Đề kiểm tra giữa kỳ môn Lý thuyết điều khiển nâng cao - Năm học 2012-2013

 Đại học Bách Khoa TP.HCM ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ. Năm học 2012-2013 
 Khoa Điện – Điện Tử Môn: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO 
 Bộ môn ĐKTĐ Ngày thi: 21/03/2013 
 ---o0o--- Thời gian làm bài: 60 phút 
 (Sinh viên chỉ được phép sử dụng tài liệu viết tay) 
Bài 1: (2.5 điểm) Tính biên độ và tần số dao động tự kích (nếu có) của hệ thống sau:
3
1
( 1)s 
( )r t ( )y t
Bài 2: (2.5 điểm) Cho mô hình phi tuyến của hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC kích từ phụ 
thuộc như sau: 
1 1
2 1 1 3
3 1 2
3
2
0.5 0.1
3
x x u
x x x x
x x x
y x
        


 
Yêu cầu điều khiển là tín hiệu ra y(t) bám theo tín hiệu đặt yd(t). Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp 
tuyến tính hóa sao cho phương trình đặc trưng của sai số có nghiệm kép tại −1. 
Bài 3: (2.5 điểm) Cho hệ thống bậc nhất mô tả bằng phương trình biến trạng thái: 
 )()()( tutxtx 
Tìm luật điều khiển tối ưu u(t) sao cho tối thiểu hàm chỉ tiêu  20 2 )( dttuJ , với các điều kiện biên 
x(0) = 2, x(2) = 0.
 Sinh viên chọn bài 4A hoặc 4B: 
Bài 4A: (2.5 điểm). Cho đối tượng mô tả bởi phương trình trạng thái: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t x t u t w t
y t x t v t
     

Nhiễu [ ( ) ( )] 1, [ ( ) ( )] 0.1T TE w t w t E v t v t  , xây dựng bộ điều khiển LQG để cực tiểu hàm chỉ tiêu J 
2 2
0
1 ( )
2
J E x u dt
     
- Vẽ sơ đồ cấu trúc bộ điều khiển LQG cho hệ thống trên. 
- Tính độ lợi hồi tiếp trạng thái K cho bộ điều khiển LQR: ˆ( ) ( )u t Kx t  
- Tìm độ lợi Kalman L của bộ ước lượng:  ˆ ˆ ˆx x u L y y     
Bài 4B: (2.5 điểm). Cho đối tượng rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: 
)(2)()1( kukxkx  
Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu )20(),(* kku điều khiển hệ thống từ trạng thái đầu 5)0( x đến 
trạng thái cuối 0)3( x sao cho tối thiểu chỉ tiêu chất lượng: 
 


2
0
22 )(2)(
k
kukxJ 
Hết CNBM 
Chú thích các biến 
x1: dòng điện kích từ 
x2: dòng điện phần ứng 
x3: tốc độ động cơ 
u: điện áp điều khiển 
ĐÁP ÁN 
Baøi 1: (2.5 điểm) 
Đặc tính tần số của đối tượng: 
 3)1(
1)(   jjG 
Hàm mô tả khâu relay 3 vị trí: 
 22
2 114014)(
MMM
D
M
VMN m   
Biên độ và tần số dao động nếu có là nghiệm của phương trình: 
 0)()(1  jGMN 
  





)2( 
)(
1)(
(1) ))(arg(
MN
jG
jG


 (0.5 điểm) 
(1)     )(tan3 1 
  3 (0.5 điểm) 
Thay 3 vào (2): 
 )(
1
)3(1
1
3
2 MN



 
  8)( MN 
  81180 2  MM 
  42 )1(533.2 MM  
  013.1013.10 24  MM (0.5 điểm) 
  



06.1
3
M
M
 (0.5 điểm) 
Kết luận: Hệ thống có dao động ttyty 3sin3)()( 1  (0.5 điểm) 
Baøi 2: (2.5 điểm) 
Đối tượng điều khiển mô tả bởi phương trình trạng thái: 
1 1
2 1 1 3
3 1 2
3
2
0.5 0.1
3
x x u
x x x x
x x x
y x
        


 
 213 3 xxxy   
 )1.05.0(3)2(333 3111212121 xxxxxuxxxxxy  
   u
xb
x
xa
xxxxxxy
)(
3
)(
33.05.16 23
2
11
2
121     (1.0 điểm)
 (Hệ thống có bậc tương đối bằng 2 do xuất hiện u ở đạo hàm bậc 2 của y) 
Luật điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa: 
 )()(
)(
1)( tvxa
xb
tu  (0.5 điểm) 
Trong đó: )()()()( 21 tektektytv d   (0.5 điểm) 
 )()()( tytyte d  
Phương trình đặc trưng của sai số: 
 021
2  ksks 
Phương trình đặc trưng mong muốn: 
 0)1(
2 s 
 012
2  ss 
Suy ra: 



1
2
2
1
k
k
 (0.5 điểm) 
(Sinh viên làm sai bậc tương đối được tối đa 1.25 điểm) 
Baøi 3: (2.5 điểm) 
- Hàm Hamilton: 
 2 ( )H u x u    (1) (0.25đ) 
- Giải phương trình vi phân: 
 2 0 
2
H u u
u
       (2) (0.25đ) 
 H
x
   
 0    (3) (0.25đ) 
 Hx x u
    2 2x x    (4) (0.25đ) 
- Từ (3) và (4) suy ra: 
 0x x  1 2t tx C e C e   (0.5đ) 
- Điều kiện biên: 
1 2
2 2
1 2
(0) 2
(2) 0
x C C
x C e C e
     
2
1 2 2
2
2 2 2
2 0.04
2 2.04 
eC
e e
eC
e e



        
 (0.5đ) 
- Luật điều khiển tối ưu: 
1( ) 2 0.08
t tu t C e e   (0.5đ) 
Baøi 4A: (2.5 điểm) 
- Sơ đồ khối bộ điều khiển LQG (0.5đ) 
với A = -1, B = 1, C = 1 
- Bộ điều khiển LQR: 
 Phương trình Riccati: (0.5đ) 
1 0T TPA A P Q PB R BP    
2 2 1 0P P   
 Độ lợi hồi tiếp trạng thái: (0.5đ) 
1
2 1
2 1T
P
K R B P
 
  
- Bộ ước lượng trạng thái: 
 Phương trình Riccati: (0.5đ) 
1 0T TN NA A Q C R C
       
210 2 1 0     
 Độ lợi Kalman: (0.5đ) 
 1
11 1
10 11 1TNL R C

  
    
Bài 4B: (2.5 điểm) 
Đối tượng: )(2)()1( kukxkx  
Chỉ tiêu chất lượng: 


2
0
22 )(2)(
k
kukxJ 
Điều kiện biên: 5)0( x ; 0)3( x 
Phương trình Bellman: 
  ))1(()(),((min))(( * 1*   kxJkukxLkxJ k
 với 0))3(())3((*  xxJ 
Vòng ngược: 
 Với :2k 
 )2(2)2(min))2(( 22
)2(
*
2 uxxJ u  
 với điều kiện ràng buộc: 
0)3()2(2)2(  xux
Lời giải: )2(5.0)2(* xu  (0.25 điểm) 
   )2(
2
3)2(5.02)2())2(( 222*2 xxxxJ  (0.25 điểm)
  Với :1k 
 ))2(())1(),1((min))1(( *2)1(*1 xJuxLxJ u  
  


  )2(
2
3)1(2)1(min))1(( 222
)1(
*
1 xuxxJ u 
    


  222
)1(
*
1 )1(2)1(2
3)1(2)1(min))1(( uxuxxJ
u 
  


  )1()1(6)1(8)1(
2
5min))1(( 22
)1(
*
1 uxuxxJ u 
Do )1(6)1(16
)1(
1 xu
u
J 

  )1(
8
3)1(* xu  (0.5 điểm)
 )1(
8
3).1(6)1(
8
38)1(
2
5))1((
2
2*
1 xxxxxJ 

 
 )1(
8
11))1(( 2*1 xxJ  (0.25 điểm) 
  Với :0k 
 ))1(())0(),0((min))0(( *1)0(*0 xJuxLxJ u  
  


  )1(
8
11)0(2)0(min))0(( 222
)0(
*
0 xuxxJ u 
    


  222
)0(
*
0 )0(2)0(8
11)0(2)0(min))0(( uxuxxJ
u
  


  )0(
2
15)0()0(
2
11)0(
8
19min))0(( 22
)0(
*
0 uuxxxJ u 
Do )0(
2
11)0(15
)0(
0 xu
u
J 

  )0(
30
11)0(* xu  (0.5 điểm)
Vòng xuôi: Điều kiện đầu 5)0( x 
 Với :0k 
 6
115
30
11)0(
30
11)0(*  xu (0.25 điểm)
3
4
6
1125)0(2)0()1(  uxx
  Với :1k 
 2
1)1(
8
3)1(*  xu (0.25 điểm)
3
1
2
12
3
4)1(2)1()2(  uxx
  Với :2k 
 6
1)2(5.0)2(*  xu (0.25 điểm)
0
6
12
3
1)2(2)2()3(  uxx
Kết luận: Chuỗi tín hiệu điều khiển tối ưu là 


 
6
1;
2
1;
6
11)(* ku 
 Quỹ đạo trạng thái tối ưu là: 


  0;
3
1;
3
4;5)(* kx