Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 8: Đáp ứng tần số

 PHẨM 
Tổng quát, hàm số mạch của một mạch lọc dải thông bậc 2 có dạng: 
bass
Ks(s) 2 ++=H (8.10) 
K, a> 0 & b> 0 là các hằng số thực. 
Để khảo sát biên độ của H(s), thay s =jω 
2222222 -[(ba
K
a-(b
K
)(j
]/)) ωω+=ω+ω
ω=ωH 
a
K
)(j =ω
max
H tại tần số cộng hưởng ωo= b (8.11) 
Tần số cắt xác định bởi: 
2a
K
2
)(j maxc ==ω HH hay 
2a
K
-[(ba
K
222
=
ωω+ ]/) cc
Điều này đạt được khi 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
9 
 ab
c
2
c ±=ω
ω− hay 0ba c2c =−ω±ω
Phương trình có 4 nghiệm, ta lấy 2 nghiệm dương 
2
4baa 2
1c
++−=ω và 
2
4baa 2
c2
++=ω (8.12) 
Độ rộng băng tần 
 BW=ωc2-ωc1=a 
Thay các giá trị vừa xác định được vào (8.10) 
2
o
2 BWss
Ks(s) ω++=H 
 Đây là dạng tổng quát của hàm số mạch của mạch lọc dải thông bậc 2 có tần số giữa 
ωo và băng thông BW 
 Ngoài ra từ (8.11), (8.12) ta có: 
 ωo2=ωc2.ωc1
 Một mạch lọc dải thông thường cũng là mạch cộng hưởng mà tính chất của nó được 
xác định bởi một đại lượng gọi là hệ số phẩm Q, được định nghĩa như sau: 
BW
Q oω= (8.13) 
 Một mạch có hệ số Q nhỏ thì độ rộng băng tần lớn và ngược lại. Băng thông nhỏ 
đồng nghĩa với độ chọn lọc tốt, vậy hệ số phẩm Q xác định độ chọn lọc của mạch. 
Q càng lớn độ chọn lọc càng tốt, sự cộng hưởng càng nhọn. 
 Dùng hệ số phẩm Q ta viết lại biểu thức hàm số mạch 
2
o
o2 s
Q
s
Ks(s)
ω+ω+
=H (8.14) 
và 
 2o2oo2c1c 2Q2Q
)(, ω+ω+ω±=ωω 2oo 2Q
1(1
2Q
)+ω+ω±= (8.15) 
Nếu Q lớn (Q>>5) 1/2Q<<1, hệ thức (8.15) trở thành 
 o
o
2c1c 2Q
ω+ω±=ωω ,
2
BW
o mω= (8.16) 
Hay 
2
BW
o1c −ω=ω và 2
BW
o2c +ω=ω 
 ωc2 và ωc1 cách đều ωo. Đáp tuyến biên độ gần đối xứng. 
Thí dụ 8.5 Cho mạch lọc dải thông có: 
10,2ss
2s(s) 2 ++=H . Xác định ωo , ωc1, ωc2 và BW 
 ωo2=1 ⇒ ωo=1 rad/s 
 0,905
2
40,040,2
2
4baa 2
1c =++−=++−=ω rad/s 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
10 
 1,105
2
40,040,2
2
4baa 2
c2 =++=++=ω rad/s 
Băng thông 
 BW=ωc2- ωc1=0,2 rad/s 
hệ số phẩm 
 5
0,2
1
BW
Q o ==ω= 
Nếu xem Q=5 là lớn, ta dùng (8.16) để xác định ωc2 và ωc1 
 0,9
2
0,21
2
BW
o1c =−=−ω=ω rad/s 
 1,1
2
0,21
2
BW
o2c =+=+ω=ω rad/s 
So với các kết quả trên, sai biệt khoảng 0,5%. 
8.6 TỈ LỆ HÓA HÀM SỐ MẠCH (Scaling network function) 
 Trong các bài toán trước đây ta luôn luôn gặp các R, L và C với những giá trị thật là lý 
tưởng như R = 1Ω, 2Ω, 3Ω . . .,L = 1H, 2H, 3H . . .,C =1F, 2F, 3F . . .và các tần số thì khoảng 
1vài rad/s. Mạch điện với các trị như thế quả là không thực tế chút nào, vậy để có những 
mạch với các phần tử gần với thật, chúng ta phải chuyển đổi các giá trị này bằng cách qui tỉ lệ 
cho mạch. 
 Có 2 cách qui tỉ lệ: qui tỉ lệ tổng trở và qui tỉ lệ tần số 
8.6.1 Qui tỉ lệ tổng trở 
 Tổng trở của mạch 
sC'
1sL'R'(s)Z' ++= 
Qui tỉ lệ với hệ số Ki Z(s)=KiZ’(s) 
 )(
sC'
1sL'R'KZ(s) i ++= 
i
ii /KsC'
1L'sKR'KZ(s) ++= 
Các phần tử R, L, C của mạch sau khi qui tỉ lệ thỏa hệ thức 
sC
1sLRZ(s) ++= 
Ta thấy ngay 
 R=KiR L=KiL’ C=C’/Ki
 Như vậy, để qui tỉ lệ tổng trở của mạch với hệ số Ki ta nhân R và L với Ki và chia C 
cho Ki
 Đối với nguồn phụ thuộc, sự qui tỉ lệ tùy vào đơn vị của hệ số của nguồn, nếu hệ số 
của nguồn có đơn vị tổng trở, ta nhân cho Ki , nếu là tổng dẫn, ta chia cho Ki. 
8.6.2 Qui tỉ lệ tần số 
 Khi qui tỉ lệ tần số cho một mạch, giá trị của hàm số mạch phải không đổi 
Giả sử hàm số mạch là H’(S) với S=jΩ 
 Sau khi qui tỉ lệ, mạch làm việc với tần số ω=KfΩ. 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
11 
Kf là hệ số qui tỉ lệ tần số. 
 H’(S)= H(s) với S=s/ Kf 
Gọi R’, L’, C’ là các giá trị trước khi qui tỉ lệ 
Gọi R, L, C là các giá trị sau khi qui tỉ lệ. 
 Để hàm số mạch không đổi, các tổng trở ZR, ZL, ZC phải không đổi sau khi qui tỉ lệ, 
nghĩa là ta phải có: 
 sL=SL’ hay L=
fK
L'L
s
S =' 
 R=R’ 
Và 
SC'
1
sC
1 = hay C=
fK
C'C'
s
S = 
Tóm lại, để qui tỉ lệ tần số cho mạch, ta chia L và C cho Kf và giữ nguyên R. 
Thí dụ 8.6 
Xác định hàm số mạch 
(s)
(s)(s)
i
o
V
VH = của mạch (H 8.17) 
(H 8.17) 
a. Qui tỉ lệ tổng trở của mạch với hệ số Ki=500, các phần tử trong mạch có trị như thế nào ? 
b. Để đạt được tần số cắt là 20.000 rad/s, phải qui tỉ lệ tần số với hệ số là bao nhiêu ? 
22ss
2
(s)
(s)(s) 2
i
o
++== V
VH 
Thay s=jω 
222 4-(2
2)(j ω+ω=ω )H
41
1)(j
4 /ω+=ωH 
|H(jω)| giảm khi ω tăng, đây là mạch lọc hạ thông 
Tần số cắt xác định bởi 
2
1
2
)(j
)(j c =ω=ω maxHH hay 2
1
41
1
4
c
=
ω+ /
⇒ ωc4=4 ⇒ 2c =ω rad/s 
 ( ) 21 2
2tan ω−
ω−=ωφ − 
ω=0 ⇒ |H(jω)| =1 và φ(ω)=0 o
ω=ωC = 2 ⇒ |H(jω)| =1/ 2 và φ(ω)=-90 o
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
12 
ω→ ∞ ⇒ |H(jω)|→0 và φ(ω)→-180 o
Đáp tuyến 
(H 8.18) 
a. Với Ki=500 các phần tử thay đổi như sau: 
 R=2Ω trở thành 2x500 = 1000 Ω 
C=1/2 F ⇒ 1/2x1/500 = 1/1000 F 
C=1/4 F ⇒ 1/4x1/500 = 1/2000 F 
Mạch OP-AMP có độ lợi không đổi , tỉ số Vo/Vi cũng không đổi 
b. Để có ωC =20.000 rad/s 
 Kf=20.000/ 2 =10.000 2 
Các tụ trong mạch 
C=1/2 F ⇒ 1/2x1/10.000 2 = 35 µ F 
C=1/4 F ⇒ 1/4x1/10.000 2 = 17,5 µF 
Thí dụ 8.7 
Trở lại thí dụ 8.1 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
Cho R=1Ω, L=2H và C=1/2 F 
Đáp tuyến (H 8.2) có các trị cụ thể ωo =1 rad/s 
|H(jω)|max =R=1 
Giả sử ta phải qui tỉ lệ tổng trở và tần số sao 
cho ωo =106 rad/s với tụ có trị 1nF. Xác định R 
và L. 
Ta có Kf=106
i
6
fi
9
K2.10
1
KK
1/210C === − 
Suy ra Ki=500 
Các trị R và L 
 R=1Ω ⇒ 1x500=500 Ω 
 L=2H ⇒ 36
f
i 10
10
2x500
K
2K −== H=1mH 
(H 8.20) 
(H 8.19) 
Mạch đã qui tỉ lệ (H 8.19) và đáp tuyến (H 8.20) 
8.7 DECIBEL 
 Thính giác của con người nhạy cảm theo âm thanh có tính phi tuyến: Độ nhạy tỉ lệ với 
logarit của biên độ. 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
13 
 Để so sánh âm thanh người ta dùng logarit của hàm số mạch (tức độ lợi của mạch) 
thay vì dùng hàm số mạch và đơn vị được tính bằng Decibel (dB) 
 dB=20log10|H(jω)| 
Đơn vị được biết đến đầu tiên là Bel, định nghĩa bởi Alexander Graham Bell (1847-1922). 
Bel được định nghĩa như là một đơn vị công suất 
1
2
10 P
PlogBel = 
Vì Bel là đơn vị quá lớn nên người ta dùng dB (1dB=1/10Bel) 
1
2
10 P
P10logdB = 
Nếu P2 và P1 là công suất trung bình trên cùng tổng trở thì: 
 )()(
1
2
10
2
1
2
10
1
2
10 V
V20log
V
V10log
P
P10logdB === 
 Ngoài ra , trong kỹ thuật người còn dùng một đại lượng là độ suy giảm (attenuator) 
hay độ hao hụt (loss) xác định bởi 
2
1
10
1
2
10 V
V20log
V
V20log =−=ωα )( 
Một tín hiệu có tần số ω1 với α(ω1) càng nhỏ thì qua mạch ít bị suy giảm. 
Thí dụ 8.8 
 Mạch lọc hạ thông có hàm số mạch cho bởi 
1s2s
1
(s)
(s)(s)
2
i
o
++== V
VH 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
Xác định biên độ, tần số cắt, độ suy giảm và vẽ α(ω) 
Ta có 
41
1)(j ω+=ωH
 ⇒ |H(jω)|max= 1 
 ωc = 1 rad/s 
 1/2410 )20log(1H
120log ω+=ω=ωα )j()( 
(H 8.21) 
(H 8.21) là giản đồ α(ω). 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
14 
BÀI TẬP 
--o0o-- 
8.1 Chứng tỏ mạch điện có hàm số mạch dưới đây là mạch lọc thượng thông. 
0,5ss
2s(s) 2
2
++=H 
Tìm |H(jω)|MAX và ωc
8.2 Chứng tỏ mạch điện có hàm số mạch dưới đây là mạch lọc dải loại. Tìm |H(jω)|MIN và ωo, 
ωc1, ωc2
5ss
253(s
(s) 2
2
2
)
++
+=H 
8.3 Mạch (H 8.P3). Xác định 
(s)
(s)
(s)
i
o
V
VH = 
8.4 Mạch RLC nối tiếp với R=1Ω, L=1/2 H và C=0,02 F (H P8.4). 
Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). Vẽ đáp tuyến tần số của mạch. Xác định ωo, ở đó biên độ H(jω) 
cực đại và góc pha bằng 0. Xác định ωc1, ωc2
 (H P8.3) (H P8.4) 
8.5 Mạch (H P8.5). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s) theo R1, R2 và R3. 
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải thông. Tần số giữa ? 
Với giá trị nào của R1, R2 và R3 ta có kết quả giống BT 8.4 ? 
(H P8.5) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
15 
8.6 Mạch (H P8.6). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). 
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải thông. Tìm độ lợi, băng thông và tần số giữa ? 
(H P8.6) 
8.7 Mạch (H P8.7a). Chứng tỏ Z(s) có dạng: 
)p)(sp(s
)zK(s
(s)
21
1
−−
−=Z 
Xác định z1, p1 và p2 theo R, L và C 
Nếu Cực và Zero của Z(s) có vị trí như (H P8.7b). Tìm R, L và C. Cho Z(j0)=1 
 (a) (H P8.7) (b) 
8.8 Mạch (H P8.8). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). 
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải thông. Tìm độ lợi, băng thông và tần số giữa ? 
Tỉ lệ hóa mạch sao cho tần số giữa là 20.000 rad/s dùng tụ .01µF. 
(H P8.8) 
8.9 Mạch (H P8.9). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). 
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải loại. Tìm độ lợi, tần số giữa và hệ số phẩm? 
Tỉ lệ hóa mạch sao cho tần số giữa là fo=60 Hz dùng tụ 1nF và 2nF. 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
_____________________________________________________Chương 8 Đáp ứng tần số - 
16 
(H P8.9) 
8.10 Chứng tỏ hàm số mạch của mạch (H P8.10) cho bởi: 
1++
+==
1/Qss
1)K(s
(s)
(s)
(s) 2
2
1
2
V
VH 
Và đây là mạch dải loại, có tần số giữa ω0 = 1 rad/s. Xác định độ rộng dải loại. 
Tỉ lệ hóa mạch sao cho tần số giữa là 105 rad/s dùng tụ .001µF. Cho Q=5 và K=0,5. 
(H P8.10) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH