Bài tập môn học Tín hiệu và hệ thống - Hoàng Minh Sơn

Bài tập môn học 
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 
PGS. Hoàng Minh Sơn 
Bộ môn Điều khiển tự động 
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
Version: Draft 0.1 (chưa đầy đủ) 
03.11.2010 
Chương 1: Khái niệm tín hiệu và hệ thống 
1. Hãy chỉ ra rằng hàm mũ phức ( ) jk tx t e ω= biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn với chu 
kỳ 2T kπ ω= . 
2. Cho tín hiệu không liên tục dạng sin ( ) cos(2 )x n fnπ= . 
(a) Hãy chỉ ra rằng tín hiệu chỉ tuần hoàn khi và chỉ khi tần số f là một số hữu tỷ. 
(b) Tìm chu kỳ tuần hoàn của tín hiệu khi 2/5f = [chu kỳ/mẫu]. 
3. Hãy chỉ ra rằng các tín hiệu mũ phức không liên tục có tần số hơn kém nhau một số 
nguyên lần 2π [rad/mẫu], tức ( 2 )( ) , 1,2,3...j k nx n e kω π+= = là hoàn toàn giống nhau. 
4. Hãy biểu diễn lại các tín hiệu phức dưới đây dưới dạng trên tọa độ cực: 
(a) 1( )
1
x t
jt
=
+
 (b) 
5. Xác định xem các hệ sau đây là (1) hệ động học hay hệ tĩnh, (2) hệ dừng hay hệ 
biến thiên, (3) tuyến tính hay phi tuyến, (4) nhân quả hay phi nhân quả: 
(a) ( ) (1 )y n x n= − (b) ( )( )
1 ( 1)
x ty t
x t
=
+ − 
(c) ( ) ( )y t tx t= (d) 
0
( ) ( )
k
y n x n k
=−∞
= −∑ 
6. Hãy chỉ ra các tín hiệu sau đây là tuần hoàn và xác định chu kỳ của chúng (T đối 
với tín hiệu liên tục x(t) và N đối với tín hiệu không liên tục x(n)): 
(a) ( ) cos(13 ) 2 sin(4 )x t t tπ π= + (b) 1.73( ) j nx n e π= 
7. Biểu diễn tín hiệu trên hình vẽ dưới đây bằng một biểu thức gọn sử dụng tín hiệu 
bước nhảy đơn vị 1(t): 
0 1 1
0
x(t) 
t 0 0.5 1
1
y(t)
t
-1
1.5
( ) n jx n nje +=
Chương 2: Mô tả tín hiệu và hệ thống trên miền thời gian 
8. Cho một hệ tuyến tính dừng (LTI), khi đầu vào là một xung vuông thì đầu ra là 
một xung tam giác như trên hình vẽ dưới đây: 
 Hãy vẽ tín hiệu đầu ra khi tín hiệu đầu vào của hệ thống có dạng dưới đây. 
9. Đáp ứng xung g(n) của một hệ LTI không liên tục thể hiện trên hình (a) và tín hiệu 
vào u(n) thể hiện trên hình (b) dưới đây, hãy vẽ đáp ứng đầu ra y(n). 
10. Đáp ứng xung g(t) của một hệ LTI liên tục thể hiện trên hình (a) và tín hiệu vào 
u(t) thể hiện trên hình (b) dưới đây, hãy tính toán và vẽ đáp ứng đầu ra y(t). 
11. Cho một hệ LTI liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân: 
( ) 2 ( ), 0dy duay t u t a
dt dt
+ = − > 
i) Bậc của hệ thống là bao nhiêu? 
ii) Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của hệ thống cho trường hợp a = 2. 
iii) Hệ thống có ổn định không? 
iv) Xác định mô hình trạng thái của hệ thống. 
1 
1 
t
g(t) u(t) 
(a) (b) 
0 
1 
t 3 
1( ) 1( 1)tg t e t−= −
0 
1 
n
g(n) u(n) 
(a) (b) 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4 -3 -2 -1 0 
1 
n1 2 3 4-4 -3 -2 -1
0 1 
1 
t 
u(t) 
2 0 1
1
t 
u(t)
-1
(a) (b)
0 1 2 
1
u(t)
t0 1 
1 y(t)
t 
Hệ thống 
u(t) y(t)
12. Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây 
i) Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp vào u(t) với điện 
áp ra y(t). 
ii) Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện. 
iii) Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là 
xung Dirac) 
iv) Tính toán và vẽ phác đáp ứng quá độ của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là 
bước nhảy đơn vị) 
v) Hệ thống có ổn định không? Tại sao? 
13. Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua 
điện trở R1. 
i) Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp đầu vào u(t) với 
dòng điện đầu ra y(t). 
ii) Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện. 
iii) Tính toán đáp ứng xung của mạch điện. 
iv) Tính toán đáp ứng quá độ của mạch điện. 
v) Khi nào thì hệ thống ổn định? 
u(t) u(t)y(t) y(t)
(a) (b) 
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 
14. Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ ( ( )) ( )D x t x tτ τ= − đối với tín hiệu vào liên 
tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) có 
cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm đi ϕ ωτ= . 
15. Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ ( ( )) ( )MD x n x n M= − đối với tín hiệu vào 
không liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu không liên tục dạng sin 
(hoặc mũ phức) có cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm 
đi Mϕ ω= . 
16. Với mỗi tín hiệu biểu diễn bên trái trong hình vẽ dưới đây, hãy tìm đồ thị biểu diễn 
biên độ ảnh Fourier tương ứng ở bên phải (vẽ đường nối giữa đồ thị thời gian bên 
trái và đồ thị tần số tương ứng bên phải). 
 a) 
b) 
 c) 
17. Cho 4 tín hiệu không liên tục x1(n)...x4(n) như trên hình vẽ dưới đây: 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
x1(n) x2(n) 
x3(n) x4(n) 
Hãy điền Đ (đúng) hoặc S (sai) về những tính chất ảnh Fourier của từng tín hiệu vào 
các ô trong bảng sau: 
Tính chất ảnh Fourier x1(n) x2(n) x3(n) x4(n) 
( ) 0X jω = 
( ) 0X j d
π
π ω ω− =∫ 
( )X jω là thuần ảo 
Chương 4: Đáp ứng tần số 
18. Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây, cho điện áp vào u(t) = cos(t) 
với mọi giá trị t. 
Hãy chỉ ra đồ thị nào trên hình vẽ dưới đây biểu diễn điện áp ra của mạch điện. 
u(t) u(t)y(t) y(t)
(a) (b) 
19. Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua 
điện trở R1. 
Hãy xác định hàm đặc tính tần của mạch điện.