Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

Xác định sản lượng cận
biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý 
nghĩa.
1 3
4 420Q K L
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM LỢI ÍCH
Cho hàm lợi ích:
Đạo hàm riêng:
MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.
Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có
thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị
các hàng hóa khác không thay đổi.
1 2( , ,..., )nU U x x x
( 1, )i
i
U
MU i n
x

 

VÍ DỤ 22.
Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng
đối với 2 loại hàng hóa là.
Trong đó x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U
là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày.
Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 
và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận
biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.
3 1
2 2
1 22U x x
HỆ SỐ CO GIÃN RIÊNG
Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,,xn).
Hệ số co giãn của của hàm w theo biến xi tại điểm M là số
đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xi thay
đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác
không đổi, được ký hiệu và xác định như sau: 
 
 
 
0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 20 0 0
1 2
, ,....,
. , ,....,
, ,....,i
nf i
x n
i n
f x x x x
voi M x x x
x f x x x




VÍ DỤ 23.
Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai
hàng hóa có liên quan có dạng:
p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2. 
a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với
giá của hàng hóa đó tại (p1,p2)
b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với
giá của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)
c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và
cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30).
2 2
1 1 2
5
6300 2
3
dQ p p  
GIẢI
Ta có:
Tại điểm (20,30) ta có:
Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng
hóa 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá
hàng hóa 2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. 
Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng
hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm
0,75%.
1 1
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
10
4 . ; .
5 536300 2 6300 2
3 3
d dQ Q
p p
p p
p p
p p p p
    
   
1 1
1 2
0,4; 0,75d dQ Qp p    
QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN
Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)
là hàm cận biên của hàm kinh tế trên
theo biến x.
là hàm cận biên của hàm kinh tế trên
theo biến y.
' ( , )x
z f
z x y
x x
 
 
 
' ( , )y
z f
z x y
y y
 
 
 
QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN
Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói
rằng
Giá trị z – cận biên của biến x giảm dần khi x tăng và y
không đổi.
Giá trị z – cận biên của biến y giảm dần khi y tăng và x
không đổi
Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của các biến x, 
y đủ lớn.
QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN
Cơ sở toán học:
là hàm số giảm khi
là hàm số giảm khi
2 2
2 2
( , ) 0
z f
x y
x x
 
 
 
( , )
z f
x y
x x
 

 
( , )
z f
x y
y y
 

 
2 2
2 2
( , ) 0
z f
x y
y y
 
 
 
VÍ DỤ 24.
Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb –
Douglas như sau:
Tìm điều kiện của α, β để hàm số trên tuân theo quy luật
lợi ích cận biên giảm dần.
( , , 0)Q aK L a    
HÀM THUẦN NHẤT
Hàm số z=f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất cấp k nếu với
mọi t>0 ta có:
Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm thuần nhất cấp (α+β) vì với mọi
t>0 ta có:
( , ) ( , )kf tx ty t f x y
 ( , ) ( ) ( ) ( , )Q tK tL a tK tL t aK L t Q K L          
VÍ DỤ 25.
Các hàm sau có là hàm thuần nhất không? Tìm cấp tương
ứng.
0,5 0,5
2 2
1 4 4
)
9 9 9
2
)
a Q K K L L
xy
b z
x y
  


HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT
Xét hàm sản xuất Q=f(K;L) 
trong đó K, L là yếu tố đầu vào, Q là yếu tố đầu ra. 
Bài toán đặt ra là: Nếu các yếu tố đầu vào K, L tăng gấp m
lần thì đầu ra Q có tăng gấp m lần hay không ?
Ta tiến hành so sánh:
( , ) ( , )Q mK mL vs mQ K L
HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT
Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng
theo quy mô.
Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm
theo quy mô.
Nếu Q(mK; mL)=m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả không
đổi theo quy mô.
HIỆU QUẢ CỦA QUY MÔ VỚI BẬC THUẦN NHẤT
Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) là hàm thuần nhất cấp k.
+ Nếu k>1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy
mô.
+ Nếu k<1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy
mô.
+ Nếu k=1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo
quy mô.
VÍ DỤ 26.
Xét vấn đề hiệu quả theo quy mô của các hàm sản xuất
sau:
0,5 0,51 4 4)
9 9 9
)
a Q K K L L
b Q aK L 
  

CỰC TRỊ HÀM KINH TẾ – VÍ DỤ 27.
Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết
hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị
thời gian là:
và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là
Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
1 2 1 2
1 2
1230 5 1350 3
,
14 14
P P P P
Q Q
   
 
2 2
1 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q QQ Q  
VÍ DỤ 27.
Hướng dẫn:
Ta có:
Hàm tổng doanh thu:
1 2
1
1 2 1 1 1 2
1 2 1 2 2 2 1 2
2
1230 5
5 1230 14 360 314
1350 3 3 1350 14 570 5
14
P P
Q
P P Q P Q Q
P P P P Q P Q Q
Q
 
       
   
          

   1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
360 3 570 5
3 5 2 360 570
TR PQ PQ Q Q Q Q Q Q
TR Q Q QQ Q Q
       
     
VÍ DỤ 27.
Hàm tổng chi phí:
Hàm lợi nhuận:
Hệ pt tìm điểm dừng:
2 2
1 1 2 2TC Q QQ Q  
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
3 5 2 360 570
4 3 6 360 570
TR TC Q Q QQ Q Q Q QQ Q
Q QQ Q Q Q


          
     
1
2
1 2 1
1 2 2
8 3 360 0 30
3 12 570 0 40
Q
Q
Q Q Q
Q Q Q


      
 
      
VÍ DỤ 27.
Ta có:
Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại Q1=30; Q2=40
    
1 1 1 2 2 2
2
8 3 12
8 0; 8 12 3 87 0
QQ QQ Q Q
A
         
          
VÍ DỤ 28.
Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản
phẩm là:
trong đó  là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là
lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là
tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản
phẩm.
Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:
Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, 
r = 0,02, P = 3. 
wR C PQ L rK     
1/3 1/3.Q L K
VÍ DỤ 29.
Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất 3 
loại sản phẩm là:
Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu
được lợi nhuận tối đa.
Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200
2 2 2
1 2 3 2 3 1 33 7 300 1200 4 20Q Q Q Q Q QQ        
VÍ DỤ 30.
Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm
cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau:
Với hàm chi phí kết hợp là:
Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán tương ứng để
doanh nghiệp đó thu lợi nhuận tối đa.
1 1 2 21300 675 0,5Q p Q p   
2 2
1 1 2 23C Q QQ Q  
ĐÁP ÁN
Ta có:
1 1
2 2
250; 1050
100; 1150
Q p
Q p
 
 
VÍ DỤ 31.
Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở
với hàm chi phí tương ứng là:
Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2.
Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng: 
A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề tối đa hóa
lợi nhuận.
B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn
của cầu theo giá.
2 2
1 1 2 2128 0,2 ; 156 0,1TC Q TC Q   
1 2600 0,1 ; trong do 600P Q Q Q Q    
ĐÁP ÁN
A) Q1=600; Q2=1200
B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6
VÍ DỤ 32.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:
Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuê một đơn vị
lao động là 4$. Giá bán một sản phẩm là 2$.
Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận của
doanh nghiệp tối đa.
Đáp số: K=1/36; L=1/16
 0,5 0,5 0; 0Q K L K L   
VÍ DỤ 33.
Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa:
(x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x>0, 
y>0). 
Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2USD, 3USD và thu
nhập dành cho người tiêu dùng là 130USD. Hãy xác định
lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu
được lợi ích tối đa.
  0,4 0,6, .U x y x y
VÍ DỤ 34.
Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng
quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên đài truyền hình (y
phút). Hàm doanh thu:
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu
đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho
quảng cáo là B=180 triệu đồng.
a) Tìm x, y để cực đại doanh thu.
b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh
thu cực đại tăng lên bao nhiêu ?
  2 2, 320 2 3 5 540 2000R x y x x xy y y     
VÍ DỤ 35.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 trong
đó Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động. Doanh nghiệp thuê
một đơn vị vốn là 3$; một đơn vị lao động là 1$. Ngân
sách chi cho yếu tố đầu vào là B=160$.
A) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì
hiệu quả thay đổi như thế nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng
lên 3% thì sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức
(K,L)?
VÍ DỤ 35.
B) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng
tối đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ thì
sản lượng tối đa tăng lên bao nhiêu đơn vị?
C) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên
giảm dần hay không?
D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao
động?
ĐÁP ÁN
A) Hiệu quả không đổi
Sản lượng tăng 1,5%
B) K=L=40; Qmax=1600
Tăng yếu tố đầu vào thì Qmax tăng khoảng 10 đơn vị
C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần
VÍ DỤ 36.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K: 
vốn và L: lao động)
A) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.
B) Giả sử thuê tư bản là 4$, giá thuê lai động là 3$ và doanh
nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là 1050$. Hãy
cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và
bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.
Đáp án
A) Hiệu quả theo quy mô
B) Q(150;150) là lớn nhất.