Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên - Phạm Trí Cao

ùc giá trị yj, và
ngược lại, thì ta nói X, Y độc lập. 32
 VD1: Tung 1 con xúc xắc 2 lần. Gọi X= số nút xuất
hiện ở lần tung 1, Gọi Y= số nút xuất hiện ở lần tung 2.
 X,Y độc lập?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
9
33
Giải VD1:
 Đặt Ci=bc xh mặt có số nút là i ở lần tung 1.
Di=bc xh mặt có số nút là i ở lần tung 2.
 Không gian mẫu ={C1D1,C1D2,...,C1D6,
C2D1,... , C2D6,
....
C6D1,... C6D6}
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Y 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1)
P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2)
Tương tự: P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj) ,i,j
Vậy X,Y độc lập. 34
 Thực hành: ta thấy kết quả ở lần tung thứ 1 không
ảnh hưởng đến kết quả ở lần tung thứ 2, và ngược lại
nên X,Y độc lập.
 VD2: tung 1 đồng xu SN 2 lần. Gọi X=số lần được
mặt S. Gọi Y=số lần được mặt N.
 X,Y độc lập?
35
Giải VD2:
X 0 1 2
P ¼ 2/4 ¼
Y 0 1 2
P ¼ 2/4 ¼
Ta thấy X+Y = 2 nên X, Y không độc lập.
36
IV)CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐLNN
1)Kỳ vọng:
Kỳ vọng của X, ký hiệu E(X), được tính bằng công thức:
X x1  xi  xn
P p1  pi  pn
E(X) =  xipi (nếu X là ĐLNN rời rạc),
Hoặc 


 dxxfxXE )(.)( (nếu X là ĐLNN liên tục).
Kỳ vọng toán có các tính chất:
E(c)= c
E(aX)= a.E(X)
E(X±Y)= E(X)±E(Y)
E(XY)= E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập.
với a là hằng số, c là đại lượng ngẫu nhiên hằng.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
10
37
VD: Lớp học có 100 sinh viên. Điểm số môn XSTK của lớp như
sau:
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2
1) tính điểm trung bình môn XSTK của lớp?
2)Chọn NN 1 sinh viên trong lớp ra xem điểm thi. Gọi X là
điểm số của sv này. Lập bảng ppxs cho X? tính kỳ vọng EX?
38
Giải VD:
1) điểm tb x= (1/100).[0*1+1*3+.+10*2] = 5,04 điểm
2)
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
EX= 0*0,01+1*0,03+2*0,05++10*0,02
= (1/100)[0+1*3+.+10*2] = 5,04 = x
Vậy EX chính là điểm số trung bình.
Tương tự:
Nếu X là trọng lượng thì EX là trọng lượng trung bình.
X là chiều cao thì EX là chiều cao trung bình.
X là năng suất thì EX là năng suất tr ung bình, 
39
VD: Cho









]1,0[,0
]1,0[,1)(
x
xxf








1
)(
1
0
)(
0
)()( dxxxfdxxxfdxxxfdxxxfEX
 
1
0 2
11
02
2.1. xdxx
40
2)Phương sai:
Phương sai xác định bằng công thức:
D(X)= var(X)=   2XEXE 
Với ĐLNN rời rạc :
var(X)=   ipi
XEix
2
  



Với ĐLNN liên tục :
var(X)   


 dxxfXEx )(.2
Ta cũng có thể áp dụng công thức biến đổi của phương sai:
var(X)= E(X2)[E(X)]2
với E(X2)= xi2pi hoặc 


 dxxfxXE )(.2)2( .
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
11
41
Phương sai có các tính chất sau:
var(c)= 0
var(X) ≥0, X ; var(X)=0 X=c
var(aX)= a2.var(X)
var(X ± c)= var(X)
var(X ± Y)= var(X) + var(Y), nếu X, Y độc lập.
Với c là ĐLNN hằng, a là hằng số
42
 Ý nghĩa phương sai:
 Xét thí dụ điểm số ở trên. Ta muốn xem lớp có học
“đều” không, nghĩa là các điểm số xi có tập trung gần
điểm trung bình EX không, ta xét |xi-EX|. Để xét tất cả
các giá trị cùng lúc ta xét |xi-EX|pi. Ta mong muốn nó
càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên hàm |x| không phải lúc
nào cũng có đạo hàm, nên ta thay bằng hàm x2.
 Vậy ta xét: (xi-EX)2pi và mong muốn nó càng nhỏ
càng tốt.
 Ta gọi varX=(xi-EX)2pi. Nếu varX nhỏ thì ta nói các xi
tập trung quanh EX, varX lớn ta nói các xi phân tán ra
xa EX.
43
VD:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
E(X2)=02*0.01+12*0.03++102*0.02 = 29,26
varX= E(X2)- (EX)2= 29,26-(5,04)2= 3,8584
Lưu ý rằng đơn vị đo của phương sai bằng đơn vị đo
của X bình phương. Ta hay gặp ký hiệu cho giá trị
phương sai là 2.
44
VD: Cho









]1,0[,0
]1,0[,1)(
x
xxf



 dxxfxXE )(2)2(





1
)(2
1
0
)(2
0
)(2 dxxfxdxxfxdxxfx
 
1
0 3
11
03
3.1.2 xdxx
varX= E(X2)-(EX)2 = (1/3)-(1/2)2 = 1/12
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
12
45
3) Độ lệch chuẩn
*Độ lệch chuẩn được tính bằng căn bậc hai
của phương sai, và có cùng đơn vị đo với
X.
SD(X)=  Xvar = 
VD : = 8584,3 = 1,9643
*Độ lệch chuẩn có ý nghĩa giống phương
sai
46
4)mode (giá trị tin chắc nhất) của X:
Giá trị tin chắc nhất của X, ký hiệu modX.
ĐLNN rời rạc : là giá trị xi ứng với xác suất pi lớn nhất trong
bảng phân phối xác suất
ĐLNN liên tục: hoặc là giá trị của X ứng với điểm cực đại của
hàm mật độ xác suất của X.
Giá trị modX có thể không duy nhất.
VD1:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
ta thấy p6=0,25 lớn nhất nên modX= 5.
47
VD2: tung 1 đồng xu SN 3 lần. Gọi X= số lần
được mặt S
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
modX= 1 hoặc 2. ghi là modX=1, 2
VD3: hàm mật độ Gauss có modX=0
VD4: Cho









]1,0[,0
]1,0[,1)(
x
xxf
modX là mọi điểm nằm trên đoạn [0,1]
48
5)Trung vị (median)
X rời rạc hoặc liên tục
m = med(X)  P(X m)½
Vậy med(X) là điểm phân đôi khối lượng xác
suất thành 2 phần bằng nhau.
Lưu ý: med(X) không duy nhất.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
13
49
VD1:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
P(X<5)= 0.01+0.03+0.05+0.08+0.23 = 0.4 < ½
P(X>5)= 0.15+0.07+0.08+0.03+0.02 = 0.35 < ½
Vậy medX=5
50
VD2:
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
*P(X<1)= 1/8 < ½
P(X>1)= 3/8+1/8 = ½
Vậy medX= 1
*P(X<2)= 1/8+3/8 = ½
P(X>2) = 1/8 < ½
Vậy medX=2
*m(1,2)
P(X<m) = 1/8+3/8 = ½
P(X>m) = 3/8+1/8 = ½
Vậy medX= m
KL: medX= [1,2]
51
6. Moment bậc (cấp) k:
Đặt a=E(X)
*X rời rạc
mk = E(Xk) = 

n
i i
pkix1
: moment gốc cấp k của X
tk = E(X-a)k = 


n
i i
pkaix1
)( : moment quy tâm cấp k
của X
*X liên tục
mk = E(Xk) = 


dxxfkx )(
tk = E(X-a)k = 


 dxxfkax )()(
52
7. Hệ số bất đối xứng:
3
3

t
S  , với )()( XDX 
S = 0: Phân phối đối xứng
S > 0: Phân phối lệch bên phải (so với EX)
S < 0: Phân phối lệch bên trái
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
14
53
8. Hệ số nhọn (độ nhọn)
4
4

t
K  , 4)(4 aXEt 
K càng lớn thì phân phối có độ nhọn càng lớn
(thường so sánh K với độ nhọn của phân phối chuẩn
tắc (có hàm mật độ Gauss), là 3)
K>3: phân phối là nhọn
K<3: phân phối là bẹt (không nhọn)
54
Bài 1: Tung một đồng xu sấp ngữa 2 lần độc lập.
Gọi X là số lần được mặt sấp.
Tính hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn.
Giải:
X 0 1 2
P ¼ 2/4 1/4
E(X) = 0.(1/4)+ 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1
var(X)= (0–1)2.(1/4)+(1–1)2.(2/4)+(2–1)2.(1/4)= ½
55
t3=E(X–1)3=(0–1)3.(¼)+(1–1)3.(2/4)+(2–1)3.(¼)= 0
2
1)var()(  XX
03
0
3
3 

t
S :Phân phối đối xứng qua giá trị EX=1
t4=E(X-1)4=(0-1)4.(1/4)+(1-1)4.(2/4)+(2-1)4.(1/4)= ½
24)2/1(
2/1
4
4 

t
K <3 : phân phối hơi bẹt.
56
 V)HÀM CỦA ĐLNN
 1)hàm 1 biến
 X là ĐLNN. Nếu f(x) là hàm 1 biến liên tục thì f(X) là
ĐLNN.
 VD : X2, |X| là các ĐLNN
 Lưu ý: ta không cần điều kiện “mạnh” là f liên tục, ta
chỉ cần f là “hàm đo được”. Khái niệm này đòi hỏi
phải có kiến thức về xác suất lý thuyết. Điều này
chẳng có gì thích thú cả!
 2)hàm 2 biến
 X,Y là 2 ĐLNN. Nếu f(x,y) là hàm 2 biến liên tục thì
f(X,Y) là ĐLNN.
 VD: X+Y, X.Y là các ĐLNN
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
15
57
VD1: Cho
X -1 0 1 2
P 1/7 3/7 1/7 2/7
1)Lập bảng phân phối xác suất cho |X|
2)Tính E(|X|), var(|X|).
58
1) Giải VD1:
|X| |-1| |0| |1| |2|
P
7
1
7
3
7
1
7
2

Z=|X| 0 1 2
P
7
3
7
2
7
2
2) E(Z)= 0. 7
3 + 1. 7
2 + 2. 7
2 = 7
6
var(Z)= (0– 7
6 )2. 7
3 + (1– 7
6 )2. 7
2 + (2– 7
6 )2. 7
2 = 34/49
Cách khác: E(Z2)= 02. 7
3 + 12. 7
2 + 22. 7
2 = 7
10
var(Z)= E(Z2) – (EZ)2 = 7
10 – ( 7
6 )2 = 34/49
59
VD2: Với X ở VD1.
X -1 0 1 2
P 7
1
7
3
7
1
7
2
1) Lập bảng phân phối xác
suất cho X2
2) Tính E(X2), var(X2)=D(X2).
60
Giải VD2:
X2 (1)2 02 12 22 Z=X2 0 1 4
P 7
1
7
3
7
1
7
2

P 7
3
7
2
7
2
E(Z) = 0. 7
3 + 1. 7
2 + 4. 7
2 = 7
10
var(Z)=(0– 7
10)2.7
3+(1– 7
10)2.7
2+(4– 7
10)2.7
2
= 138/49
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
16
61
VD3: Cho X, Y độc lập.
X 0 1 Y 0 1 2
P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼
1) Lập bảng phân phối xác suất cho X+Y.
2) Tính E(X+Y) , D(X+Y).
3) Lập bảng phân phối xác suất của X.Y
4) Tính E(X.Y), D(X.Y).
62
Giải VD3:
1) Ta lập bảng sau: Z = X + Y
Y
X
0 1 2
0 Z=0 Z=1 Z=2
1 Z=1 Z=2 Z=3
Các số trong bảng là tổng của 2 số ở dòng, cột
tương ứng
X + Y 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
63
Giải VD3 (tt)
P(X + Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0)
= ½. ¼ = 1/8
P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)]
= P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0)
= P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0)
= ½. 4
2 + ½. ¼ = 3/8
P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1)
= ½ . ¼ + ½ . 4
2 = 3/8
P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 64
Giải VD3 (tt)
2) E(Z) = 0.8
1 + 1.8
3 + 2. 8
3 + 3. 8
1 = 3/2
D(Z) = (0 – 2
3)2. 8
1+ (1– 2
3)2. 8
3+(2– 2
3)2. 8
3+(3– 2
3)2. 8
1 = ¾
Cách khác: E[Z2] = 02. 8
1+ 12. 8
3 + 22. 8
3 + 32. 8
1 = 3
D(Z) = E[Z2] – (EZ)2 = 3 – ( 2
3)2 = ¾
Lưu ý: Nếu ta áp dụng tính chất của kỳ vọng, phương sai
thì ta làm như sau:
E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2
D(X + Y) = D(X) + D(Y) = ¼ + ½ = ¾
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
17
65
Mời ghé thăm trang web:





www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com