x) · e
∫
p(x)dxdx+ C
)
;y = e
∫
x2dx
(∫ x5+x2
3
· e
∫
x2dxdx+ C
)
y = e
x
3
3
(∫ x5+x2
3
· e−x33 dx+ C
)
= e
x
3
3
(
−x3+4
3
· e−x33 + C
)
; y ( 0 ) = 0 ⇔ C = 4
3
.
Câu 5 (1.5đ)
∫ +∞
1
dx
3
√
x19 + x21
⇔
∫ +∞
1
dx
x7 3
√
1 + 1
x2
. Đặt t = 3
√
1 + 1
x2
⇔ t3 = 1 + 1
x2
I =
∫ 1
3
√
2
−3
2
t( t3 − 1 ) 2dt = 3
1 0
· 3
√
4 − 2 7
8 0
1 -CA 1.
Câu 6(1.5đ). Ptrình đặc trưng k2− 2 k+ 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0 = C1ex+C2 ·x · ex. Tìm nghiệm riêng:
yr = yr1 + yr2 , với yr1 =
3
1 0 0
c o s ( 3 x) − 1
2 5
s in ( 3 x ) là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = s in ( 2 x)
2
yr2 =
c o s x
4
là nghiệm riêng của y′′ − 2 y′ + y = s in ( x )
2
. Kết luận: ytq = y0 + yr1 + yr2 .
Câu 7(1.5đ). Ma trận A =


3 1 1
2 4 2
1 1 3

. Chéo hóa A = PDP−1,
với P =


1 − 1 − 1
2 1 0
1 0 1

,D =


6 0 0
0 2 0
0 0 2

,
Hệ phương trình X ′ = A ·X ⇔ X ′ = PDP−1X ⇔ P−1X ′ = DP−1X ,đặt X = P−1Y , có hệ
Y
′
= DY ⇔ y′1 = 6 y1; y′2 = 2 y2; y′3 = 2 y3 → y1 ( t) = C1e6t; y2 ( t) = C2e2t; y3 ( t) = C3e2t
Kluận: X = PY ⇔ x1 ( t) = C1e6t − C2e2t − C3e2t; x2 ( t) = 2 C1e6t + C2e2t;x3 ( t) = C1e6t + C3e2t
2 -CA 1.