Bài tập trắc nghiệm Chuỗi số - Chuỗi Fourier

 Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán – Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TPHCM 
Bài tập trắc nghiệm 
CHUỖI SỐ - CHUỖI FOURIER 
1) Chuỗi số 
0
q
n
n
∞
=
∑ hội tụ khi: 
A.) q > -1 B.) q < -1 C.) |q | < 1 D.) q < 0 
2) Tổng của chuỗi 
0
1 3
5
n
n
n
∞
=
+
∑ là: 
A.) 5 B.) 2710 C.) 52 D.) 154 
3) Tổng của chuỗi 2
0
2 3( 1)
5
n n
n
n
n
∞
=
−∑ là: 
A.) 2519 B.) 19 25 C.) 2531 D.) 3125 
4) Tổng của chuỗi 2 2
1
2 1
( 1)n
n
n n
∞
=
+
+
∑ là: 
A.) 1 B.) 2 C.) 3 D.) Phân kỳ 
5) Tổng của chuỗi 
3
3( 1)
4
n
n
n
n
∞
=
−∑ là: 
A.) 
4
7
 B.) 
7
4
−
 C.) 27112− D.) 27112 
6) Chuỗi số 
1
2
0
3
2
n
n
n
+∞
=
∑ hội tụ ñến: 
A.) 3 B.) 4 C.) 4/3 D.) 12 
7) Chuỗi số ñịnh nghĩa bởi: a1 = 2, 1
2
, 2
1
n
n
n
a
a n
a
+
−
= ≥
−
 là chuỗi: 
A.) Hội tụ ñến 0 B.) Hội tụ ñến 1 
C.) Hội tụ ñến 2 D.) Phân kỳ 
8) Tổng của chuỗi : 
1
1 1
2n n n
∞
=
 
− 
+ 
∑ 
A.) 1 1
3
− B.) 11
3
− C.) 1 1
2
+ D.) 11
2
− 
9) Tìm số thực x sao cho: 
1
4
11
n
n
x
∞
=
=∑ 
A.) 711 B.) 415 C.) 7 4− D.) Không tồn tại x 
10) Tìm số thực x sao cho: 
0
4
11
n
n
x
∞
=
=∑ 
A.) 711 B.) 415 C.) 7 4− D.) Không tồn tại x 
11) Tất cả các giá trị của x trong ñoạn [0; pi] sao cho 
0
(cos )n
n
x
∞
=
∑ hội tụ là: 
A.) [0; pi] B.) (0; pi) C.) 2;
6 3
pi pi 
  
 D.) 2;
6 3
pi pi 
 
12) Chuỗi số: 
1 1
4 2 2
( 2) 2n nn n n n
∞ ∞
= =
= −
+ +
∑ ∑ 
A.) Hội tụ với tổng bằng 2 B.) Hội tụ với tổng bằng 3 
C.) Hội tụ với tổng bằng 4 D.) Phân kỳ 
13) Nếu chúng ta ñặt u = sinx trong chuỗi 
1
0
sin ( )( 1)
2
n
n
n
n
x+∞
=
−∑ thì chuỗi hội tụ. Khi ñó, tổng 
của chuỗi là: 
A.) 2sin
2 sin
x
x−
 B.) 2sin
2 sin
x
x+
 C.) 1
2 sin x−
 D.) 1
2 sin x+
14) Cho hai chuỗi (1) 2
1
n
n
ne
∞
−
=
∑ và chuỗi (2) 
21
1
n
n
n e
∞
−
=
∑ 
A.) Cả hai ñều hội tụ B.) Cả hai cùng Phân kỳ 
C.) (1) hội tụ, (2) phân kỳ D.) (1) phân kỳ, (2) hội tụ 
15) Chuỗi số: 
1
11
n
n n
∞
=
 
− 
 
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy 
C.) Hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân D.) Phân kỳ do an → 0 
16) Chuỗi số: 
2
3 91 3n
n
n n
∞
= + +
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 
C.) Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert D.) Hội tụ do an →0 
17) Chuỗi số: 
2
1
11
n
n n
∞
=
 
− 
 
∑ 
A.) Bán Hội tụ B.) Hội tụ tuyệt ñối 
C.) Phân kỳ D.) Chưa thể kết luận bằng tiêu chuẩn Cauchy 
18) Chuỗi số: 2
1
1
(ln )n n n
∞
=
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert 
C.) Hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân D.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 
19) Chuỗi số: 5 / 4
1
1
(ln )n n n
∞
=
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert 
C.) Hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân D.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 
20) Chuỗi số 2
0
3 5( 1)
4
n n
n
n
n
∞
=
−∑ 
A.) Hội tụ tuyệt ñối B.) Phân kỳ C.) Hội tụ. D.) Bán hội tụ. 
21) Chuỗi số 
1
1
(3 )! 4
(3 1)!
n
n
n
n
+∞
=
+
+
∑ 
A.) Hội tụ theo dấu hiệu so sánh B.) Phân kỳ theo dấu hiệu so sánh 
C.) Hội tụ theo D’Alambert D.) Phân kỳ do an → 0 
22) Chuỗi số: 
1
4 7
5 3
n
n
n
n
∞
=
+ 
 + 
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy 
C.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân D.) Hội tụ theo dấu hiệu so sánh. 
23) Chuỗi số: 4 2 3 2
1
3
sin
2 2 5
n
n
n
n
n n
∞
=
  
  
− +  
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy 
C.) Hội tụ theo dấu hiệu so sánh D.) Phân kỳ theo dấu hiệu so sánh 
24) Chuỗi số: 
1
2 !n
n
n
n
n
∞
=
∑ 
A.) Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert B.) Phân kỳ theo D’Alambert 
C.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân D.) Chưa thể kết luận. 
25) Sử dụng tiêu chuẩn D’Amlambert (Cauchy) xét sự hội tụ của chuỗi 
1
!( 1)n
n
n
n
n
∞
=
−∑ 
A) Hội tụ tuyệt ñối B.) Bán hội tụ 
C.) Phân kỳ, do giới hạn > 1. D.) Chưa thể kết luận ñược. 
26) Nếu an > 0 và bn > 0 với mọi n và: lim 7n
n
n
a
b→∞
= và chuỗi 
1
n
n
b
∞
=
∑ hội tụ thì: 
A) 
1
n
n
a
∞
=
∑ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh B.) 
1
n
n
a
∞
=
∑ phân kỳ 
C.) Chưa thể kết luận ñược D.) 
1
n
n
a
∞
=
∑ là chuỗi Leibnitz 
27) Giả sử : 2lim 3n
n
n a
→∞
=
 thì ta có thể kết luận chuỗi 
1
n
n
a
∞
=
∑ là: 
A) Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh B.) Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 
C.) Hội tụ tuyệt ñối. D.) Chưa thể kết luận ñược 
28) Giả sử : 
1
2nn
n
a
∞
=
∑ phân kỳ thì chuỗi 
1
( 3)nn
n
a
∞
=
−∑ là: 
A) Hội tụ tuyệt ñối B.) Bán hội tụ C.) Phân kỳ D.) Chưa thể kết luận ñược 
29) Giả sử chuỗi hàm 
1
n
n
n
a x
∞
=
∑ hội tụ tại x = -3 và phân kỳ tại x = 5. Khi ñó, chuỗi 
1
2nn
n
a
∞
=
∑ là chuỗi: 
A) Hội tụ B.) Hội tụ ñều. C.) Phân kỳ. D.) Chưa thể kết luận ñược. 
30) Giả sử chuỗi hàm 
1
n
n
n
a x
∞
=
∑ hội tụ tại x = -2 và phân kỳ tại x = 4. Khi ñó, chuỗi 
1
3nn
n
a
∞
=
∑ là chuỗi: 
A) Hội tụ. B.) Hội tụ ñều. C.) Phân kỳ. D.) Chưa thể kết luận ñược 
31) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 
1
!3n n
n
n
n
x
n
∞
=
∑ là: 
A.) 3e B.) 3/e C.) e/3 D.) 1/3 
32) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 2
1
! n
n
n
n
x
n
∞
=
∑ là: 
A.) 0 B.) 1 C.) e D.) ∞ 
33) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 
3
1
( !)
(3 )!
n
n
n
x
n
∞
=
∑ là: 
A.) 0 B.) 1/27 C.) ∞ D.) 27 
34) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 
1
! n
n
n
n
x
n
∞
=
∑ là: 
A.) 0 B.) 1/e C.) 1 D.) e 
35) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 
2
2
1 3
n
n
n
x∞
=
∑ là: 
A.) 3 B.) 9 C.) 1/3 D.) 1/9 
36) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 
3
2
1 (4 1)
n
n
n
n
n
x
n
+∞
= +
∑ là: 
A.) 1/4 B.) ½ C.) 2 D.) 4 
37) Bán kính hội tụ của chuỗi hàm: 
3
2
1
3( 1)
!
n
n
n
x
n
∞
=
+
−∑ là: 
A.) ∞ B.) 3 C.) 1 D.) 0 
38) Miền hội tụ của chuỗi 
1
( 1)
2
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑ là: 
A.)[ -1,3] B.) ( -1,3) C.) ( -1,3] D.) [ -1,3) 
39) Nếu bán kính hội tụ của chuỗi
0
n
n
n
a x
∞
=
∑ là 10 thì bán kính hội tụ của chuỗi 
2
0
2 ( 1) nn
n
n n a x
∞
−
=
−∑ là: 
A.) 5 B.) 10 C.) 20 D.) ∞ 
40) Ta tính toán ñược: 
2
2
3
1
, 1(1 )
n
n
x x
n x x
x
∞
=
+
= <
−
∑ . Từ kết quả trên, ta có tổng của chuỗi: 
3
1
, 1n
n
n x x
∞
=
<∑ là: 
A.) 
2
4
4 1
(1 )
x x
x
+ +
−
 B.) 
2
4
( 4 1)
(1 )
x x x
x
+ +
−
 C.) 
2
4
( )
(1 )
x x
x
+
−
 D.) 
2
3
( 4 1)
(1 )
x x x
x
+ +
−
41) Cho 
8
1
1( ) sin( ), [ ; ]
n
f x nx x
n
pi pi
=
= ∈ −∑ , các hệ số nào trong khai triển Fourier của hàm số 
f(x) trên ñoạn [ ; ]pi pi− phải bằng 0? 
A.) 0, 0
0, 2 ,
n
n
a n
b n k k
= ≥

= = ∈ ℤ
 B.) 0, 0
0, 2 1,
n
n
a n
b n k k
= ≥

= = + ∈ ℤ
C.) 0, 0
0, 1,8
n
n
a n
b n
= ≥

= =
 D.) 0, 0
0, 9
n
n
a n
b n
= ≥

= ≥
42) Cho 2 3( ) 2 , [0; ]f x x x xpi pi= − ∈ , g(x) là tổng của chuỗi Fourier theo hàm sin của hàm 
f(x). Hoàn thành các ý sau? 
A.) g(1) = ................................................................................................................ 
B.) g(-pi ) = .............................................................................................................. 
C.) g(x) liên tục trên [ ; ]pi pi− ? (ð/S) .......................................................................... 
43) Cho 4( ) , [0; ]f x x x x pi= + ∈ , 0
1
( ) ~ cos
2 nn
cF x c nx
∞
=
+∑ trong ñó 
1 ( )cos( ) , 0
n
c f x nx dx n
pi
pipi −
= ≥∫ . 
Khi ñó, hàm số F(x) ñược xác ñịnh như sau: 
A.)
4
4
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 + ≤ ≤
= 
+ − ≤ <
 B.) 
4
4
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 + ≤ ≤
= 
− + − ≤ <
C.) 
4
4
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 + ≤ ≤
= 
− − ≤ <
 D.) 
4
4
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 + ≤ ≤
= 
− − − ≤ <
44) Cho 2 3( ) , [0; ]f x x x x pi= − ∈ , 
0
( ) ~ sin( )
n
n
F x c nx
∞
=
∑ trong ñó 
1 ( )sin( ) , 0
n
c f x nx dx n
pi
pipi −
= ≥∫ . Khi 
ñó, hàm số F(x) ñược xác ñịnh như sau: 
A.)
2 3
2 3
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 − ≤ ≤
= 
− − ≤ <
 B.) 
2 3
2 3
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 − ≤ ≤
= 
− − − ≤ <
C.) 
2 3
2 3
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 − ≤ ≤
= 
− + − ≤ <
 D.) 
2 3
2 3
,0( )
, 0
x x xf x
x x x
pi
pi
 − ≤ ≤
= 
+ − ≤ <
45) Cho 2 3( ) 2 , [0; ]f x x x xpi pi= − ∈ , 
0
( ) ~ sin( )
n
n
F x c nx
∞
=
∑ trong ñó 
0
2 ( )sin( ) , 0
n
c f x nx dx n
pi
pi
= ≥∫ . 
Khi ñó, giá trị F(-3) bằng: 
A.) 9 54pi + B.) 9 54pi − C.) 9 54pi− + D.) 9 54pi− − 
46) Cho 4( ) 2 , [0; ]xf x e x pi−= − ∈ , 0
1
( ) ~ cos( )
2 nn
cF x c nx
∞
=
+∑ trong ñó 4
0
2 2. cos( ) , 0x
n
c e nx dx n
pi
pi
−
= ≥∫ . 
Khi ñó, giá trị F(- pi) bằng: 
A.) 42e pi− B.) 42e pi C.) 42e pi−− D.) 42e pi−