Bài giảng Trường Điện Từ - Chương 1, Lecture 1: Giải tích vectơ

%
 Thi cuối học kỳ : 60%

 Hình thức kiểm tra và thi: tự luận, kiểm tra: 75-90 phút, 
thi: 110-120 phút, không sử dụng tài liệu, có bảng công
thức ở mặt sau của ñề thi. 
4 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Chương 1. Vectơ và trường
Lecture-1: Giải tích vectơ
[1. Be familiar with the different vector operators used in Maxwell’s equations]
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
1) ðại số vectơ
 Vectơ ñơn vị: ñộ lớn bằng 1 ñơn vị, ký hiệu: 
 Tập vectơ ñơn vị trực giao: 3 vectơ ñơn vị chỉ phương trực
giao nhau dùng ñể biễu diễn cho một vectơ bất kỳ
1a

2a

3a

Thuận
1a

3a

2a

Nghịch
Chỉ dùng trực giao thuận!
a

(along unit vector)
5 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
1) ðại số vectơ
 Biểu diễn vectơ bất kỳ trong tập vectơ ñơn vị trực giao thuận
1a

2a

3a

P
11A a

22A a

1 21 2A a A a+
 
33A a

1 2 31 2 3A A a A a A a= + +

   
ðộ lớn của :A


2 2 2
1 2 3| |A A A A= + +


1 2 32 4A a a a= − +

   
2 2 2| | 2 ( 4) 1 21A⇒ = + − + =
Ví dụ:
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Các phép toán trên vectơ:
1 2 31 2 3A A a A a A a= + +

   
1 2 31 2 3B B a B a B a= + +

   
 Cộng trừ vectơ:
( ) ( )1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3A B A a A a A a B a B a B a+ = + + + + +
 
      
( ) ( ) ( )1 2 31 1 2 2 3 3A B a A B a A B a= + + + + +
  
( ) ( )1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3A B A a A a A a B a B a B a− = + + − + +
 
      
( ) ( ) ( )1 2 31 1 2 2 3 3A B a A B a A B a= − + − + −
  
1) ðại số vectơ
Ví dụ: 1 2 3 1 2 32 4 ; 2 3A a a a B a a a= − + = + +

    
   
1 2 3
1 2 3
3 2 4
6 2
A B a a a
A B a a a
+ = − +
⇒
+ = − −

 
   

 
   
6 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Nhân, chia vectơ với vô hướng:
( )1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3mA m A a A a A a mA a mA a mA a= + + = + +
      
1 2 31 2 3 31 2
1 2 3
B a B a B a BB BB
a a a
m m m m m
+ +
= = + +
  

  
 Vectơ ñơn vị theo hướng : A


31 2
1 2 3| | | | | | | |A
AA AA
a a a a
A A A A
= = + +


   

 
 
 

1) ðại số vectơ
Ví dụ: 1 2 32 4 4A a a a= − +

   
1 2 3
1 2 3
2 2 2
2 4 4 1 2 2
3 3 32 ( 4) 4
A
a a a
a a a a
− +
⇒ = = − +
+ − +
  
   
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Tích vô hướng của 2 vectơ: . | || | cosA B A B α=
 
 
 

. 1; ( 1,2,3; 1,2,3)
. 0;
i j
i j
a a i j
i j
a a i j
 = =
⇒ = =
= ≠
 
 
1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
. ( )( )A B A a A a A a B a B a B a
A B A B A B
⇒ = + + + +
= + +

 
      
1) ðại số vectơ
Ví dụ: 1 2 3 1 2 32 4 ; 2 3A a a a B a a a= − + = + +

    
   
. 2 8 3 3A B⇒ = − + = −

 

7 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Tích hữu hướng (tích vectơ) của 2 vectơ: 
| || | sin nA B A B aα× =
 
 
 
 
1 1
2 1 3
3 1 2
0a a
a a a
a a a
× =
× = −
× =
 
  
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
A B B A A A A
B B B
⇒ × = − × =
  

 
 
 

na

1 2 3
2 2
3 2 1
0
a a a
a a
a a a
× =
× =
× = −
  
 
  
1 3 2
2 3 1
3 3 0
a a a
a a a
a a
× = −
× =
× =
  
  
 
⇒
1) ðại số vectơ
1a

2a

3a

Ví dụ: 1 2 3 1 2 32 4 ; 2 3A a a a B a a a= − + = + +

    
   
1 2 3
1 2 31 4 1 14 2 6
2 3
a a a
A B a a a⇒ × = − = − − +
  

 
   
 1 
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
2) Hệ tọa ñộ và yếu tố vi phân
 HTð ðề-các (Cartesian or rectangular coordinate system)
 Hệ tọa ñộ Trụ (cylindrical coordinate system): 
 Hệ tọa ñộ cầu (spherical coordinate system)
 Chuyển ñổi hệ tọa ñộ (coordinate systems conversion) 
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
8 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
x y zx y zVT : A=A (x,y,z)a +A (x,y,z)a +A (x,y,z)a

   
VH : (x,y,z)Φ = Φ
 HTð ðề-các (Cartesian or rectangular coordinate system)
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Hệ tọa ñộ Trụ (cylindrical coordinate system): 
r zr zVT : A=A (r, ,z)a +A (r, ,z)a +A (r, ,z)aφφφ φ φ

   
VH : (r, ,z)φΦ = Φ
9 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Hệ tọa ñộ cầu (spherical coordinate system)
r θr θVT : A=A (r,θ, )a +A (r,θ, )a +A (r,θ, )aφφφ φ φ

   
VH : (r,θ, )φΦ = Φ
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
0
x
y
z
P
x
y
z
rc
rs
cos
c
x r φ=
sin
c
y r φ=
z z=
2 2
c
r x y= +
z z=
1tan
y
x
φ −=
sin cossx r θ φ=
sin sinsy r θ φ=
cossz r θ=
2 2 2
sr x y z= + +
2 2
1tan
x y
z
θ − +=
1tan
y
x
φ −=
 Chuyển ñổi hệ tọa ñộ (coordinate systems conversion) 
10
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Chuyển ñổi hệ tọa ñộ (coordinate systems conversion) 
φ
xa

rca

ya

aφ

za

θ
aθ

rca

za

rsa

aφ

. cosrc xa a φ= 
. sinxa aφ φ= − 
. 0z xa a =
 
. sinrc ya a φ= 
. cosya aφ φ= 
. 0z ya a =
 
. 0rc za a =
 
. 0za aφ =
 
. 1z za a =
 
. sin cosrs xa a θ φ= 
. cos cosxa aθ θ φ= 
. sinxa aφ φ= − 
. sin sinrs ya a θ φ= 
. cos sinya aθ θ φ= 
. cosya aφ φ= 
. cosrs za a θ=
 
. sinza aθ θ= −
 
. 0za aφ =
 
Ví dụ: ( )x y zA xa ya za D= + +

   
?( )A C⇒ =


 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
 Chuyển ñổi hệ tọa ñộ (coordinate systems conversion) 
sin cos (sin cos cos cos sin )rA r a a aθ φθ φ θ φ θ φ φ= + −
   
x
xa

sin sin (sin sin cos sin cos )rr a a aθ φθ φ θ φ θ φ φ+ + +  
y ya

cos (cos sin )rr a aθθ θ θ+ −
 
z za

rA ra⇒ =

 
11
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
x y zd dxa dya dza= + +


   
ℓ
x xdS dydza= ±


 
y ydS dxdza= ±


 
z zdS dxdya= ±


 
dV dxdydz=
Cartesian coordinate system 
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Cylindrical coordinate system 
r zd dra rd a dzaφφ= + +

   ℓ
r rdS rd dzaφ= ±

 
dS drdzaφ φ= ±


 
z zdS rdrd aφ= ±


 
dV rdrd dzφ=
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
12
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Spherical coordinate system 
sinrd dra rd a r d aθ φθ θ φ= + +

   ℓ
2 sinr rdS r d d aθ θ φ= ±


 
sindS r drd aθ θθ φ= ±


 
dS rdrd aφ φθ= ±


 
2 sindV r drd dθ θ φ=
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Plane φ = constantrsinθdφ = h3du30 to 2piu3=φ
rdθ = h2du2
dr = h1du1
dz = h3du3
rdφ = h2du2
dr = h1du1
dz = h3du3
dy = h2du2
dx = h1du1
Length 
element
Sphere r = constant0 to ∞u1=rSpherical
Cone θ = constant0 to piu2=θ
Plane z = constant
-∞ to +∞u3=z
Plane z = constant
-∞ to +∞u3=z
Cylinder r = constant0 to ∞u1=rCylindrical
Plane φ = constant0 to 2piu2=φ
Unit 
vectors
Plane y = constant
-∞ to +∞u2=y
Plane x = constant
-∞ to +∞u1=xCartesian
Coordinate surfacesRangeCoordinateCoordinate 
system
1 xa a=
 
2 ya a=
 
3 za a=
 
1 ra a=
 
2a a φ=
 
3 za a=
 
1 ra a=
 
2a a θ=
 
3a a φ=
 
1 2 3: 1; 1; 1Cartesian h h h= = = 1 2 3: 1; ; 1Cylindrical h h r h= = =
1 2 3: 1; ; sinSpherical h h r h r θ= = =
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
13
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
1 3 31 1 2 2 3 3d h du a h du a h du a= + +


   
ℓ
1 12 3 2 3 1 (u )dS h h du du a const= ± =


 
2 21 3 1 3 2 (u )dS h h du du a const= ± =


 
3 31 2 1 2 3 (u )dS h h du du a const= ± =


 
1 2 3 1 2 3dV h h h du du du=
Differential elements
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Tích phân ñường:
B
AB C A
W F d F d= =∫ ∫



 



ℓ ℓ
C
F d∫




ℓ C: ðường kín
(công)
(lưu số)
Ví dụ: x y zF xa ya za= + +

   
; (0,0,0), (1,1,1)A B ?B
A
Fd⇒ =∫




ℓ
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
14
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
F


F


F


Tích phân mặt:
Thông lượng gửi qua mặt S:
S
F dSψ = ∫



F


dS



S Nếu S là mặt kín: S FdSψ = ∫





Ví dụ: Tính thông lượng của vectơ gửi ra khỏi mặt kín S 
giới hạn hình trụ bán kính a, dài ℓ ñồng trục với trục z của 
HTð trụ? Biết
J

2(4 / ) ( / )J rr a A m=
 
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals) 
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Tích phân khối:
Dùng ñể tính tổng của một ñại lượng khi biết phân bố của nó
trong thể V. Ví dụ: mật ñộ khối lượng (kg/m3); mật ñộ ñiện tích
khối (C/m3); mật ñộ năng lượng (J/m3); mật ñộ công suất tổn
hao nhiệt (W/m3); .
Ví dụ: ðiện tích phân bố trong quả cầu bán kính 1m với mật
ñộ ρv=4r(C/m3). Hãy xác ñịnh tổng ñiện tích Q trong quả cầu
trên?
vV
dVρ∫
 Yếu tố vi phân & tích phân (Differential elements & integrals)