Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 3 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009 -20 10
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ L UẬN
CA 3
Câu 1 : Trong k hông gian IR4 với tích vô h ướng chính tắc, cho kh ông gian con
F = { ( x1, x2, x3, x4 ) |x1+x2−x3− 2 x4 = 0 & 2 x1+x2− 3 x3− 5 x4 = 0 & 3 x1+x2− 5 x3− 8 x4 = 0 }
Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của F .
Câu 2 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, b iết ma trận của f trong cơ sở
E = { ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =


− 1 4 − 2
− 3 4 0
− 3 1 3

.
Chéo hoá án h xạ tuyến tính f .
Câu 3 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, b iết ma trận của f trong cơ sở
E = { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =


1 1 2
2 3 0
3 5 −4

.
Tìm cơ s ở và số chiều của Imf .
Câu 4 : Cho A v à B là hai ma trận đồng dạng. Chứng tỏ rằn g A ch éo h oá được khi và chỉ khi B chéo
hoá được.
Câu 5 : Tìm m để ma trận A =


1 4 −1
4 m 2
− 1 2 4

 có ít nhất một trị riêng âm.
Câu 6 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết f ( x) = f ( x1, x2, x3 ) = ( −x2 + 2 x3,− 2 x1 + x2 +
2 x3, x1 − x2 + x3 ) . Tìm m để v éctơ x = ( 2 , 2 ,m) là véctơ riên g của f .
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng tron g hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng 2 x− 3 y = 0 .
Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của các k hông gian con riêng của f . Giải thích rõ.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ). T ìm một cơ sở tùy ý của F : E = { ( 2 ,− 1 , 1 , 0 ) , ( 3 ,− 1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trình Gram-Schmid t đưa về cơ sở trực giao: E1 = { ( 2 ,− 1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 ,− 7 , 6 ) }
Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { 1√
6
( 2 ,− 1 , 1 , 0 ) , 1√
67
( 4 , 1 ,− 7 , 1 ) }
Câu 2(1. 5đ). Chéo hóa ma trận (1.0 đ) A = P ·D · P−1, P =


2 1 1
3 1 3
3 1 4

. D =


2 0 0
0 1 0
0 0 3

.
Cơ s ở cần tìm là B = { ( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma trận của f trong B là D. Các cột của P
là các VTR của A, phải đổi sang cơ sở chính tắc!!
Câu 3(1. 5đ). Dim(Imf ) = r ( A) = 3 ; Im ( f ) ===
1
=. Cơ s ở của Im ( f ) là { ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 ,−4 ,−2 ) }. Cách
khác: Vì Dim(Imf ) = r ( A ) = 3 , nên Im ( f ) là IR3 và cơ sở của Im ( f ) là cơ sở chính tắc của IR3.
Câu 4(1 .0đ). A đồng d ạng B ⇔ ∃Q : B = Q−1 ·A ·Q. Giả sử A chéo hóa được ⇔ A = P ·D ·P−1.
Khi đó B = Q−1 · P ·D · P−1 ·Q⇔ B = ( P−1Q) −1 ·D · ( P−1Q ) ⇔ B = G−1 ·D ·G →đpcm.
Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng th ực. Dạng toàn phươn g tương ứng f ( x, x) = x21 +mx22 + 4 x23 +
8 x1x2 − 2 x1x3 + 4 x2x3. Đưa về chính tắc bằng b iến đổi L agran ge
f ( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3 )
2 + 3 ( x3 + 2 x2 )
2 + ( m− 2 8 ) x22. A có một TR âm ⇔ m < 2 8 .
Câu 6 (1 .5đ). x là VT R của f ⇔ f ( x ) = λ · x⇔ ( f ( 2 , 2 ,m) = λ · ( 2 , 2 ,m)
⇔ ( − 2 + 2 m,− 2 + 2 m,m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨m = 2
Câu 7 (1.5 đ).f : IR2 −→ IR2. VTR là v éctơ qua phép biến đổi có ảnh cùng phương với v éctơ ban
đầu. Các véctơ cùng p hương với véctơ ch ỉ ph ương a = ( 3 , 2 ) của đườn g th ẳng là tất cả các VTR
tương ứng với TR λ1 = 1 ; các v éctơ cùng phương với véctơ pháp tuyến n = ( 2 ,−3 ) của đường
thẳng là tất cả các VTR tươn g ứng với λ2 = − 1 . Vì f là axtt của khôn g g ian 2 ch iều n ên không
còn VTR kh ác. Kluận : Cơ sở của Eλ1 : ( 3 , 2 ) của Eλ2 : ( 2 ,−3 ) .
2