Đề luyện tập môn Đại số tuyến tính - Đề 10 - Đặng Văn Vinh

Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính det( A ) 100, với I là ma trận đơn vị cấp 3 và A =

 2 1 −13 0 4
−2 5 2

.
Câu 2 : Trong không gian IR3 với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con
F = { ( x1, x2, x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } và G =.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩G) ⊥.
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
E = { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A =

 2 2 − 21 3 − 1
− 1 1 1

.
Tìm m để véctơ ( 2 , 1 ,m) là véctơ riêng của f .
Câu 4 : Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của không gian nghiệm của hệ

x + y + z + t = 0
2 x + 3 y + 4 z − t = 0
3 x + 5 y + 7 z − 3 t = 0
4 x + 7 y + 1 0 z − 5 t = 0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2, biết
f ( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ;
f ( 1 ,−1 ) = ( 9 ,−1 ) .
Tìm cơ sở của IR2 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả
∀( x1, x2, x3 ) ∈ IR3 : f ( x1, x2, x3 ) = ( 3 x1 + x2 − x3, 2 x1 − x2 + 2 x3, x1 − x2 + 2 x3 ) .
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }.
Câu 7 : Cho ma trận vuông cấp 2 A =
(
−1 1 6
−2 0 1 1
)
.
Tìm ma trận B sao cho B2010 = A.
Câu 8 : Chứng minh rằng A là ma trận vuông cấp n khả nghịch khi và chỉ khi λ = 0 không là trị riêng
của A. Giả sử λ0 là trị riêng của ma trận A, chứng tỏ
1
λ0
là trị riêng của A−1
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh