Các lớp hàm Distortion tương ứng với các thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết định

istortion function 
(Hàm biến dạng kép) 
   1 1 , 1.g u u

   
Ta có: 
   
    
1
2
1 , 1.
1 1 0. 1.
g u u
g u u


 
  


   
       
Dual-power distortion là một hàm 
lõm. Vì vậy, nó đặc trưng cho thích rủi ro. 
Trường hợp đặc biệt,  1 ,g u u   
mô tả cho thái độ trung tính rủi ro. Độ risk 
seeking được tính 
 
 
 
 
 
2
1
, 1
1
1
0, 1.
1
g u
s u
g u u
s u
u




 
   
 

    

Rõ ràng, độ risk seeking s(u) của dual-
power distortion là một hàm tăng theo u. 
4) Proportional hazard distortion 
function (Hàm biến dạng rủi ro theo tỷ lệ) 
 
1
, 1.g u u  
Ta có: 
 
 
1
1 2
2
1
, 1.
1
0. 1.
g u u
g u u











  

    
Do đó, 
  1, :g u u  
Trung tính rủi ro. 
  
1
1, :g u u  
Thích rủi ro. 
Độ risk seeking được tính 
 
 
 
 
 
1
2 1 2
2
1
, 1,
1
0, 1,
g u
s u u
g u
s u u












 
    


      
Độ risk seeking s(u) của proportional 
hazard distortion là một hàm giảm theo u. 
5) Wang's distortion function (Hàm 
biến dạng của Wang) 
    1 .g u u    
a) Đạo hàm cấp 1:
Ta có: 
   
 
 
 
   
2
1
1
1 1
1
( ) 1
2
( )
( ) ( )
( )
( )1
.
2
u
ug u
u u
u u
uu
u
e
u



 




 

  

  

 
     

  
 


Ta lại có đạo hàm của hàm ngược 
được tính theo công thức 
 
1
1
( ) 1
.
( )
F x
x F F x





Vì vậy, ta có: 
 
 
 
 
2
1
2
1
( )1
2
1
( )
2
1
( ) 1 1
2 .
( )
1
( ) 2
u
u
u
e
u u
e
u





 



  
  
 
Do đó, 
 
2
1 ( )
2 0, 
ug u
e u
u



  
  

. 
 b) Đạo hàm cấp 2 
   
 
2
1
2
1
2
1
12
( )
2
2
( )
( )
2 2
( )
2 .
u
p
u
ug u
e
u u
e











  

   
 
 
 
 
 47 
Suy ra,   0g u  , tức  g u là hàm 
lõm nếu 0.  Ngược lại,   0g u  , tức 
 g u là hàm lồi nếu 0.  
Vậy, hàm Wang distortion đặc trưng 
cho cả ba thái độ chấp nhập rủi ro. Hàm 
dual gamma distortion trong định nghĩa 5.1 
cũng là một lớp hàm distortion như thế. Cụ 
thể, 
  = 0: Trung tính rủi ro. 
  > 0: Thích rủi ro. 
  < 0: Ghét rủi ro. 
Độ risk seeking được tính 
 
 
 
 
 
2
1 ( )
2
1
2 , 
2 . ( ),
u
g u
s u e
g u
s u u





  

   
Độ risk seeking s(u) của Wang's 
distortion phụ thuộc vào  và điều này là 
phù hợp với tích chất của Wang's 
distortion. Cụ thể, 
  > 0: độ thích rủi ro tăng theo u. 
  < 0: độ thích rủi ro giảm theo u, 
tức là ghét rủi ro tăng. 
6) Denneberg's distortion function 
(Hàm biến dạng của Denneberg) 
 
 
 
1 , 0 0,5
, 0 1.
1 , 0,5 1
u u
g u
u u


 
   
  
   
Có thể chứng minh được rằng Denneberg's 
distortion là một hàm lõm. Do đó,nó đặc 
trưng cho nhóm người thích rủi ro. 
Bây giờ, ta chứng minh Denneberg's 
distortion là lõm. 
Lấy  , , 0;1u v  . Khi đó, các trường 
hợp có thể có: 
 Trường hợp  , 0;0,5u v hoặc 
 , 0;0,5u v : 
Giả sử ta xét  , 0;0,5u v thì dễ thấy 
   1 0;0,5u v    . Và vì g(u) là tuyến 
tính nên rõ ràng nó thỏa mãn bất đẳng thức 
Jensen (chính xác hơn là xảy ra dấu bằng) 
        1 1 .g u v g v g v        
Suy ra g(u) là một hàm lõm. 
 Trường hợp    0;0,5 , 0,5;1u v  hoặc 
   0;0,5 , 0,5;1v u  : 
Không mất tính tổng quát, ta xét 
   0;0,5 , 0,5;1u v  , tức là: 
   
   
1 ;
1 .
g u u
g v v

 
 
    
Ta có    1 0;0,5u v    hoặc 
   1 0,5;1u v    . Do đó, 
+ Nếu    1 0;0,5u v    thì ta có: 
      
    
       
         
         
     
1 1 1
1 1 1
1 1 1 2
1 1 1 1 2 1
1 1 2 1
1 .
g u v u v
u v
u v v
u v v
g u g v v
g u g v
    
   
      
      
   
 
       
    
         
          
     
  
48 
+ Nếu    1 0,5;1u v    thì ta có: 
      
    
       
         
     
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 2 , 0;0,5
1 .
g u v u v
u v
u v u
g u g v u u
g u g v
     
    
        
  
 
        
     
           
     
  
Vậy, g(u) là một hàm lõm. 
Một cách trực quan hơn, đồ thì của 
g(u) được vẽ dưới đây ứng với  = 0,5. 
Hình 2 
7) Quadratic distortion function (Hàm biến 
dạng bậc hai) 
    21 , 0 1.g u u u      
Ta có 
   
 
1 2 0, 0 1.
2 0, 0 1.
g u u
g u
  
 
      
      
  = 0: Trung tính rủi ro. 
  > 0: Thích rủi ro. 
Độ risk seeking được tính 
 
 
   
 
 
2
2
2
, 
1 1 2
4
0.
1 1 2
g u
s u
g u u
s u
u





  
  

  
   
Như vậy, độ risk seeking s(u) của 
quadratic distortion là một hàm giảm theo u. 
8) Square-root distortion function (Hàm 
biến dạng căn bậc hai) 
 
1 1
, 0. 
1 1
, 0.
u
g u
u




  

   
  
Ta có, 
   
1 1
, 0. 
12 1 1
1, 0.
ug u




    


     3
1 1
0, 0. 
4 1 1 1
0, 0.
g u u

 


 
   


Vậy, 
  = 0: Trung tính rủi ro. 
  > 0: Thích rủi ro. 
Độ risk seeking 
 
 
 
 
 
2
1 1
0, 0, 
2 1
0, 0.
1
0, 0.
2 1
g u
s u u
g u
s u
u







  
   
  

   

Rõ ràng, khi  = 0 thì g(u) đặc trưng cho 
trung tính rủi ro nên độ risk seeking bằng 
0. Ngược lại, khi  > 0 thì độ risk seeking 
 49 
của square-root distortion giảm theo u. 
9) Exponential distortion function (Hàm 
biến dạng dạng mũ) 
 
1
, 0. 
1
, 0.
ue
g u e
u






 

 
  
Ta có: 
 
, 0. 
1
1, 0.
ue
g u e









  
  
và 
 
2
0, 0. 
1
0, 0.
ue
g u e








  
  
  
Vậy, 
  = 0: Trung tính rủi ro. 
  > 0: Thích rủi ro. 
Độ risk seeking 
 
 
 
, 0, 
0, 0.
g u
s u
g u
 

 
   
 
 Như vậy, exponential distortion có độ risk 
seeking là một hằng số. 
10) Logarithm distortion function (Hàm 
biến dạng logarit) 
 
 
 
ln 1
, 0. 
ln 1
, 0.
u
g u
u




 

 

 
Ta có, 
   
1
, 0. 
ln 1 1
1, 0.
ug u


 



   
  
và 
     
2
2
1
0, 0. 
ln 1 1
0, 0.
g u u


 

 
 
  


Vậy, 
  = 0: Trung tính rủi ro. 
  > 0: Thích rủi ro. 
Độ risk seeking 
 
 
 
2
2
, 0, 
1
0, 0.
0, 0
1
s u u
s u
u









 
 

   

Độ risk seeking của logarithm 
distortion tương tự như square-root 
distortion. Tuy nhiên, khi  > 2 thì square-
root distortion có độ thích rủi ro lớn hơn 
logarithm distortion. Ngược lại, khi 0 <  
< 2 thì square-root distortion có độ thích 
rủi ro nhỏ hơn logarithm distortion. 
 Nhận xét: 
Các hàm distortion đa số là các hàm 
lõm. Do đó, chúng thể hiện thái độ thích 
rủi ro của người ra quyết định. Điều kiện 
hàm lõm cũng chính là điều kiện để độ đo 
rủi ro distortion thỏa mãn các tiên đề của 
một độ đo rủi ro, đặc biệt đó lá tính bán 
cộng tính (subadditive). 
7. Kết luận 
Bài báo đã thiết lập mối liên hệ giữa 
hàm hữu ích trong lý thuyết hữu ích 
(utility theory) và hàm distortion trong độ 
đo rủi ro distortion. Một số biểu thức được 
xây dựng để tìm hàm distortion thông qua 
50 
hàm hữu ích. Ngược lại, vấn đề từ hàm 
distortion tìm hàm hữu ích tuy vẫn chưa 
thiết lập được công thức tường minh 
nhưng thông qua phương trình biểu diễn 
mối liên hệ đó, chúng tôi đã nghiên cứu 
được tính chất lồi lõm cần thiết của các 
hàm distortion. Cụ thể, khi hàm distortion 
lồi thì hàm hữu ích lõm và ngược lại. Từ 
đó, chúng tôi khảo sát nhiều lớp hàm 
distortion và rút ra các đặc trưng cho các 
thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết 
định. Hơn nữa, mức độ chấp nhận rủi ro 
của người ra quyết định khi họ sử dụng các 
lớp hàm này cũng được tính toán thông 
qua hệ số thích rủi ro tuyệt đối (coefficient 
of absolute risk seeking). 
Bài báo cũng đã xây dựng được một 
lớp hàm dual-gamma distortion với bốn 
tham số. Do đó, nó có thể linh hoạt mô tả 
thái độ chấp nhận rủi ro của người ra quyết 
định khi ta điều chỉnh các tham số của nó. 
Nghiên cứu sâu hơn về lớp hàm dual-
gamma distorion sẽ là hướng tiếp theo của 
bài báo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. K. J. Arrow (1974), Essays in the Theory of 
Risk Bearing, North Holland. 
2. K. Dowd, J. Cotter, G. Sorwar (2008), 
“Spectral risk measures: properties and 
limitations”, Journal of Financial Services 
Research, Vol. 34, pp. 61–75. 
3. J. W. Pratt (1964), Risk aversion in the small 
and in the large, Econometrica (320), 122-136. 
4. S. Sriboonchitta, W.-K.Wong, S. 
Dhompongsa, and H.T. Nguyen (2009), 
“Stochastic Dominance and Applications to 
Finance”, Risk and Economics, CRC Press, 
Boca Raton, Florida. 
5. S. Sriboonchitta1, H. T. Nguyen, V. 
Kreinovich (2010), “How to relate Spectral 
Risk Measures and Utilities”, International 
Journal of Intelligent Technologies and 
Applied Statistics, 3:141. 
6. S. Wang (1996), “Premium calculation by 
transforming the layer premium density”, 
ASTIN Bulletin, (26), 71-92. 
7. S. Wang (1999), “A class of distortion 
operators for pricing financial and insurance 
risks”, Technical report, SCOR Reinsurance 
Company. 
Ngày nhận bài: 11/9/2015 Biên tập xong: 15/10/2015 Duyệt đăng: 20/10/2015