Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier - Nguyễn Đức Hoàng

Nguyễn Đức Hoàng2010Toán kỹ thuậtNội dungChương 1:	Chuổi FourierChương 2:	Tích phân Fourier và biến đổi FourierChương 3: Phép biến đổi LaplaceChương 4: Phép biến đổi Laplace ngượcChương 5: Ứng dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình vi phânChương 6: Ứng dụng phép biến đổi Laplace vào giải tích mạch điệnChương 7: Hàm giải tíchChương 8: Tích phân phứcChương 9: Chuổi hàm phứcPage 2Nội dung (tt)Chương 10: Lý thuyết thặng dưChương 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dưChương 12: Phép biến đổi bảo giácPage 3Tài liệu tham khảoNguyễn Kim Đính: Giải Tích FourierNguyễn Kim Đính: Phép Biến Đổi LaplaceNguyễn Kim Đính: Hàm Phức và Ứng DụngC-R Wylie & L-C Barrett: Advanced Engineering MathenaticsPage 4Giải tích FourierPage 5FourierSeriesFourierIntegralDiscreteFourierTransformFourierTransformFastFourierTransformRời rạcLiên tụcChương 1:	Chuổi FourierHàm tuần hoànChuổi Fourier của một hàm tuần hoànCác công thức khác để tính các hệ số FourierKhai triển bán kỳCác dạng khác của chuổi FourierỨng dụng của chuổi FourierPage 6Fourier, JosephPage 7Fourier, Joseph 1768-1830Fourier, JosephPage 8In 1807, Fourier submitted a paper to the Academy of Sciences of Paris. In it he derived the heat equation and proposed his separation of variables method of solution. The paper, evaluated by Laplace, Lagrange, and Lagendre, was rejected for lack rigor. However, the results were promising enough for the academy to include the problem of describing heat conduction in a prize competition in 1812. Fourier’s 1811 revision of his earlier paper won the prize, but suffered the same criticism as before. In 1822, Fourier finally published his classic Theorie analytique de la chaleur, laying the fundations not only for the separation of variables method and Fourier series, but for the Fourier integral and transform as well.Chuổi FourierPage 9Hàm tuần hoànHàm tuần hoànĐN 1.1: Hàm tuần hoàn	Một hàm f(t) được gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu có một số dương 2p sao cho: với mọi t trong MXĐ của f(t). Số 2p được gọi là một chu kỳ của f(t).Page 10Hàm tuần hoànVD: Hàm tuần hoàn Page 112pf(t)tHàm tuần hoànf(t+2p)=f(t), f(t+2np)=f(t)Nếu f(t) và g(t) có chu kỳ 2p thì hàm H(t)=af(t)+bg(t) cũng có chu kỳ 2pNếu 1 hàm chu kỳ f(t) có chu kỳ nhỏ nhất 2p (p >0) thì 2p được gọi là chu kỳ căn bản của f(t)Page 12Hàm tuần hoànMột số VD khác:Các hàm Cosine : cosx, cos2x, cos3x, Các hàm Sine : sinx, sin2x, sin3x, eix, ei2x, ei3x, e-ix, e-i2x, e-i3x, Page 13Chuổi FourierPage 14Chuổi Fourier của một hàm tuần hoànChuổi FourierBổ đề: Hệ lượng giác là trực giaoPage 15Chuổi FourierGọi f(t) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2p. Xác định các hệ số a0, a1, , an, b0, ,bn sao cho f(t) được biểu diễn bởi chuổi: Page 16Chuổi Fourier: Công thức Euler Khi đó:Page 17Chuổi Fourier: Công thức Euler Chứng minh:Page 18Chuổi FourierVD: Tìm khai triển Fourier của hàm tuần hoàn f(t):Giải:Page 19Chuổi FourierGiải:Page 20Chuổi FourierGiải:Page 21Các hàm chẵn và lẻHàm f(t) được gọi là chẵn nếuHàm f(t) được gọi là lẻ nếuPage 22Các hàm chẵn và lẻPage 23f(t)tf(t)tHàm chẵnHàm lẻCác hàm chẵn và lẻTính chấtTích của một hàm chẵn và hàm lẻ là một hàm lẻ.Page 24Các hàm chẵn và lẻChuổi Fourier CosineChuổi Fourier SinePage 25Tổng các hàmCác hệ số Fourier của hàm tổng f1+f2 bằng tổng tương ứng các hệ số Fourier của f1 và f2.Các hệ số của hàm cf bằng c lần các hệ số tương ứng của hệ số Fourier của hàm f.Page 26Ví dụHàm răng cưaTìm chuổi Fourier của hàm sau:Page 27Sự hội tụ của chuổi FourierHai câu hỏi đặt ra:Các loại hàm nào có thể khai triển thành chuổi Fourier ?Nếu hàm không liên tục tại 1 điểm thì chuổi Fourier có giá trị là gì ?Dirichlet đã trả lời các câu hỏi này ở nửa đầu thế kỷ 19.Page 28Điều kiện DirichletĐN 1.2: Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I.Đồ thị hàm này trên khoảng I = [a,b] có dạng như slide kế tiếp, nghĩa là liên tục từng đoạn.Page 29Hàm liên tục từng đoạnĐiều kiện DirichletPage 300f(t)tĐịnh lý DirichletĐL 1.1: Nếu f là hàm tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet trong một chu kỳ thì chuổi Fourier của f(t) hội tụ về:f(t) nếu t là một điểm liên tục của f. nếu tk là một điểm gián đoạn của f.Page 31Chuổi FourierPage 32Các công thức khác để tính các hệ số FourierBước nhảy của một hàmĐN 1.3: Bước nhảy của một hàm f tại tkPage 330f(t)tHai công thức lặp tính các hệ số FourierĐL 1.2: Nếu f tuần hoàn ck 2p thỏa đk Dirichlet và có các bước nhảy J1,,Jm tại m điểm gián đoạn t1 pi; f(k) = 0; end;end% initialize fourier series with the mean termfs = (pi/4) * ones(size(t));clf % clear any figuresVD1 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 50for n = 1:6% create plot of truncated FS with only n harmonicfs = fs - (2/pi) * cos((2*n-1)*t)/(2*n-1)^2;fs = fs - (-1)^n * sin (n*t) / n;subplot(3, 2, n), plot(t, fs, t, f, '--')if n==1 legend('mean plus 1 term','f(t)'); legend boxoff;else legend(['mean plus ', num2str(n),' terms'], 'f(t)') legend boxoffendif n >= 5; xlabel('t'); end;endVD1 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 51VD2 (tt): Kiểm tra bằng MatlabTìm chuổi Fourier của hàm tuần hoàn	Page 52VD2 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 53VD2 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 54VD2 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 55clear;t = [-4:0.1:4]; % create time points in plotf = zeros(size(t)); % initialize function f(t)for k = 1:length(t) %construct function f(t) if t(k) pi; f(k) = -t(k) + 2*pi; end;end% initialize fourier series with the mean termfs = (pi/2) * ones(size(t));clf % clear any figuresVD2 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 56for n = 1:6% create plot of truncated FS with only n harmonicfs = fs - (4/pi) * cos((2*n-1)*t)/(2*n-1)^2;subplot(3, 2, n), plot(t, fs, t, f, '--')if n==1 legend('mean plus 1 term','f(t)'); legend boxoff;else legend(['mean plus ', num2str(n),' terms'], 'f(t)') legend boxoffendif n >= 5; xlabel('t'); end;endVD2 (tt): Kiểm tra bằng MatlabPage 57Đạo hàm và tích phân chuỗi FourierĐL 1.5. Tích phân của bất cứ hàm nào thỏa đk Dirichlet cũng có thể tìm bằng cách lấy tích phân từng số hạng chuỗi Fourier của nó.ĐL 1.6. Nếu f(t) là hàm tuần hoàn thỏa đk Dirichlet và liên tục khắp nơi và nếu f’(t) cũng thỏa đk Dirichlet thì tại bất cứ điểm nào mà f’(t) tồn tại, nó có thể được tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi Fourier của f(t).VD 1.10. Xem sách	Page 58Chuổi FourierPage 59Khai triển bán kỳKhai triển bán kỳXét hàm f(t) chỉ xác định trên [0,p] và ta muốn khai triển Fourier của nó.Mở rộng hàm f(t) thành hàm tuần hoàn F(t)Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và khai triển này hội tụ về F(t) tại các điểm F(t) liên tục bất chấp hàm mở rộng (t).Page 60Khai triển bán kỳNếu chọn (t) = f(-t) thì F(t) chẵn, ta có chuỗi Fourier cosin.Nếu chọn (t) = -f(-t) thì F(t) lẻ, ta có chuỗi Fourier sin.ĐL 1.9. Nếu f(t) là hàm xác định trên khoảng [0,p] và thỏa đk Dirichlet thì nó sẽ được khai triển thành chuổi Fourier cosin hoặc sin.Các khai triển này gọi chung là khai triển bán kỳ.Page 61Khai triển bán kỳVD: Tìm chuỗi Fourier sin bán kỳPage 62Khai triển bán kỳVD: Tìm chuỗi Fourier sin bán kỳPage 63Chuổi FourierPage 64Các dạng khác của chuỗi FourierDạng sóng hài của chuỗi FourierDạng chuẩnĐặt:Dạng sóng hài: Page 65Dạng mũ phức của chuỗi FourierDạng chuẩnĐặt:Dạng sóng hài: Page 66Dạng mũ phức của chuỗi FourierVD 1.12: Tìm dạng mũ của chuỗi FourierPage 67Dạng mũ phức của chuỗi FourierVD 1.12: (tt)Page 68Dạng mũ phức của chuỗi FourierVD 1.12: (tt)Đổi sang dạng chuẩnPage 69