Bài giảng Toán tài chính - Chương 5c: Hồi qui và tương quan

ô hình hồi quy đơn giản nhất: hồi quy tuyến tính
Có thể sử dụng các mô hình khác: phi tuyến; bậc 2; bậc 3; 
mũ; logarit 
30
HỒI QUY TUYẾN TÍNH
X và Y có tương quan tuyến tính mạnh
Ta giả sử X và Y có mối quan hệ tuyến tính với nhau.
Mô hình như sau:
 β1 ∶ hệ số chặn (intercept)
 β2: hệ số góc (slope)
u: sai số ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên, nhiễu trắng) 
1 2y x ub b  
31
HỒI QUY TUYẾN TÍNH
Với giá trị quan sát được ta có:
yi : giá trị quan sát được của Y khi X nhận giá trị là xi.
xi: giá trị quan sát thứ i của X.
ui: sai số ngẫu nhiên khi X nhận giá trị xi.
1 2i i iy x ub b  
32
HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ
Hàm hồi quy tổng thể
Đối với một quan sát cụ thể ta có:
Mô hình chỉ có một biến phụ thuộc Y và một biến giải
thích X.
 và  gọi là hệ số chặn (intercept) và hệ số góc (slope) 
của đường thẳng hồi quy.
( ) 1 2
1 2
|
i
E Y X X X
Y X
b b
b b
= = +
= +
1 2i i i
Y X ub b= + +
33
HÀM HỒI QUY MẪU SRF
Ta ít khi có số liệu của cả tổng thể mà chỉ có số liệu của mẫu
(số liệu quan sát được)
Ta dùng số liệu mẫu để ước lượng tổng thể
Hàm hồi quy mẫu:
Đối với quan sát thứ i:
µ µ µ
1 2i i
Y Xb b= +
µ µ µ
1 2i i i
Y X ub b= + +
34
YX
35
1b
2bˆ
1bˆ
PRF
2b
SRF
Hệ số hồi quy trong hàm hồi quy PRF và SRF 
PRF và SRF
PRF VÀ SRF
Trong đó
 là ước lượng cho b1.
  là ước lượng cho b2.
  là ước lượng cho Y hay E(Y|Xi)
Ta sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông
thường (OLS) để tìm  ;  
36
HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HỒI QUY MẪU
37
CHÚ Ý
Tình trạng Biện pháp
Hệ số β1 Tham số
Không xác định được
chính xác giá trị
Ước lượng
Kiểm địnhHệ số β
Phương sai sai số 2
Hệ số  Biến ngẫu nhiên
Có thể tính được giá trị trên mẫu đã
chọn
Dùng để ước lượng cho các tham số
tổng thể
Hệ số 
Phương sai thặng dư
mẫu 2
38
ƯỚC LƯỢNG OLS
Tìm giá trị của β1; β2 sao cho:
Đạt giá trị nhỏ nhất (pp bình phương tối thiểu)
Dễ thấy: 
( )
2
2
1 2
1 1
n n
i i i
i i
u y xb b
= =
= - -å å
( ) ( )
µ
( )( )
( )
µ1
2
2
1 22 2
2 2
1 2
2
1
. . .
;
n
i i
i
n
i
i
x y x xy xy x y
x x x x
x x y y
y x
x x
b b
b b
b=
=
- -
= =
- -
=
-
-
-
-
=
å
å
39
HỆ SỐ HỒI QUY MẪU
Là các ước lượng của β1; β2
Dạng biểu diễn khác: 
µ
( )
( )
( )
( )
µ µ
1
2
2 2
1
1 1
1 2
;
n
ni i
ii
i i in n
i
i i
i i
x x y x x
c y c
x x x x
y x
b
b b
=
=
= =
- -
= = =
- -
= -
å
å
å å
40
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
Giá trị trung bình các hệ số hồi quy mẫu: 
Phương sai các hệ số hồi quy mẫu:
Ta dùng các kết quả trên để ước lượng giá trị của các hệ số
hồi quy tổng thể β1; β2
Nhưng giá trị của 2 chưa xác định.
µ( ) µ( )1 21 2;E Eb b b b= =
µ( )
( )
( )
µ( )
( )
2
2
2
1 22 2
1 1
1
n n
i i
i i
x
V V
n
x x x x
s
b s b
= =
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= + =÷ç ÷ç ÷÷ç - -÷ç ÷çè ø
å å
41
MỘT VÀI TÍNH CHẤT
42
MỘT VÀI TÍNH CHẤT
Ta có:
    
1 1 1 1
0
n n n n
i i i ii i i
i i i i
u y y y y y y
   
         
43
KÝ HIỆU
Ta có:
44
TÁCH NHÓM BIẾN THIÊN: KHÁI NIỆM
TSS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa
từng giá trị yi và trị số trung bình của y. 
ESS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa
các giá trị quan sát và giá trị dự đoán của y. 
RSS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa
giá trị dự đoán của y và trị số trung bình của y. 
45
ĐO SỰ BIẾN THIÊN CỦA DỮ LIỆU
Tổng bình phương toàn phần (Total Sum of Squares)
Tổng bình phương hồi quy (Regression Sum of Squares)
Tổng bình phương sai số (Residual Sum of Squares)
( )
2
1
n
i
i
R SS y y
=
= -å $
( )
2
1
n
i
i
T SS y y
=
= -å
( )
2
1
n
ii
i
E SS y y
=
= -å $
46
RSS
Tổng chênh lệch
47
ESS
SRF
Y
X
yi
Xi

iy
Ý nghĩa hình học của TSS, RSS và ESS
Các tổng bình phương độ lệch
( )
2
1
n
i
i
R SS y y
=
= -å $
( )
2
1
n
i
i
T SS y y
=
= -å
( )
2
1
n
ii
i
ESS y y
=
= -å $
y y= $
CÁC TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH
Khi điểm quan sát càng gần đường thẳng ước lượng thì “độ
thích hợp” càng cao, có nghĩa là ESS càng nhỏ và RSS càng
lớn.
Tham số đo độ thích hợp:
R2 càng lớn càng tốt
ESS: biến thiên không giải thích được
RSS: biến thiên giải thích được
R2 nhỏ nghĩa là nhiều biến thiên của Y không giải thích được
bằng X. Cần phải thêm nhiều biến khác vào mô hình.
20 1R£ £ =


48
HỆ SỐ XÁC ĐỊNH
Coefficient of determination
Là tỷ lệ của tổng sự biến thiên trong biến phụ thuộc gây ra
bởi sự biến thiên của các biến độc lập (biến giải thích) so với
tổng sự biến thiên toàn phần.
Tên gọi: R_bình phương (R squared)
Ký hiệu:
Dễ thấy:
2 R SSR
T SS
=
20 1R£ £
49
HỆ SỐ XÁC ĐỊNH
Đánh giá mô hình tìm được có giải thích tốt cho mối liên
hệ giữa biến phụ thuộc Y và biến độc lập X hay không.
Là bình phương của hệ số tương quan mẫu
µ ( )
( )
µ ( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 22 2
2
2
2
i
i
X Y
x x x xR SS
R
T SS
y y y y
R r
b b
- -
= = =
- -
=
å
å
50
Tính chất của hệ số xác định R2
51
• 0≤ R2≤1
• Cho biết % sự biến động của Y được giải thích bởi
các biến số X trong mô hình.
• R2 =1: đường hồi quy phù hợp hoàn hảo
• R2 =0: X và Y không có quan hệ
• R2 càng lớn càng tốt
• Đối với dữ liệu chuỗi thời gian thì R2 thường lớn hơn
0,9. Nếu thấp hơn 0,6 hay 0,7 thì xem là thấp
• Với dữ liệu chéo thì R2 khoảng 0,6 hay 0,7 cũng
chưa hẳn thấp
ƯỚC LƯỢNG CHO PHƯƠNG SAI SAI SỐ 2
52
ƯỚC LƯỢNG VÀ DỰ BÁO
1. Ước lượng hệ số góc
2. Ước lượng hệ số chặn
3. Ước lượng phương sai sai số
4. Dự báo giá trị trung bình
5. Dự báo điểm
53
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA 1
Nhớ
Với độ tin cậy 95% thì:
µ
µ( )
( )1 1
1
~ 2t n
Se
b b
b
-
-
2,5%2,5% 95%
 0,025 2t n  0,025 2t n 
( )
µ
µ( )
( )1 10,025 0,025
1
2 2t n t n
Se
b b
b
-
- - £ £ -
µ ( ) µ( ) µ ( ) µ( )1 10,025 1 1 0,025 12 2t n Se t n Seb b b b b- - £ £ + -
54
2
2
  1 
 
2
2t n  
2
2t n 
ƯỚC LƯỢNG CHO 1 
Tổng quát với độ tin cậy (1 − )
µ( ) µ( )
( )
2
2
1 1
1
xx
x
Se V
n S
b b s
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= = + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
( )
µ
µ( )
( )1 1
2 2
1
2 2t n t n
Se
a a
b b
b
-
- - £ £ -
µ ( ) µ( ) µ ( ) µ( )1 11 1 1
2 2
2 2t n Se t n Se
a a
b b b b b- - £ £ + -
2
2
ESS
n
s »
-
55
CÔNG THỨC ƯỚC LƯỢNG 1 
Khoảng tin cậy (1 − ) của hệ số b1
Trong đó:
µ µ( )1 11 1;b e b e- +
 =

 − 2
 =  ⁄  − 2 . 
.
1

+
̅ 

56
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA 
Nhớ
Với độ tin cậy (1- ) thì:
µ
µ( )
( )2 2
2
~ 2t n
Se
b b
b
-
-
/ 2/ 2  1 
 /2 2t n  /2 2t n 
( )
µ
µ( )
( )2 2/ 2 / 2
2
2 2t n t n
Se
a a
b b
b
-
- - £ £ -
µ ( ) µ( ) µ ( ) µ( )2 2/ 2 2 2 / 2 22 2t n Se t n Sea ab b b b b- - £ £ + -
µ( ) µ( )
2
2 2
xx
S e V
S
s
b b= =
57
CÔNG THỨC ƯỚC LƯỢNG 
Khoảng tin cậy (1 − ) của hệ số b2
Trong đó:
µ µ( )2 22 2;b e b e- +
 =  ⁄  − 2 . 
.
1

 =

 − 2
58
CÔNG THỨC ƯỚC LƯỢNG 2
• Khoảng tin cậy của phương sai sai số tổng thể:
   
2
2 2
/2 1 /2
;
2 2
ESS ESS
n n 

  
 
    
59
DỰ BÁO
Cho X nhận giá trị là x0. Ta tiến hành dự báo:
Trung bình của Y khi X = x0. Ký hiệu: E(Y0|X0)
Giá trị cụ thể của Y khi X = x0. Ký hiệu: 0
Công thức chung:
Giá trị ước lượng ± Sai số
60
DỰ BÁO GIÁ TRỊ Y0
61
DỰ BÁO GIÁ TRỊ E(Y/X0)
62
BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Phân phối chuẩn
Phân phối Student
Phân phối Khi bình phương
63
GIÁ TRỊ TỚI HẠN 2 (n; α)
Giá trị tới hạn mức α (0 ≤  ≤ 1) là số thực ký hiệu
2(n;) sao cho với Z~ 2(n) thì:
64
  2 ;nP Z   
 2 ;n 
BẢNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN KHI BÌNH PHƯƠNG
65
GIÁ TRỊ TỚI HẠN (, )
Giá trị tới hạn mức α (0 ≤  ≤ 1) là số thực ký hiệu
(, ) sao cho với Z~ (n) thì:
66
  ;nZ tP   
   
     
 
;0 ;1
;0,5 ;1 ;
;
0
n n
n n n
n
n
t t
t t t
t Z
 



   
  

BẢNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN STUDENT
67
VÍ DỤ
Quan sát sự biến động của nhu cầu gạo Y (tấn/tháng) vào
đơn giá X (ngàn đồng/kg) ta được các số liệu cho ở bảng. 
Hãy lập mô hình hôi quy mẫu biễu diễn mối phụ thuộc về
nhu cầu vào đơn giá gạo
Xi 1 4 2 5 5 7
Yi 10 6 9 5 4 2
68
VÍ DỤ
Ta lập bảng sau:
Ta có:
Stt Xi Yi XiYi X^ 2
1 1 10 10 1
2 4 6 24 16
3 2 9 18 4
4 5 5 25 25
5 5 4 20 25
6 7 2 14 49
sum 24 36 111 120
24 36
4 6
6 6
X Y   
69
VÍ DỤ
Ta có:
1
2 2
2 2
1
. .
111 6.4.6ˆ 1,375
120 6.(4)
.( )
n
i i
i
n
i
i
Y X n X Y
X n X
b 



   




1 2
ˆ ˆ 6 ( 1,375).4 11,5Y Xb b     
ii XY .375,15,11
ˆ 
70
71
Giải hồi quy bằng máy tính
1. Bật tần số: Shift+Mode+↓ +4+1 (Freq On
2. Chọn Mode Regression: Mode+3+2(chọn
A+Bx)
3. Nhập dữ liệu theo cột
4. Kiểm tra và nhấn AC thoát
5. Xem kết quả: Shift +1+ 3,4,5 (tùy theo Sum, 
Var hay Reg)
72
Bài tập 1
Thu thập số liệu về điểm học tập của học sinh và
mức thu nhập hàng năm của bố mẹ ta có bảng số
liệu sau:
Hãy tìm hàm hồi quy mẫu và tính các đặc trưng
của nó
Xi: thu nhập (triệu/năm)
Yi: điểm trung bình
Xi 45 60 30 90 75 45 105 60
Yi 8,75 7,5 6,25 8,75 7,5 5,0 9,5 6,5
73
Bài tập 1
b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng hệ số chặn, 
hệ số góc và phương sai sai số.
c) Với độ tin cậy 90%, dự đoán điểm và điểm
trung bình khi thu nhập là 80
Xi 45 60 30 90 75 45 105 60
Yi 8,75 7,5 6,25 8,75 7,5 5,0 9,5 6,5
74
Bài tập 2
Số liệu về tỷ lệ lạm phát và lãi suất trong năm
2011 của 6 quốc gia như sau:
a) Ước lượng và viết phương trình hồi quy tuyến
tính  = 1 + 2 + 
b) Tìm hệ số xác định và giải thích ý nghĩa
c) Dự đoán lãi suất trung bình khi lạm phát là
10%.
Lãi suất Y (%) 7 11 20 10 16 14
Lạm phát X (%) 3 8 17 8 12 12
75
Bài tập 3
Cho bảng số liệu sau:
a) Tìm hệ số tương quan mẫu
b) Tìm phương trình hồi quy mẫu
c) Tính Sxx, Sxy, Syy
d) Tính TSS, RSS, ESS.
e) Tính các giá trị hồi quy và từ đó tìm ESS
f) Ước lượng cho 1; 2; 2 với độ tin cậy 90%
g) Dự đoán giá trị của Y khi X là 18.
X 4 7 8 15 8 12 14 20 16 9
Y 9 13 17 29 17 23 27 45 34 20