Bài giảng Toán tài chính - Chương 5a: Đại số tuyến tính và ứng dụng

 kinh tế
CÁC GIẢ THUYẾT
Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng 
hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định.
Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố 
định để sản xuất hàng hóa đầu ra.
Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất 
không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng 
đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần.
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT
Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij
Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa 
(loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa 
loại I
Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì?
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT
Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào hay ma 
trận hệ số kỹ thuật.
Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì?
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2 ...
...1
...2
... ... ... ......
...
n
n
n n nn
n
a a a
a a a
A
a a an
 
 
  
 
 
 
Đầu ra
Đầu vào
 
1
1 , 1,2,...,n
n
ij
i
a j

 
TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG
xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất 
hàng hóa ngành i
xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng 
cho việc sản xuất (cầu trung gian);
bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất 
khẩu (cầu cuối cùng);
1 2) )
ij
i i i in i ij
j
x
i x x x x b ii a
x
     
BẢNG I-O DẠNG GIÁ TRỊ
Ta có:
Công thức:
Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng
x1 x11 x12  x1n b1
x2 x21 x22  x2n b2
xn xn1 xn2  xnn bn
1 2) )
ik
i i i in i ik
k
x
i x x x x b ii a
x
     
Mua của ngành 1
Bán của ngành 1
MÔ HÌNH I-O
Ta có mô hình I-O:
Dạng ma trận: 
1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1
2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2
1 1 2 2 1 2
...
...
... ........................................
...
n n n
n n n
nn n n nn n n n n nn
x a x a x a x b a a ax x
x a x a x a x b x a a a x
hay
xx a x a x a x b a a a
       
                          




1
2
...
n n
b
b
x b
   
   
   
   
   
   
 . .X A X B X A X B I A X B       
 
1
X I A B

 
MỘT SỐ THUẬT NGỮ
A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật
X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)
B là ma trận cầu cuối cùng 
T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ
C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ
Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng 
của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản 
phẩm có giá trị là cij
VÍ DỤ 19
Cho bảng I/0:
A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí 
cuối cùng
B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21
Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng
1 100 20 10 8 62
2 50 10 16 14
3 40 10 10 8 12
GTGT 60 88
GTSX 100 50 40
ĐÁP ÁN
Ta có:
a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 
phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 
0,2
 
1
0,2 0,2 0,2
0,1 0,2 0,4
0,1 0,2 0,2
1,3681 0,495 0,594
0,297 1,5346 0,8415
0,2475 0,4455 1,5346
A
C I A

 
   
 
 
 
     
 
 
ĐÁP ÁN
Ta có:
c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu 
cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một 
khối lượng sp có giá trị là 0,297
 
1
1,3681 0,495 0,594
0,297 1,5346 0,8415
0,2475 0,4455 1,5346
C I A

 
     
 
 
VÍ DỤ 20
Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, 
ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:
a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A
b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của 
các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác 
định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
 
 
 
  
GIẢI
a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ 
thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 
1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2
b) Ta có:
 
1
0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,24
1
0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,24
0,384
0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60
I A I A

    
         
   
       
GIẢI
Ma trận tổng cầu:
Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; 
đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa 
của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)
 
1
0,66 0,30 0,24 10 24,84
1
0,34 0,62 0,24 5 20,68
0,384
0,21 0,27 0,60 6 18,36

     
        
     
          
X I A B
PHÂN TÍCH THÊM
Với j=2 ta có:
Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 
0,3$. Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ 
bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp 
2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2).
 
3
2 02
1
1 1 0,3 0,1 0,3 0,3 0i
i
a a

       
PHÂN TÍCH THÊM
Ta có:
Mức lương ngành 1:
Mức lương cả nền kinh tế:
 
01
1
02
03
28,84 0,3
. 20,68 ; 0,3
18,36 0,4
a
X I A B a
a

    
           
       
3
0
1
. 0,3.28,84 0,3.20,68 0,4.18,36 21($)j j
j
a x

   
01 1. 0,3.28,84 8,65($)a x  
DẠNG BÀI TẬP
Xác định ma trận tổng cầu X
Xác định tổng chi phí mỗi ngành
Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử
Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại
Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu 
cuối
Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
1. Nhập ma trận.
Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix 
có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. 
Nhập kết quả vào bằng phím =,
Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B 
bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim)  2 (MatB)
Lập lại tương tự cho MatC.
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
2. Tính định thức
Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 
(Matrix)  7 (Det) Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  =
3. Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: 
Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1
(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)
4. Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x-1  x 
MatB để cho kết quả của X.
MỘT SỐ BÀI TẬP
BÀI 1
Cho hai ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo của A.
Tìm X biết: X.A=3B
1 2 3 1 2 1
3 2 4 3 1 0
2 1 0 2 1 1
A B
    
   
      
      
BÀI 2
Giải hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
x -x x -x 0
3x x -x 2x 5
5x -x x 4
7x x -x 3x 10
 
   

 
   
BÀI 3
Giải hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x y 3z 9 x y z 6
a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21
4x 7y z 5 7x y 3z 6
2x 2x x x 4
4x 3x x 2x 6
c)
8x 5x 3x 4x 12
3x 3x 11x 5x 6
      
 
      
       
   

   

   
    
BÀI 4
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1
1 1
1 1 1
m
A m
m m
 
   
   
BÀI 5 
Tìm m để hệ là hệ Crammer
Giải nghiệm của hệ
1
1
1
mx y z
x my z
x y mz
  

  
   
BÀI 6
Giải và biện luận theo m
mx y z 1
a) x my z 1
x y mz 1
mx y z m
b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1
x y mz 1
  

  
   
  

     
   
BÀI 7
Tìm để hệ có nghiệm duy nhất
Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m
x y mz 1
x my z a
x (m 1)y (m 1)z b
  

  
     
BÀI 8
Giải và biện luận
 
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2 2 2 4
3 3 3
x x mx m
mx x m x
x x x m m
   

   

     
BÀI 9
Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ 
thuật:
Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và 
ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá 
trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
0,2 0,3
0,4 0,1
A
 
  
 
BÀI 10
Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:
Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng)
a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành 
công nghiệp.
b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản 
đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công 
nghiệp.
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
A
 
   
  
BÀI 11
Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ
thuật:
Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành
là 40, 40, 110
Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx
Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành
khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx
tương ứng.
0,4 0,1 0,2
0,2 0,3 0,2
0,1 0,4 0,3
A
 
   
  
BÀI 12
Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi 
hàng hóa như sau:
Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành
Lập ma trận hệ số kỹ thuật A
Ngành cung ứng sp
(Out)
Ngành sử dụng sp (Input)
1 2 3 B
1 20 60 10 50
2 50 10 80 10
3 40 30 20 40
BÀI 13
Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo. Cho biết
ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một
lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng. Trong khi đó
ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được một
lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng.
a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và
phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế
trên.
b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu
đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần
mở.
BÀI 14
Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:
Cho b1=1800; b2=200 và b3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng)
a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a21=0,33 và a33=0 trong ma trận A
b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma trận A
c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp
d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng
ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp.
0,05 0,25 0,34
0,33 0,10 0,12
0,19 0,38 0
A
 
   
  