Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 1: Động lực học chất điểm - Nguyễn Minh Châu

p nhiều chất điểm phân bố liên tục và có mối liên kết rắn 
(khoảng cách giữa các chất điểm là không thay đổi). 
Vd: Đống cát không phải là vật rắn do khoảng cách thay đổi. 
 Cục gạch: vật rắn. 
- Chuyển động: là sự thay đổi vị trí của chất điểm trong suốt quá trình chuyển động. 
- Hệ quy chiếu: là hệ vật quy ước đứng yên để khảo sát các vật khác chuyển động 
đối với nó. Thường người ta gắn hệ trục tọa độ vào hệ quy chiếu. 
1.2 Phương trình chuyển động của chất điểm: 
- Vectơ vị trí của chất điểm: 
. . .r x i y j z k= + + rr rr 
x, y, z là hàm theo thời gian t. 
Tọa độ điểm M: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
z
y
x
M 
Z
y 
x 
rr
j
r
i
r
k
r
0 
- Phương trình chuyển động của chất điểm M: . 
*vectơ vị trí 
* tọa độ điểm M 
- Quỹ đạo của chất điểm M: f (x,y,z) = 0: là tập hợp 
các vị trí của chất điểm trong suốt quá trình 
chuyển động. 
- Muốn tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm, ta khử t ở phương trình chuyển 
động chất điểm: 2 dạng 
+ Dạng 1: phương pháp thế 
+ Dạng 2: sin & cos theo t: áp dụng sin2 + cos2 = 1 
Vd: ( )j2ti
2
tr 2
rrr −+= 
 ( )
02x4y
2x2y
0x2t
2ty
2
tx
M
2
2
2
=−=⇒
⎩⎨
⎧
−=
≥=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
Giới hạn quỹ đạo: t > 0 → 2x > 0 → x > 0 
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
cos sin
coscos
sin sin
sin cos 1 1
r A t i A t j
xtx A t AM
y A t yt
A
y xt t
A A
ω ω
ωω
ω ω
ω ω
= +
⎧ =⎪=⎧ ⎪⇒ ⇔⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎪⎩
+ = ⇔ + =
r rr
x 
ϑr
1r
r
2r
r
z 
y 
0 
rΔrTrường hợp này không còn giới hạn quỹ đạo 
1.3 Vectơ vận tốc: 
1/ Vectơ vận tốc trung bình: ϑ
r
1 1 1
2 2 2
2 1
2 1
t M r
t M r
r r r
t t t
ϑ
→ →
→ →
− Δ= =− Δ
r
r
r r rr
 2/ Vectơ vận tốc tức thời: ϑr 
222
kji
0t
dt
dz
dt
dy
dt
dx
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
zyxr
dt
rd
t
rlim
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ϑ
++==ϑ
++=
=ϑ
Δ
Δ=ϑ →Δ
r
rrrrr
vrrr
rr
rr
 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Điểm đặt: điểm đang xét 
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M 
Chiều: cùng chiều chuyển động 
Độ lớn: 2z
2
y
2
x ϑ+ϑ+ϑ=ϑ=ϑ
r
Vd: 
( )
2
2
41
2
1
t
jti
jtitr
+=⇒
+=
++=
ϑ
ϑ
r
rrr
rrr
1.4 Vectơ gia tốc: 
x 
1ϑ
r
z 
y 
0 
ϑΔ r 
2ϑ
r
2ϑ
ra
r
1/ Vectơ gia tốc trung bình: a
r
1 1
2 2
t M
t M
1
2
ϑ
ϑ
→ →
→ →
r
r ⇒ 
ttt
a Δ
Δ=−
−= ϑϑϑ
rrrr
12
12 
Tịnh tiến 2ϑ
r
về 1ϑ
r
 => a
t
ϑϑ ΔΔ → = Δ
rr r
2/ Vectơ gia tốc tức thời: a
r
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
0
2 22 2 2
2 2 2
lim
. . .
t
x y z
yx z
a
t
da
dt
a a i a j a k
dd dda i j
dt dt dt dt
d x d y d za
dt dt dt
ϑ
ϑ
ϑϑ ϑϑ
Δ →
Δ= Δ
=
= + +
= = + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
r
r
r
rr rr
r rr rr
r
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
Điểm đặt: điểm đang xét M 
Phương: đường thẳng đi qua M 
Chiều: hướng về bề lõm của quỹ đạo 
Độ lớn: 
 222
222
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
++==
dt
d
dt
d
dt
d
aaaaa
zyx
zyx
ϑϑϑ
r
2
k
Vd: 
2 22 0 2 0di tj a i j a
dt
ϑϑ = + ⇒ = = + ⇒ = + =
rr r r r rr r 2 2 
Vectơ gia tốc tức thời được chiếu lên phương tiếp tuyến và pháp tuyến, ta có vectơ gia 
tốc tiếp tuyến và vectơ gia tốc pháp tuyến ta
r
na
r . 
Vectơ gia tốc tiếp tuyến ta
r
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
Điểm đặt: điểm đang xét 
Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M (cùng phương ϑ 
Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi về độ lớn của vectơ vận tốc. Chiều 
đặc trưng: chậm dần, nhanh dần. 
ta
r
M 
r
) 
Chiều: dϑ > 0 , 12
 na
r
Do đó để tìm bán kính cong: phải có độ lớn ϑr và anr . 
Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận tốc. na
r
na
r
 nhỏ => R lớn 
ϑ> : chuyển động nhanh dần => ϑrrϑ ↑↑ta 
 dϑ ϑ
rr< ↑↓ta 
Độ lớn: 
dt
daa tt
ϑ==r 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Điểm đặt: điểm đang xét 
Phương: đt ⊥ tiếp tuyến với quỹ đạo tại M 
Chiều: hướng vào tâm của vòng tròn quỹ đạo tại M 
Độ lớn: R
an
2ϑ= (R: bán kính quỹ đạo tại M) 
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
ϑ
1ϑ
r
1na
r
2ϑ
r
na
r
 lớn => R nhỏ 
2na
r
r
Vectơ vận tốc tức thời: 
22
nt
nt
aaa
aaa
+=
+=
r
rrr
ar đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn và phương của vectơ vận tốc. 
1.5 Chuyển động thẳng: 
Quỹ đạo là đường thẳng: 0=→∞=→ naR (vì 0;
2
=→∞== nn aRRa
ϑ ) 
Nên đưa chuyển động thẳng về 1 trục -> chỉ cần 1 thành phần để biểu diễn. 
2
2
.
~
~
x x
x
x x
r x i x
dxi
dt
d d xa a i a a
dt dt
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ
= →
= → =
= → = =
rr
r r
rr
1/ Chuyển động thẳng đều: ( )constϑ = uuuuurr
0
00
xtxdtdxdtdxconst
dt
dx tx
x
+=⇔=⇔=⇒== ∫∫ ϑϑϑϑ 
2/ Chuyển động thẳng thay đổi đều: ( )consta =r 
0na a= ⇒r r = ta const=
uuuuurr 
( ) tatxxdtatdx
dt
dxatdtad
dt
da
tx
x
t
0
2
0
0
0
0
0
2
1
0
0
ϑϑ
ϑϑϑϑ
ϑ
ϑ
+=−⇔+=⇒
=+=⇒=→=
∫∫
∫∫
Hay: 
( )002
00
2
2
2
1
xxa
xtatx
−=−
++=
ϑϑ
ϑ
ar cùng chiều →ϑr chuyển động nhanh dần đều 
ar ngược chiều chuyển động chậm dần đều →ϑr
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
1.6 Chuyển động tròn: quỹ đạo là đường tròn ⇒ R = const 
1/ Vectơ vận tốc góc ωr : 
 ωr 
 Liên hệ giữa R
rrr ,,ωϑ : Rϑ ω= ×r rr 
2/ Vectơ gia tốc góc: βr 
 βr 
Liên hệ giữa : Rat
rrr ,,β ta Rβ= ×
r rr
t ( a
r cùng chiều ϑr : nhanh dần) 
2 2 2
2
2 2 4 2
.
. .
t
n
t n
a R
Ra R
R R
a a a R
β
ϑ ω ω
ω β
=
= = =
= + = +
3/ Chuyển động tròn đều: 
0
00
0
θωθωθθω
ω
ϑ
θ
θ
+=⇒=⇒=
=
=→=
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
∫∫ tdtddtd
const
aaa
consta
constR
const
t
nt
n
r
rrr
r
4/ Chuyển động tròn thay đổi đều: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Điểm đặt: điểm∈∀ trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục) 
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo 
Chiều: theo quy tắc vặn nút chai 
Độ lớn: 
ϑr
ta
r
ωr
β
Rdt
dS
Rdt
R
Sd
dt
d ϑωω ==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=== .1r 
na
rR
r
r
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
Điểm đặt: ∀ điểm∈trục vòng tròn quỹ đạo (vectơ trục). 
Phương: trục của vòng tròn quỹ đạo . 
Chiều: 0dω β> → r cùng chiều ωr (chuyển động nhanh dần) 
 0dω β< → r ngược chiều ωr (chuyển động chậm dần) 
Độ lớn: 
R
a
dt
d
Rdt
R
d
dt
d t==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=== ϑ
ϑ
ωββ .1r 
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
0
00
.,
ωβωβωωβ
ββ
ω
ω
+=⇒=⇒=
=⇒=
⎭⎬
⎫
=
=
∫∫ tdtddtd
constaRa
constR
const
t
tt
r
Mà: ( ) 002
0
0 2
1
0
θωβθωβθθω
θ
θ
++=⇒+=⇒= ∫∫ ttdttddtd
t
 ( )0202 2 θθβωω −=− 
1.7 Chuyển động trong gia tốc g
r
:(chuyển động parabol) 
0
0
0
0 0
(1)
.
.
. .
t
t
a g gj
da d gj dt
dt
d gj dt
gt j gt j
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ ϑ
= = −
= ⇒ = −
⇔ = −
⇔ = − ⇒ − = −
∫ ∫
r
r
r
r
rr r
r r rr
r r
r r rr r
Mà: ( ) ( ) ji rrr αϑαϑϑ sincos 000 += 
( ) ( )0 0cos sin (2)
x y
dri gt j
dtϑ ϑ
ϑ ϑ α ϑ α⇒ = + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦
rr r r
14243 14424443 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0
2
0 0 0
2
0 0 0
cos sin
1cos sin
2
1cos sin
2
r t
r
dr i gt j dt
r r t i gt j t j
r r ti gt t j
ϑ α ϑ α
ϑ α ϑ α
ϑ α ϑ α
⎡ ⎤⇒ = + − +⎣ ⎦
⎧ ⎫− = + − +⎨ ⎬⎩ ⎭
⎡ ⎤⇔ − = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
r
r
r rr
r rr r
r rr r
r
mà: 22 yx ϑϑϑ +=
r
mà: 
( ) ( )
0
2
0 0
1cos . sin .
2
x
y
r hj
r t i gt tϑ α ϑ α
=
⎡ ⎤⇒ = + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
rr
r rr
1442443 14444244443
h j 
=> phương trình quỹ đạo: 
M 
( )0
0
2
0
cos
cos
1 sin
2
xx t t
y gt t h
ϑ α ϑ α
ϑ α
⎧ = ⇒ =⎪⎪⎨⎪ = − + +⎪⎩
 (3)
( )22 2
0
.
2 .cos
gy x tg xαϑ α= − + + h => (4) 
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
Các vấn đề thường gặp: 
• Ở độ cao cực đại: (B): tiếp tuyến nằm ngang 0=→ yϑ ; nBa g= 
g
tB
αϑ sin0= BBxBy ϑαϑϑϑ ==⇒= cos0 0 => 
Ta có: 
R
an
2ϑ= => 
• Độ cao max: thế tB vào (1) 
( )2 0
2 2
0 0
02
2 2
0
1 sin
2
sin sin1 . sin
2
sin1
2
B
B
y gt t h
y g h
g g
y h
g
ϑ α
ϑ α ϑ αϑ α
ϑ α
⇒ = − + +
⇒ = − + +
⇒ = +
0r
r rr
x
B 
M
Bϑ
r
ϑr
0ϑ
r
grα
gr
A
C
0
ga
R
n
B
B
αϑϑ 2202 cos== 
(Vì a g ) 0,
B Bt n
a a g↓↓ ⇒ = =r r
• Tại điểm chạm đất (C): 
* Thời gian chạm đất; 2 0
1 sin 0 0
2c c c c
y gt t h tϑ α= − + + = ⇒ > 
* Điểm chạm đất cách chân điểm ném: ( )22 2
0
. 0
2 .cosc c c
gy x tg x hαϑ α 0cx= − + + = ⇒ > 
g
tC
αϑ sin2 0= • Khi ném tại mặt đất (h=0) 
 *Tầm xa : 
2 2
0 02 sin .cos sin 2
Cx g g
ϑ α α ϑ= = α ⇒ Để xC max α = 45o
 *Độ cao cực đại: 
2 2
0 sin1
2B
y
g
ϑ α= 
 * Bán kính cong của quỹ đạo tại C: ( at=gsinα ; an=gcosα ; ϑc=ϑ0 ) 
α
ϑϑ
cos.
22
ga
R o
n
C
C == 
 @Hỏi góc α?: Cx,0ϑ cho trước 
1
2
2
2. 2sin sin 2
2
2 2
C
o
x g
βαα ββ α α π β βϑ πα
⎧ ==⎧ ⎪= = ⇒ ⇒⎨ ⎨= −⎩ ⎪ = −⎩
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU 
1.8 Phép biến đổi vận tốc – gia tốc: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
o
o
o
aaa
rrr
rrr
rrr
rrr
'
'
'
ϑϑϑ 
b
n
n
t
b
t ϑϑϑ
rrr += ' 
• Quan niệm cơ học cổ điển: 
Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Trong khi vị trí, không 
gian có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu. 
Xét 2 hệ quy chiếu O, O’ ; và O’ chuyển động tịnh tiến so với O. khi đó chuyển động 
điểm M đ/v O và O’: 
:
' : ' ' ' '
' '
O r xi yj zk
O r x i y j z k
OM OO O M
= + +
= + +
⇒ = +
rrr
rrr
uuuur uuuur uuuuur
hay: 
o
o
o
aaa
rrr
rrr
rrr
rrr
+=
+=
+=
'
'
'
ϑϑϑ 
M 
x’ 
x 
0 
0
y 
z
z’
rr
'rr
0r
r
y’ 
 Vận tốc đie⎧ :ϑ åm M so với O 
Vận tốc điểm M so với O’ 
Vận tốc của O’ so với O 
Gia tốc điểm M so với O 
Gia tốc điểm M so với O’ 
Gia tốc của O’ so với O 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
r
:
:'
oϑ
ϑ
r
r
⎪⎩
⎪⎨
⎧
:
:'
:
oa
a
a
r
r
r