Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân & Ứng dụng

,b] thì chiều dài của dây
cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:
Ví dụ 25. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1) đến
điểm (4;8)
( )
2
1 '
b
a
L f x dxé ù= + ê úë ûò
( )1 80 10 13 13
27
L = -
CHIỀU DÀI CỦA CUNG
Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạng x=g(y) và
g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài của đường cong trên
đoạn [c,d] là:
Ví dụ 26. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến
điểm (1;1)
( )
2
1 g'
d
c
L y dyé ù= + ê úë ûò
( )ln 5 25
2 4
L
+
= +
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón
2 .A r hp= .A rp= l
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
( )1 2A r rp= + l
Diện tích mặt nón cụt
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
Ta có:
( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A f x f x dxp é ù= + ê úë ûò
( )1 1
1
lim
n
i i i in
i
A y y P Pp
- -® ¥
=
= +å
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 1 1
1 1
2
1
1 '
2 . 1 '
n n
i i i i i i k
i i
n
k k
i
y y P P y y f c x
f c f c x
p p
p
- - -
= =
=
é ù+ = + + Dê úë û
é ù» + Dê úë û
å å
å
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý
Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý
( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A f x f x dxp é ù= + ê úë ûò
( ) ( )
2
2 1 '
d
c
A g y g y dyp é ù= + ê úë ûò
VÍ DỤ 27.
1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường parabol y=x2
từ điểm (1;1) đến (2;4) 
A) Quanh trục Oy. 
B) Quanh trục Ox
2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]
Giá trị trung bình của hàm f là:
( )
1
b
a
f x dx
b a- ò
VÍ DỤ 28.
1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên đoạn [-
1;2]
2) Cho hàm cầu như sau:
Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trong
đoạn [40, 60]
Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$.
( )1 0,05100 QP D Q e- -= =
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ
Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàm chi phí, 
hàm doanh thu.
Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)
Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất
VÍ DỤ 29.
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:
Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.
( ) 290 120 27MC Q Q Q= - +
VÍ DỤ 30.
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:
Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.
( ) 2 350 18 45 4MC Q Q Q Q= - + +
VÍ DỤ 31.
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:
Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá theo sản
lượng.
( ) 23 8 30MR Q Q Q= - +
VÍ DỤ 32.
Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:
Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 (triệu
đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá.
( ) 3 24 3 24 15MR P P P P= - + +
VÍ DỤ 33.
33a. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là
MC=8e0,2Q và chi phí cố định là FC=50. Xác định hàm tổng
chi phí và chi phí khả biến
33b. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng
Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định hàm tổng doanh thu.
XÁC ĐỊNH QUỸ VỐN
Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và
quỹ vốn K là hàm theo biến thời gian t.
Ta có: I=I(t); K=K(t)
Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại
thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm
đó)
I(t)=K’(t)
Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ
vốn như sau:
     K t K t dt I t dt  
TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
Ví dụ 34. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la một
tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đô
la). Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũy
được từ tháng 4 đến tháng 9
Thặng dư tiêu dùng
• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của người mua.
• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người bán.
• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua
sản phẩm.
• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ,
• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua trừ đi mức
giá mà họ thực sự trả.
Mức sẵn lòng trả của 4 người mua
Đo lường CS bằng đường cầu
• Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng mà
người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mức
giá khác nhau.
John 100
Paul 80
George 70
Ringo 50
Biểu cầu và đường cầu
Price of
Album
0 Quantity of
Albums
Demand
1 2 3 4
$100 John’s willingness to pay
80 Paul’s willingness to pay
70 George’s willingness to pay
50 Ringo’s willingness to pay
Đo lường thặng dư tiêu dùng
(a) Price = $80
Price of
Album
50
70
80
0
$100
Demand
1 2 3 4 Quantity of
Albums
John’s consumer surplus ($20)
(b) Price = $70
Price of
Album
50
70
80
0
$100
Demand
1 2 3 4
Total
consumer
surplus ($40)
Quantity of
Albums
John’s consumer surplus ($30)
Paul’s consumer
surplus ($10)
Đo lường thặng dư tiêu dùng
• Diện tích
phía dưới
đường
cầu và
trên mức
giá chính
là thặng
dư tiêu
dùng.
Đo lường thặng dư tiêu dùng
Consumer
surplus
Quantity
(a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1 
Price
0
Demand
P1
Q1
B
A
C
Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng
Initial
consumer
surplus
Quantity
(b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2
Price
0
Demand
A
B
C
D E
F
P1
Q1
P2
Q2
Consumer surplus
to new consumers
Additional consumer
surplus to initial 
consumers
Thặng dư tiêu dùng
• Consumer’s Surplus
• Nếu ( ;  ) là điểm trên đường cầu p=D(x) 
khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá  là:
• CS thể hiện tổng tiết kiệm của người tiêu dùng
sẵn sàng trả mức giá lớn hơn  cho sản phẩm
nhưng vẫn mua được sản phẩm ở mức giá  .
( )
0
x
CS D x p dxé ù= -ê úë ûò
( )
( )
0
1
0
.
.
x
Q
CS D x dx x p
CS D Q dQ Q P-
= -
= -
ò
ò
Thặng dư sản xuất
• Producer’s Surplus
• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được
trả trừ đi chi phí cho sản phẩm. 
• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị
trường.
Chi phí của 4 người bán
Dùng đường cung đo lường PS
• Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu.
• Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung.
Biểu cung và đường cung
Dùng đường cung đo lường PS
• Diện tích
phía dưới
mức giá và
trên đường
cung chính
là thặng dư
sản xuất.
Quantity of
Houses Painted
Price of
House
Painting
500
800
$900
0
600
1 2 3 4
(a) Price = $600
Supply
Grandma’s producer
surplus ($100)
Đo lường PS bằng đường cung
Quantity of
Houses Painted
Price of
House
Painting
500
800
$900
0
600
1 2 3 4
(b) Price = $800
Georgia’s producer
surplus ($200)
Total
producer
surplus ($500)
Grandma’s producer
surplus ($300)
Supply
Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất
Producer
surplus
Quantity
(a) Thặng dư sản xuất ở giá P1
Price
0
Supply
B
A
C
Q1
P1
Quantity
(b) Thặng dư sản xuất ở giá P2
Price
0
P1
B
C
Supply
A
Initial
producer
surplus
Q1
P2
Q2
Producer surplus
to new producers
Additional producer
surplus to initial
producers
D E
F
Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất
Thặng dư sản xuất
• Producer’s Surplus
• Nếu ( ;  ) là điểm trên đường cung p=D(x) 
khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá  là:
• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà sản xuất
sẵn sàng cung cấp sản phẩm ở mức giá thấp
hơn  nhưng vẫn bán được sản phẩm ở mức
giá  .
( )
0
x
PS p S x dxé ù= -ê úë ûò
( )
( )
0
1
0
.
.
x
Q
PS x p S x dx
PS Q P S Q dQ-
= -
= -
ò
ò
Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường
Producer
surplus
Consumer
surplus
Price
0 Quantity
Equilibrium
price
Equilibrium
quantity
Supply
Demand
A
C
B
D
E
VÍ DỤ 35.
Cho các hàm cung và hàm cầu:
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của
người tiêu dùng.
2 1 ; 43 2.S DQ P Q P     
VÍ DỤ 35.
Sản lượng cân bằng  là nghiệm của pt:
Thặng dư của nhà sản xuất:
Thặng dư người tiêu dùng:
1 1 3( ) ( )
18
Q
D Q S Q
P
 
 
  

  
3
2
0
18.3 1 2 27PS Q dQ    
  
3
2
0
43 2 18.3CS Q dQ   
VÍ DỤ 36.
1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu
đảo có phương trình:
2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cung
đảo có phương trình:
3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng, 
thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:
 1 20 0,05P D Q Q  
 1 22 0,0002P S Q Q  
   1 1 220 0,05 ; 2 0,0002D Q Q S Q Q    
DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC
Continuous Income Stream
Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khi
đó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a 
đến b là:
 
b
a
Total Income f t dt 
FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC
Theo công thức lãi kép liên tục:
Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi
suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng
thu nhập liên tục này sau T năm là???
Chú ý. 
 Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định
 Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất
 Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.
rtA Pe
LẬP TỔNG TÍCH PHÂN
Chia khoảng thời gian T 
thành n phần, mỗi phần là Δt.
Thu nhập trong khoảng thứ k 
(từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với:
Giá trị tương lai của nó:
Tổng thu nhập sau T năm:
 .kf c t
   .. r T tk kFV f c t e

 
       .
1 0
lim . k
Tn
r T c r T t
k
n
k
FV f c t e f t e dt
 


   
FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC
Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục.
Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức lãi suất r, 
ghép lãi liên tục. 
Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhập sau T năm
đầu tư là:
     
0 0
T T
r T t rT rtFV f t e dt e f t e dt
   
VÍ DỤ 37.
Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng tự
động cho bởi:
Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy. 
A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ khi lắp
đặt.
B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi suất
12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của máy sau 5 
năm.
C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5 năm
đầu tư.
  0,045000 tf t e
ÔN TẬP THI CUỐI KỲ
Giới hạn hàm số: VCB, L’Hospital
Tính đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến
Cực trị hàm nhiều biến trong kinh tế
Phân tích cận biên, hệ số co dãn
Các mô hình tăng trưởng, tích phân từng phần
Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất