Bài giảng Vật lý Đại cương A2 (Dùng cho sinh viên hệ đại học các ngành kỹ thuật)

ào nhiều và ngƣợc lại, nhƣng luôn khác 0. 
Ví dụ hạt electron m = 9,1.10
-31
kg. Nếu U
0 
- E ~ 1,3.10
-31
J, ta có đƣợc sự phụ thuộc 
của D vào bề rộng của hàng rào thế năng theo bảng sau: 
Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2 
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể 2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo 
158 
Hệ số D có giá trị đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng đƣờng ngầm chỉ xảy ra rõ rệt 
trong kích thƣớc vi mô. Hiệu ứng đƣờng ngầm là một hiện tƣợng thể hiện rõ tính chất 
sóng của vi hạt, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô. 
Hiệu ứng đƣờng ngầm cho phép ta giải thích nhiều hiện tƣợng gặp trong tự nhiên. 
Ví dụ hiện tƣợng phát electron lạnh, hiệu ứng phân rã hạt α... 
Hiện tƣợng phát electron lạnh: electron muốn thoát ra khỏi kim loại cần có đủ năng 
lƣợng thắng công cản, vƣợt qua hàng rào thế năng U
o
, nhƣ vậy ta cần phải nung nóng 
kim loại. Tuy nhiên, vì có hiệu ứng đƣờng 
ngầm, nên ngay ở nhiệt độ thƣờng, dù E < 
U
o
, vẫn có khả năng electron thoát ra ngoài 
kim loại. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là hiện 
tƣợng phát electron lạnh. 
Hiện tƣợng phân rã α cũng đƣợc giải thích 
tƣơng tự. Hạt nhân nguyên tử gồm có các 
hạt proton (p) và notron (n). Trong hạt nhân 
các hạt p và n tƣơng tác với nhau bằng lực 
hạt nhân, cho nên có thể xem nhƣ chúng 
nằm trong giếng thế năng. Hạt α gồm hai hạt 
p và hai hạt n, mặc dù năng lƣợng của hạt α 
nhỏ hơn độ cao rào thế nhƣng do hiệu ứng đƣờng ngầm, hạt p và n của hạt α vẫn có thể 
bay ra khỏi hạt nhân, hiện tƣợng này gọi là hiện tƣợng phân rã α (hình 7.9). 
3. Dao động tử điều hòa lƣợng tử 
Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ 
về dao động tử điều hòa lƣợng tử. Dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của 
các iôn xung quanh nút mạng tinh thể... đều là những ví dụ về dao động tử điều hòa. Dao 
động tử điều hòa là một hiện tƣợng rất quan trọng của vật lí nói chung và cơ học lƣợng tử 
nói riêng. 
Ta xét vi hạt dao động (một chiều) trong trƣờng thế năng. Trong phần dao động ta 
đã biết thế năng của dao động điều hòa một chiều bằng: 
a[m] 10
-10
 1,5.10
-10
 2.10
-10
 5.10
-10
D 0,1 0,03 0,008 5.10
-7
Hình 7-9 Hiện tƣợng 
phân rã α 
Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2 
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể 2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo 
159 
2 2 21
2
U kx m x  (7.46) 
trong đó m là khối lƣợng của vi hạt, ω là tần số góc của dao động. Phƣơng trình 
Schrodinger cho dao động tử điều hòa có dạng: 
2 2 2
2 2
2
( ) 0
2
d m m x
E
dx
 
  

 (7.47) 
Giải phƣơng trình (7.47) và tìm đƣợc biểu thức năng lƣợng của dao động tử điều 
hòa: 
1
( )
2
nE n  với n = 0,1,2... (7.48) 
Ta thấy năng lƣợng của dao động tử chỉ lấy những giá trị gián đoạn, có nghĩa rằng 
năng lƣợng của dao động tử đã bị lƣợng tử hóa. Năng lƣợng thấp nhất của dao động tử 
điều hòa ứng với n = 0. 
0
2
E



Năng lƣợng này đƣợc gọi là năng lƣợng “không”. Năng lƣợng “không” liên quan 
đến dao động “không” của dao động tử, nghĩa là khi T = 0K, dao động tử vẫn dao động. 
Điều này đã đƣợc thực nghiệm xác nhận trong thí nghiệm tán xạ tia X. Tia X bị tán xạ là 
do các dao động nguyên tử trong mạng tinh thể gây ra. Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ 
càng giảm, biên độ dao động của các nguyên tử giảm đến không, do đó sự tán xạ của ánh 
sáng phải biến mất. Nhƣng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cƣờng độ tán xạ 
tiến tới một giá trị giới hạn nào đó. Điều đó có nghĩa rằng, ngay cả khi T→ 0, sự tán xạ 
ánh sáng vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tƣơng ứng với 
một năng lƣợng E
o 
nào đó. Nhƣ vậy thực nghiệm đã xác nhận sự đúng đắn của cơ học 
lƣợng tử. 
Sự tồn tại của năng lƣợng “không” cũng phù hợp với hệ thức bất định Heisenberg. 
Thực vậy, nếu mức năng lƣợng thấp nhất của dao động tử bằng 0, nhƣ thế có nghĩa là hạt 
đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt đƣợc xác định đồng thời (đều bằng 0), điều này 
mâu thuẫn với hệ thức bất định. Sự tồn tại của mức năng lƣợng “không” của dao động tử 
điều hòa là một trong những biểu hiện đặc trƣng nhất của lƣỡng tính sóng-hạt của vi hạt. 
CÂU HỎI LÍ THUYẾT 
1. Phát biểu giả thuyết de Broglie về lƣỡng tính sóng hạt của vi hạt. 
2. Viết biểu thức hàm sóng cho vi hạt và nêu ý nghĩa của các đại lƣợng có trong biểu thức 
đó. 
3. Viết phƣơng trình Schrodinger cho vi hạt tự do và vi hạt chuyển động trong trƣờng lực 
thế. Nêu ý nghĩa các đại lƣợng có trong phƣơng trình. 
4. Hãy nêu bản chẩt và ý nghĩa thống kê của hàm sóng. Các điều kiện của hàm sóng. 
Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2 
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể 2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo 
160 
5. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg cho vị trí và động lƣợng. 
8. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định cho năng lƣợng. 
7. Phân tích tại sao trong cơ học lƣợng tử khái niệm quĩ đạo của vi hạt không còn có ý 
nghĩa. Khái niệm quĩ đạo của vi hạt đƣợc thay thế bằng khái niệm gì ? 
8. Hãy tìm biểu thức của hàm sóng và năng lƣợng của vi hạt trong giếng thế năng một 
chiều, có chiều cao vô cùng. 
9. Định nghĩa dao động tử điều hòa lƣợng tử. Viết phƣơng trình Schrodinger và biểu thức 
năng lƣợng của dao động tử điều hòa. Từ đó rút ra biểu thức của “năng lƣợng không”, 
nêu ý nghĩa của biểu thức này. 
BÀI TẬP 
Thí dụ 1: Electron chuyển động tƣơng đối tính với vận tốc 2.10
8
m/s. Tìm: 
1. Bƣớc sóng de Broglie của electron. 
2. Động lƣợng của electron. 
Bài giải 
1. ¸p dụng cơ học tƣơng đối tính: 
2
2
120
2
0
2
(1 )
; 2,72.10
v v
(1 )
e
e
v
mh h c
m m
m mv
c
  

    

. 
2. Động lƣợng của electron: 222,44.10 . /
h
p kg m s

  . 
Thí dụ 2: Động năng của electron trong nguyên tử hiđrô có giá trị vào cỡ 10eV. Dùng hệ 
thức bất định hãy đánh giá kích thƣớc nhỏ nhất của nguyên tử. 
Bài giải: Theo hệ thức bất định Heisenberg: . xx p h   
Giả sử kích thƣớc của nguyên tử bằng , vậy vị trí của electron theo phƣơng x xác 
định bởi: 0
2
l
x  , nghĩa là 
2
l
x  
Từ hệ thức bất định ta suy ra: 
2
x
h
l
p


Mặt khác xp p  mà 2 Ee đp m , trong đó Eđ là động năng. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của kích thƣớc nguyên tử: 10min
2
1,24.10
2 Ee đ
h
l m
m
  . 
Bài tập tự giải 
Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2 
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể 2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo 
161 
1. Electron phải có vận tốc bằng bao nhiêu để động năng của nó bằng năng lƣợng của 
photon có bƣớc sóng λ = 5200A
0
. 
Đáp số: 5v=9,2.10 /m s 
2. Tìm vận tốc của electron để động lƣợng của nó bằng động lƣợng của photon có bƣớc 
sóng λ = 5200A
0
. 
Đáp số: v=1400 /m s 
3. Tìm động lƣợng của electron chuyển động với vận tốc c8,0v= 
Đáp số: 22p=3,64.10 /kgm s 
4. Tìm bƣớc sóng de Broglie của: 
a. Electron đƣợc tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V, 100V, 1000V. 
b. Electron đang chuyển động tƣơng đối tính với vận tốc 10
8
m/s. 
Đáp số: 
a. 10 10 101 2 312,25.10 ; 1,225.10 ; 0,338.10m m m  
     . 
b. 110,69.10 m  . 
5. Xác định bƣớc sóng de Broglie của electron có động năng 
a. E
đ 
= 100eV. 
b. E
đ
= 3MeV 
Đáp số: 
a.  = 1,23.10
-10
 m. 
b.  = 0,82.10
-10
 m. 
8. Electron có bƣớc sóng de Broglie λ = 8.10
-10
m. Tìm vận tốc chuyển động của electron. 
Đáp số: v = 0,12.107 m/s. 
7. Electron không vận tốc ban đầu đƣợc gia tốc bởi một hiệu điện thế U. Tính U biết rằng 
sau khi gia tốc hạt chuyển động ứng với bƣớc sóng de Broglie 10
-10
m. 
Đáp số: U= 150 V . 
8. Một hạt mang điện đƣợc gia tốc bởi hiệu điện thế U = 200V, có bƣớc sóng de Broglie 
λ = 0,0202.10
-8
m và điện tích về trị số bằng điện tích của electron. Tìm khối lƣợng của 
hạt đó. 
Đáp số: m=1,87.10-27 kg. 
9. Electron có động năng E
đ 
= 15eV, chuyển động trong một giọt kim loại kích thƣớc d = 
10
-8
m. Xác định độ bất định về vận tốc của hạt đó. 
Đáp số: 0,88 % 
Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2 
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể 2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo 
162 
10. Hạt vi mô có độ bất định về động lƣợng bằng 1% động lƣợng của nó. Xác định tỷ số 
giữa bƣớc sóng de Broglie và độ bất định về toạ độ của hạt. 
Đáp số: 100
x


 . 
11. Viết phƣơng trình Schrodinger đối với hạt vi mô: 
a. Chuyển động một chiều trong trƣờng thế 
2
2
kx
U  . 
b. Chuyển động trong trƣờng tĩnh điện Coulomb 
2
04
Ze
U
r
  . 
Đáp số: a. 
2 2
2 2
2
( ) 0
2
d m kx
E
dx

  

. 
 b. 
2 2
2 2
0
2
( ) 0
4
d m Ze
E
dx r



  

. 
12. Dòng hạt có năng lƣợng E xác định 
chuyển động theo phƣơng x từ trái sang 
phải đến gặp một hàng rào thế năng xác 
định bởi: 
0 0
0 0
0
khi x
U
U khi x E U

 
 
Xác định hệ số phản xạ và hệ số truyền qua 
hàng rào thế đối với electron đó. 
Hƣớng dẫn và giải 
Giải phƣơng trình Schrodinger ở hai miền I và II. Trong miền I hàm sóng 1( )x thoả 
mãn: 
2
1
12 2
2
0e
d m
E
dx

 

 
Đặt 
2
2
2m
E k

, nghiệm của phƣơng 
trình: 1
ikx ikxAe Be   
Số hạng Ae
ikx 
mô tả sóng truyền từ trái sang phải (sóng tới), số hạng Be
-ikx 
mô tả sóng 
truyền từ phải sang trái (sóng phản xạ trong miền I). 
Trong miền II, hàm sóng thoả mãn:  
2
2
0 22 2
2
0e
d m
E U
dx

  

Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2 
Tác giả: 1. GV. Th. s Nguyễn Phƣớc Thể 2. Th. s. Lê Văn Khoa Bảo 
163 
Đặt  21 02
2 emk E U 

 phƣơng trình có nghiệm tổng quát: 
2
ikx ikxCe De   . Trong 
miền II chỉ có sóng truyền từ trái sang phải nên D = 0. Vậy 
2
ikxCe  . Để tìm A, B, C ta 
viết điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm cấp 1 của hàm sóng: 
1 2
1 2
(0) (0)
(0) (0),
d d
dx dx
 
   
Ta đƣợc: 
1
1
, ( )
A B k
A B C k A B k C
A B k

     

. 
Hệ số phản xạ: 
2
2
0122
1
2
11 0
1 11
1 1 1
Uk
B k k EkR
kk k UA
k E
  
     
      
           
. 
Hệ số truyền qua: 1
2
2
4
1
( )
kk
D R
k k
  
