Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu giả tuyến tính

ợc lại, với mỗi Cx , giả sử 
)()( zfxf  , ta cần chứng minh 
0)),(;( zxzf c  . Với mỗi  1;0 đặt 
Czxzy  ),(*  . Ta sẽ chứng minh 
)()( * zfyf  . 
Giả sử )()( * zfyf  tức là, 
 )()()( *yfzfxf  . (3.2) 
Do f là  - giả invex nên từ i) của 
Định nghĩa 2.4 ta có 
0)),(;( ** yzyf c  . (3.3) 
Do điều kiện (C) được thỏa mãn nên 
),(
1
),( ** yxyz 




 . Từ (3.3) và bổ 
168 
đề 2.1 ta có 
0)),(;(
1
)),(
1
;( **** 



 yxyfyxyf cc 




 
Suy ra 
0)),(;( **  yxyf c  . (3.4) 
Nếu 0),( * yx thì 0)),(;( **  yxyf c  
(mâu thuẫn với (3.4)) nên 0),( * yx . 
Do ;.)( *yf c lẻ dưới nên 
0)),(;()),(;( ****  yxyfyxyf cc  . 
Vậy ta có 0)),(;( ** yxyf c  . Do 
f là  -giả invex nên )()( *yfxf  
(mâu thuẫn với (3.2)). 
Giả sử )()( * zfyf  , tức là 
)()()( * xfzfyf  (3.5) 
Hay ))(())(( *yfzf  . 
Do )( f là  -giả invex nên 
 0)),(;()( **  yzyf c  . 
Kết hợp điều kiện (C) và chú ý rằng 
nếu ;.)( *yf c lẻ dưới thì ;.)()( *yf c 
cũng lẻ dưới. Bằng lập luận như trên, ta sẽ 
nhận được )()( * xfyf  , mâu thuẫn với 
(3.5). 
Tóm lại, ta có )()( * zfyf  hay 
)()),(( zfzxzf  . Khi đó, do f 
chính quy tại z nên 
 .1;0,0
)()),((
lim)),(;()),(;(
0
' 








zfzxzf
zxzfzxzf c 
Vậy )()( zfxf  dẫn đến 
0)),(;( zxzf c  .  
Bổ đề 3.2 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi 
Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo 
mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi 
đó với mỗi Cx tồn tại hàm 
RCCp : sao cho 0),( zxp thỏa 
điều kiện: 
)).,(;().,()()( zxzfzxpzfxf c  
Chứng minh: Ta xét 2 trường hợp sau: 
Trường hợp 1: Nếu 0)),(;( zxzf c  , 
với mọi Cx thì do Bổ đề 3.1 ta có 
)()( zfxf  . Khi đó, có thể chọn 
0),(  zxp tùy ý. 
Trường hợp 2: Nếu 0)),(;( zxzf c  , 
với mọi Cx thì do Bổ đề 3.1 ta 
có )()( zfxf  . Chọn hàm RCCp : 
sao cho 
.
)),(;(
)()(
),(
zxzf
zfxf
zxp c 

 (3.6) 
Ta sẽ chứng tỏ 0),( zxp , với 
mọi Cx . 
Giả sử )()( zfxf  . Do f là  -giả 
invex nên 
0)),(;( zxzf c  . (3.7) 
Từ (3.6), ta được 0),( zxp , với 
mọi Cx . 
Giả sử )()( zfxf  . Khi đó 
))(())(( zfxf  . Vì )( f là  - giả 
invex nên 
0)),(;()(  zxzf c  . 
Từ Bổ đề 2.1, ta nhận 
được 0)),(;(  zxzf c  . 
Nếu 0),( zx thì 0)),(;( zxzf c  
(mâu thuẫn với (3.7)) nên 0),( zx . Khi 
đó, do ;.)(zf c lẻ dưới nên 
0)),(;()),(;(  zxzfzxzf cc 
 Từ (3.6), ta được 0),( zxp , với 
mọi Cx . Tóm lại, bổ đề được chứng 
minh.  
Chú ý rằng các phiên bản của hai bổ 
đề trên đây đã được chứng minh trong bài 
báo [20] bằng cách sử dụng dưới vi phân 
169 
Clarke. Ở đây, chúng tôi trực tiếp dùng đạo 
hàm Clarke. 
Định lý 3.1 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , 
đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi 
hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó 


1
SS , với  .0)),(;(|1 

zxzfCxS c  
Chứng minh: Do Bổ đề 3.1, ta có 


1
0)),(;()()( SxzxzfzfxfSx c   
Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, nếu 
thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả 
thiết f chính quy trên C thì 
)),(;()),(;( ' xzxfxzxf c   . Ta thu 
được hệ quả sau đây. 
Hệ quả 3.1 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , 
đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng 
và hàm f chính quy tại trên C . Khi đó 
~
1
SS  , với  .0)),(;(| '
~
1
 xzxfCxS  
Hệ quả 3.2 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và  - giả 
tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  -
invex. Khi đó 

 '
1
~
'
1
SSS , với 
 0),(),(|
~
'
1
 xzxfCxS  , 
 .0),(),(|'
1


zxzfCxS  
Định lý 3.2 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , 
đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi 
hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó 


2
SS , với  .0)),(;(|
2


zxzfCxS c  
Chứng minh: Do Định lý 3.1 nên 


2
SS . Lấy 


2
Sx thì Cx và 
0)),(;( zxzf c  . Do Bổ đề 3.2, tồn tại 
0),( zxp sao cho 
)()),(;().,()()( zfzxzfzxpzfxf c   . 
Vậy )()( zfxf  . Do đó, Sx , tức 
là SS 

2
. Vậy 


2
SS .  
Tương tự như Nhận xét 3.1, trong định 
lý 3.2, nếu thay giả thiết f chính quy tại 
z bởi giả thiết f chính quy trên C ta có 
hệ quả sau: 
Hệ quả 3.3 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , 
đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng 
và hàm f chính quy trên C . Khi đó, 
~
2
SS  , với  .0)),(;(| '
~
2
 xzxfCxS  
Hệ quả sau đây được suy ra từ định lý 
nêu trên khi f được giả sử là khả vi trên 
tập mở C . 
Hệ quả 3.4 Với bài toán (P), giả sử f 
là khả vi và  -giả tuyến tính trên tập mở 
chứa C là tập  -invex, với z là một 
nghiệm đã biết. Khi đó 

 '
2
~
'
2
SSS , với 
 0),(),(|
~
'
2
 xzxfCxS  , 
 .0),(),(|'
2


zxzfCxS  
Định lý 3.3 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Cy , 
đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo mọi hướng 
và hàm f chính quy tại z . Khi đó 


3
SS , 
với  .)),(;()),(;(|
3
xzxfzxzfCxS cc  

Chứng minh : Lấy Sx , do Định lý 
3.1 ta có 0)),(;()),(;(  xzxfzxzf cc  , 
tức là )),(;()),(;( xzxfzxzf cc   . Suy 
170 
ra 


3
Sx , tức là 


3
SS . 
Ngược lại, lấy 


3
Sx . Ta có Cx và 
)),(;()),(;( xzxfzxzf cc   . (3.8) 
Ta cần chứng minh Sx . Giả sử 
Sx . Khi đó, 
)()( xfzf  . (3.9) 
Vì f là  -giả invex, theo Định nghĩa 
2.4, ta được 
0)),(;( xzxf c  . (3.10) 
Từ (3.8) và (3.10) suy ra 
0)),(;( zxzf c  
Mặt khác, do Bổ đề 3.2, tồn tại 
0),( zxp sao cho 
)()),(;().,()()( zfzxzfzxpzfxf c   . 
Điều này mâu thuẫn với (3.9). Do đó 
Sx , tức là SS 

3
. 
Vậy 


3
SS .  
Trong định lý 3.3, bây giờ chúng ta 
thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả 
thiết f chính quy trên C thì ta có hệ quả 
sau đây: 
Hệ quả 3.5 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi 
Cy , đạo hàm ;.)(yf c là lẻ dưới theo 
mọi hướng và hàm f chính quy trên C . 
Khi đó, 
~
3
SS  , với 
 )),(;()),(;(| ''
~
3
xzxfzxzfCxS   . 
Hệ quả sau đây cũng được suy ra từ 
định lý nêu trên khi f được giả sử là khả 
vi trên tập mở C . 
Hệ quả 3.6 Với bài toán (P), z là một 
nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và  -giả 
tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  -
invex. Khi đó, 

 '
3
~
'
3
SSS , với 
 ),(),(),(),(|
~
'
3
zxzfxzxfCxS   , 
 .),(),(),(),(|'
3
xzxfzxzfCxS  

Các Hệ quả 3.2, 3.4 và 3.6 chính là các 
nội dung đã được chứng minh trực tiếp 
trong bài báo số [9] tại các Định lý 3.1, Hệ 
quả 3.1 và Định lý 3.3 và được giới thiệu 
lại trong tài liệu số [16] tại các Định lý 
5.18, Hệ quả 5.19, Định lý 5.20. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. N.Dinh, V. Jeyakumar and G.M. Lee (2006), 
Lagrange multiplier characterizations of 
solution sets of constrained pseudolinear 
optimization problems, Optimization 55, 
241-250. 
2. T.Q. Son and N. Dinh (2008), 
Characterizations of optimal solution sets of 
convex infinite programs, TOP 16,147-163. 
3. T.Q. Son and D.S. Kim (2014), A new 
approach to characterize the solution set of a 
pseudoconvex programming problem, J. 
Comput. Appl. Math. 261, 333-340. 
4. J.V. Burke and M. Ferris (1991), 
Characterization of solution sets of convex 
programs, Operations Research Letters 10, 
57-60. 
5. B.D. Craven (1981), Invex functions and 
constrained local minima, Bulletin of 
Australian Mathematical Society 24, 357-366. 
6. Frank H. Clarke (1983), Optimization and 
Nonsmooth Analysis, Reprint, New York. 
7. K.L. Chew and E.U. Choo (1984), 
Pseudolinear and efficiency, Math. 
Programming 28, 226-239. 
8. M.A. Hanson (1981), On Sufficiency of Kuhn-
Tucker conditions, Journal of Mathematical 
Analysis Applications 80, 545-550. 
9. V. Jeyakumar and X.Q. Yang (1995), 
Characterizing the solution sets of pseudo-
linear programs, Journal of Optimization 
Theory and Applications 87, 747-755. 
171 
10. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh 
(2004), Lagrange multiplier conditions 
characterizing optimal solution sets of cone-
constrained convex programs, Journal of 
Optimization Theory and Applications 123, 
83-103. 
11. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh (2006), 
Characterizations of solution sets of convex 
vector minimization problems, European 
Journal of Operations Research 174, 1380-
1395. 
12. D.S. Kim and T.Q. Son (2011), 
Characterizations of Solution Sets of a class 
of Nonconvex Semi-Infinite Programming 
Problems, J. Nonlinear Convex Anal. 12, 
429-440. 
13. C.S. Lalitha and M. Mehta (2008), 
Characterizations of solution sets of 
mathematical programs in terms of Lagrange 
multipliers, Optimization 58, 995-1007. 
14. O.L. Mangasarian (1988), A simple 
characterization of solution sets of convex 
programs, Operations Research Letters 7, 21-26. 
15. O.L. Mangasarian (1965), Pseudoconvex 
functions, J. SIAM Control 2, 281-290. 
16. [16] S. K. Mishra and G. Giorgi (2008), 
Invexity and optimization, Springer- Verlag, 
Berlin Heidelberg. 
17. J.P. Penot (2003), Characterization of 
solution sets of quasiconvex programs, 
Journal of Optimization Theory and 
Applications} 117, 627-636. 
18. N.G. Rueda (1989), Generalized Convexity in 
Nonlinear Programming, Journal of 
Information and Optimization Sciences 10, 
395-400. 
19. [19] K.Q. Zhao, X. Wan and X.M. Yang 
(2013), A note on characterizing solution set 
of nonsmooth pseudoinvex problem, 
Optimization Letter 7, 117-126. 
20. K.Q. Zhao and L.P. Tang (2012), On 
characterizing solution set of nondifferentiable 
 -pseudolinear extremum problem, 
Optimization 61, 239-249. 
21. Mohan, S. R, Neogy, S. K(1994), On invex 
sets and preinvex functions, Journal of 
mathematical analysis and applications 189, 
901-908.
Ngày nhận bài: 05/10/2016 Biên tập xong: 15/12/2016 Duyệt đăng: 20/12/2016