Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier và biến đổi Fourier - Ngô Đức Hoàng

er(f,u,v)Giải thích:F = fourier(f): thực hiện biến đổi Fourier của hàm symbolic f với biến độc lập mặc nhiên là x và cho ta biến độc lập của hàm ra mặc nhiên là w.F = fourier(f,v): biến độc lập của hàm ra F là v thay cho w.F = fourier(f,u,v): f là hàm với biến độc lập là u và F là hàm ra với biến độc lập là v, thay cho 2 biến mặc nhiên là x và w.MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER Thông thường khi tính biến đổi Fourier ta cần biết thêm về hàm heaviside. Cú pháp: heaviside(X) Giải thích: Đây là ký hiệu symbolic cho hàm bước (step function). heaviside(X) bằng 0 nếu X 0. Trường hợp X = 0 thì heaviside là NaN (Not_a_Number).Hình bên là đồ thị của heaviside(X-1).MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIERTrong bài tập 1, hàm f(x) được biểu diễn dưới công thức:f(x) = heaviside(x+a) – heaviside(x-a)>> syms x w a real;>> Fw = fourier((heaviside(x+a)-heaviside(x-a))) Fw = 2/w*sin(a*w)MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIERBài tập 2:Tìm biến đổi Fourier của hàm f(x)Theo định nghĩa:MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIERTa có thể dùng MATLAB như sau:>> syms x w real>> Fw = fourier(exp(-x)*heaviside(x))Fw = 1/(1+i*w) Trong trường hợp có giá trị phức, người ta thường vẽ đồ thị và gọi đó là phổ biên độ (amplitude spectrum).MATLAB VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER>> w = -9:0.01:9; for n = 1:1: length(w) Fw(n) = abs(1/(1+i*w(n))); end axis([-9.1 9.1 -0.1 1.1]); hold on; plot(w,Fw,'r-'); line([0 0],[-0.1 1.05],'Color','k'); line([-9 9],[0 0],'Color','k'); title('Pho bien do cua ham exp(-x)*u(x)');CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERNếu , a và b là các hằng số.Tính chất tuyến tính: 2. Tỷ lệ theo thời gian (time scaling) – (còn gọi là tính chất đồng dạng – property of similarity):Chứng minh:Theo định nghĩa biến đổi Fourier, ta có:CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Đặt x = at, suy ra t = x/a và dt = dx/a. Trong trường hợp a >0, khi . Ta viết lại:Trong trường hợp a < 0, khi . Khi đó: Kết hợp cả hai trường hợp, ta có thể viết:CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERBài tập 3:Tìm biến đổi Fourier của hàm f(x)Áp dụng kết quả bài tập 2, ta có:CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERTính chất tỷ lệ theo thời gian trực tiếp dẫn đến tính chất sau:3. Tính chất đảo (property of reversion):Bài tập 4: (a) Tìm biến đổi Fourier của hàm f(t): 1f (t)OtCÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER4. Tính chất dịch trong miền thời gian (time shifting):Hiểu theo nghĩa vật lý: khi có sự trễ hay sớm trong miền thời gian thì sẽ có một sự dịch pha trong miền tần số. Vì có giá trị phức nên có thể viết dưới dạng . Khi đó, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERBài tập 5: Tìm biến đổi Fourier của hàm g(t)Sử dụng kết quả của bài tập 1, đặt a = 1/2, ta suy ra biến đổi Fourier của hàm f(t) dưới đây:Sau đó, ta viết g(t) = g1(t) + g2(t) với g1(t) và g2(t) như sau:=+Rõ ràng, ta có :Suy ra:CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER5. Tính chất dịch trong miền tần số (frequency shifting):Bài tập 6: Biết biến đổi Fourier của hàm f(t) là:Tìm biến đổi Fourier của các hàm sau:CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERa) Dùng công thức Euler:Sau đó, dùng tính chất tuyến tính và dịch trong miền tần số,CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERTính chất dịch trong miền tần số không áp dụng trực tiếp vào bài này được vì không có thành phần ejat. Tuy nhiên, nếu lưu ý j2 = -1, ta có thể viết:Khi đó, dùng tính chất dịch trong miền tần số,CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER6. Tính chất đạo hàm trong miền thời gian (time differentiation): Giả sử và tồn tại trong suốt (n là số nguyên dương). Nếu khi (k = 0,1, 2,n-1) thì Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho trường hợp n = 1 và sẽ dùng quy nạp toán học cho những trường hợp khác. Với n = 1CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERBài tập 7: Giải phương trình vi phân:Theo kết quả bài tập 3, Theo tính chất đạo hàm trong miền thời gian,Theo kết quả bài tập 4, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER7. Tính chất đạo hàm trong miền tần số (frequency differentiation)Giả sử và tồn tại trên (n là số nguyên dương). Nếu (k = 0, 1, 2,,n-1) khi thì ta có: Bài tập 8:Tìm biến đổi Fourier của hàm f(t):Ở bài tập 3, chúng ta đã biết:CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER8. Tính chất tích phân: Giả thíết với Nếu thì Chứng minh: Vì và nên ta suy ra từ có thể viết, CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER9. Tính chất đối ngẫu (duality) hay còn gọi là tính chất đối xứng (symmetry)Chứng minh: Theo phép biến đổi Fourier ngược,Hóan đổi giữa t và , CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIERBài tập 9: Tìm phổ tần số của hàm f(t) = Từ bài tập 1, ta biết rằng nếu thìSuy ra, nếu đặt thì Áp dụng tính chất đối ngẫu, dễ dàng suy ra:f (t)toowp...CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER10. Tích chập (convolution):Trong đó, * là ký hiệu của tích chập 2 hàm được định nghĩa: HÀM DELTA DIRAC Hàm Delta Dirac hay còn gọi tắt là hàm delta (một số sách còn gọi là hàm xung đơn vị - unit impulse function) thực ra không phải là một hàm theo nghĩa thông thường. Nó không được xác định bởi các giá trị của nó mà được định nghĩa một cách hình thức bằng các phát biểu như sau:Trong đó (a, b) là một khỏang bất kỳ có chứa giá trị t = 0MỘT CÁCH GIẢI THÍCH VỀ HÀM DELTACó nhiều cách tiếp cận để giải thích rõ hơn về hàm delta. Sau đây là một cách. Gọi là một dãy hàm được định nghĩa: Khi n tăng, độ rộng của hàm (xung) càng nhỏ hơn và chiều cao càng tăng lên. Với mỗi n, diện tích dưới mỗi xung = 1 MỘT CÁCH GIẢI THÍCH VỀ HÀM DELTAKhi n dần đến vô cùng, với mọi giá trị dương 1 0 tUnit impulseHàm delta, hay còn gọi là hàm xung đơn vị (unit impulse function), ký hiệu là , được hiểu như là:Đồ thị của hàm được biểu diễn bằng một mũi tên đứng như ở hình bên, có giá trị bằng zero ở bất kỳ đâu ngọai trừ gốc tọa độ. Tại gốc tọa độ, giá trị của nó bằng vô cực. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM DELTA1. Chứng minh: Khảo sát hàm f(t)Dễ dàng nhận thấy rằng, khi thì f(t) sẽ dần đến hàm bước đơn vị MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM DELTAĐạo hàm của f(t) được cho bởi các phương trình:Dễ dàng nhận thấy rằng, g(t) sẽ trở thành fn(t) nếu ta thay n bởi . Như vậy, khi dần đến 0, g(t) trở thành hàm delta Dirac: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM DELTA2. Tính chất sàng (sifting property)Chứng minh: Khảo sát tích phân:với fn(t) là hàm được định nghĩa ở slide 59. Khi n dần đến vô cùng thì f(t) là hằng số và bằng f(x). Ta có thể viết, với giả thiết hàm f(t) liên tục tại t = x.Hóan đổi vị trí dấu tích phân và giới hạn, ta suy ra điều cần chứng minh.MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM DELTA3. Chứng minh: Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, ta cóÁp dụng tính chất sàng của hàm delta với và x = 0 suy ra: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM DELTABài tập 10: Tìm biến đổi Fourier của các hàm sau:(a) 1 (b) (c) (d) (a) Vì ta đã biết, . Theo tính chất đối ngẫu,vì (b) Dùng định nghĩaMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM DELTA(c) Từ kết quả câu (b), dùng tính chất đối ngẫu,(d) Từ kết quả câu (c)PHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG MiỀN THỜI GIAN”Biến đổi Fourier đơn giản nhất là dùng cho hàm deltaSử dụng kết quả này, ta có một phương pháp tìm biến đổi Fourier của một hàm là sẽ đạo hàm hàm đó cho đến khi kết quả được biểu diễn bởi dạng các hàm delta.Các tính chất quan trọng thường được sử dụng trong phương pháp này là:vàPHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG MIỀN THỜI GIAN”Bài tập 11: Dùng phương pháp đạo hàm trong miền thời gian, tìm biến đổi Fourier của hàm:Ý tưởng giải quyết bài tóan là ta sẽ đạo hàm f(t) cho đến khi có kết quả được biểu diễn dưới dạng các hàm delta. Đối với bài toán này ta sẽ phải lấy đạo hàm 2 lầnPHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG MIỀN THỜI GIAN”f = t + 1f = 1 − tPHƯƠNG PHÁP “ĐẠO HÀM TRONG MIỀN THỜI GIAN”Suy ra,Lấy biến đổi Fourier của cả hai vế,Do đó,BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIERHàm số, f(t)Biến đổi Fourier, Ghi chúĐịnh nghĩa của biến đổi Fourier và biến đổi Fourier nghịchTính chất tuyến tínhTính chất tỷ lệ theo thời gian hay còn gọi là tính chất đồng dạngTính chất đảo Tính chất dịch trong miền thời gianBẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIERHàm số, f(t)Biến đổi Fourier, Ghi chúTính chất dịch trong miền tần sốTính chất đạo hàm trong miền thời gianTính chất đạo hàm trong miền tần sốTính chất tích phânTính chất đối ngẫuBẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIERHàm số, f(t)Biến đổi Fourier, Ghi chúTính chất của hàm deltaBài tập 10 câu (b)Bài tập 10 câu (a)Bài tập 10 câu (c)BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIERHàm số, f(t)Biến đổi Fourier, Ghi chúBài tập 10 câu (d)BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIERHàm số, f(t)Biến đổi Fourier, Ghi chúBài tập 4Bài tập 3Bài tập 8Bài tập 1TÍCH CHẬPĐịnh nghĩa:Điều này có nghĩa là tích phân được tính tóan trong miền Các bước dùng để tính tóan: Tạo ra một biến tạm (giả sử là ) rồi chuyển các hàm đang xét sang biến này Đảo ngược biến của một trong hai hàm (không quan trọng là hàm nào)TÍCH CHẬPDịch chuyển hàm vừa mới đảo theo t. Điều đó giống như di chuyển hàm này dọc theo trục - Tìm tích của phần giao nhau Với mỗi thời gian t cụ thể, tích phân tích của phần giao nhau trong khỏang Tổng hợp tất cả các tích phân sau khi hàm được di chuyển đã di chuyển hết từ TÍCH CHẬPBài tập 12: Tìm tích chập của hai hàm1. Viết hai hàm f(t) và g(t) như là hàm của f(λ)λg(λ) = λg(λ)λTÍCH CHẬP2. Chọn 1 trong 2 hàm để làm hàm dịch chuyển. Giả sử trong bài tóan này ta chọn f. Lật hàm theo trục hòanh để từ hàm ta được hàm f(−λ)λλg(λ) = λ3. Viết như thể Vì t thay đổi từ đến , điều này có nghĩa là ta sẽ mang f đến rồi từ từ dịch chuyển nó theo hướng tiến về λt − 1tg(λ)f(t−λ)01TÍCH CHẬP4&5. Trong suốt chuyến “du hành” của , đánh giá phần giao nhau giữa f và g. Sau đó, lấy tích phân dọc theo phần giao nhau này: (i) −∞ < t < 0: Không có phần giao nhau. f *g = 0(ii) 0 < t < 1f(t−λ)g(λ)λtt − 1TÍCH CHẬP(iii) 1 < t < 2f(t−λ)g(λ)λtt − 11(iv) 2 < t < ∞: Không có phần giao nhau. f *g = 0f *g (t)t021½ TÍCH CHẬPBài tập 13: Tính . Biết rằng: vàVẽ hai hàm x và hx(t)h(t)tt0−111−101−11TÍCH CHẬPGiả sử ta chọn h là hàm dịch chuyển. Sau khi biểu diễn h và x như là hai hàm của , ta lật hàm h và đưa nó về x(λ)λ0−111−1h(t − λ)tt + 1t − 1(i) −∞ < t < −2: No overlap. x *h = 0TÍCH CHẬP(ii) −2 < t < −1λ0−111−1h(t − λ)tt + 1t − 1TÍCH CHẬP(iii) −1 < t < 0h(t − λ)tt + 1t − 1x(λ)λ0−111−1(iv) 0 < t < 1h(t − λ)tt + 1t − 1x(λ)λ0−111−1TÍCH CHẬP(v) 1 < t < 2h(t − λ)tt + 1t − 1λ0−111−1(vi) 2 < t < ∞: No overlap. x *h = 0t02−1−1−211