Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 1: Ma trận. Định thức - Nguyễn Ngọc Lam

; a ij = 0,  i≠j 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
11 
 1. MA TRẬN 
1.1.3. Vectơ hàng (cột): Ma trận chỉ có một hàng (cột) được gọi là vectơ hàng (cột). 
1.1.4. Ma trận không: 
1.1.4. Ma trận bằng nhau: 
1) A=[a ij ] m x n ; B=[b ij ] m x n 
2) a ij = b ij với mọi i,j 
Khi A bằng B ta viết A = B. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
12 
 1. MA TRẬN 
1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[a ij ] m x n => A T =[a ji ] n x m 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
13 
 1. MA TRẬN 
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 
1.2.1. Phép cộng hai ma trận 
1. Định nghĩa: A=[a ij ] m x n ; B=[b ij ] m x n => A + B =[a ij + b ij ] m x n 
2. Tính chất: Nếu các ma trận A, B, C,  cùng cấp m x n, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau: 
 A + B = B + A 
 (A + B) + C = A + (B + C) 
  + A = A 
 Nếu gọi -A = [-a ij ] m x n thì ta có -A + A =  
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
14 
 1. MA TRẬN 
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 
1. Định nghĩa : cho A=[a ij ] m x n , k  R thì tích kA là một ma trận cấp m x n được xác định bởi kA=[kaij]m x n 
2. Tính chất: cho k, h  R : 
 k(A + B) = kA + kB 
 (k + h)A = kA + hA 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
15 
 1. MA TRẬN 
1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 
1. Định nghĩa : Xét hai ma trận A=[a ik ] m x p ; B=[b kj ] p x n , Người ta gọi tích AB là ma trận C=[c ij ] m x n có m hàng và n cột phần tử c ij được xác định như sau: 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
16 
 1. MA TRẬN 
2. Một số tính chất: Với các giả thuyết các phép tính viết dưới dạng thực hiện được, ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau: 
 (A.B).C = A.(B.C) 
 A(B+C) = AB + AC 
 (B+C)A = BA + CA 
 k(BC) = (kB)C = B(kC) 
 Phép nhân nói chung không có tính giao hoán 
 A=[aij]n x n => I.A = A.I = A 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
17 
 1. MA TRẬN 
1.3. VÍ DỤ 
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. 
Tháng 1 
A 
B 
C 
D 
CH1 
10 
2 
40 
15 
CH2 
4 
1 
35 
20 
Tháng 2 
A 
B 
C 
D 
CH1 
12 
4 
20 
10 
CH2 
10 
3 
15 
15 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
18 
 1. MA TRẬN 
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo kế hoạch sản xuất cho bởi ma trận A và ma trận B định mức hao phí các vật liệu. 
A 
B 
C 
PX1 
10 
0 
5 
PX2 
0 
8 
4 
PX3 
0 
2 
10 
VL1 
VL2 
VL3 
VL4 
VL5 
A 
2 
1/2 
0 
1/10 
0 
B 
0 
1/8 
1 
1 
0 
C 
0 
0 
2 
1 
1/3 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
19 
 2. ĐỊNH THỨC 
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA: 
 A là ma trận vuông cấp 2: 
 A là ma trận vuông cấp 1: 
	A= [a 11 ] thì det(A) = a 11 
	thì det(A) = a 11 a 22 – a 12 a 21 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
20 
 2. ĐỊNH THỨC 
 A là ma trận vuông cấp n 
Ký hiệu A ij là ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j. 
Ta gọi phần bù đại số của a ij là số C ij = (-1) i+j det(A ij ). Ta nói định thức cấp n của A là: 
det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + + a 1n C 1n 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
21 
 2. ĐỊNH THỨC 
Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 
Det(A) = 1(45+48) – 2(-36-42) + 3(32-35) = 240 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
22 
 2. ĐỊNH THỨC 
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: 
Tính chất 1:  A T  =  A  
	Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột. 
Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
23 
 2. ĐỊNH THỨC 
Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không. 
Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằng không. 
Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k. 
	 Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài định thức. 
Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì bằng không. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
24 
 2. ĐỊNH THỨC 
Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức. 
Dòng thứ i nào đó của định thức có a ij = a’ ij + a” ij 
	thì det(A) = det(A’) + det(A”) 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
25 
 2. ĐỊNH THỨC 
Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay của các cột khác) thì định thức ấy bằng không. 
Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng khác (hay bội k của một cột vào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thức cũ 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
26 
 2. ĐỊNH THỨC 
Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
27 
 2. ĐỊNH THỨC 
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC: 
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. 
Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp. 
Biến đổi sơ cấp 
Tác dụng 
Lý do 
Nhân một hàng với một số k≠0 
Định thức nhân với k 
Tính chất 5 
Đổi chỗ hai hàng 
Định thức đổi dấu 
Tính chất 2 
Cộng k lần hàng r vào hàng s 
Định thức không đổi 
Tính chất 9 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
28 
 2. ĐỊNH THỨC 
Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp: 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
29 
 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu ma trận vuông cấp n. 
3.1. Ma trận không suy biến: Ta gọi ma trận vuông A cấp n là một ma trận không suy biến nếu det(A) ≠ 0. 
3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn: AB = BA = I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. 
	Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch . 
	Ký hiệu: B = A -1 , nghĩa là ta có AA -1 = A -1 A = I 
3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo: 
	 Định lý: Nếu A khả nghịch thì A -1 là duy nhất. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
30 
 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
3.4. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nó: 
Định lý: Nếu det(A)≠0 thì ma trận A có nghịch đảo A -1 được tính bởi công thức sau: 
Trong đó C ij là phần bù đại số của phần tử a ij . 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
31 
 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
3.5. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo: 
3.5.1. Phương pháp dùng định thức: 
Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
32 
 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
3.5.1. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp của Gauss - Jordan: 
1. Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số thực khác không 
2. Cộng vào một dòng của ma trận một dòng khác đã nhân với một số thực 
3. Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau 
	Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A -1 ] 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
33 
 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
Ví dụ, tìm ma trận nghịch đảo: 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
34 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.1. Ma trận con: ma trận A cấp m x n, gọi p là một số nguyên dương, p<min(m,n) 
Định nghĩa: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A 
Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A. 
Ví dụ: Xét ma trận cấp 3x4: 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
35 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.2. Hạng của ma trận: 
Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A. 
Nếu r là hạng của ma trận nếu: 
 Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0. 
 Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0. 
 Ký hiệu: rankA = r 
Ví dụ: Tìm hạng A 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
36 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.3. Ma trận bậc thang: 
4.3.1. Định nghĩa: 
 Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. 
 Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì được gọi là dòng khác 0. 
 Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
37 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các điều kiện sau: 
 A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0. 
 Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên. 
4.3.2. Ví dụ: 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
38 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.2.3. Định lý về hạng của ma trận: 
	 Cho A, B là hai ma trận cùng cấp. Nếu B là ma trận nhận được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì rankA = rankB. 
	 Hệ quả: Hạng của ma trận A bằng số dòng khác không của ma trận dạng bậc thang thu được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
39 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.2.4. Thuật toán đưa một ma trận về ma trận dạng bậc thang 
 Biến đổi sao cho phần tử chính ở dòng một về vị trí cột đầu tiên so với p phần tử chính ở các dòng khác. 
 Biến đổi sao cho các phần tử nằm phía dưới phần tử chính của dòng đầu tiên đều bằng 0. 
 Làm tương tự đối với hàng 3, 4. 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
40 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.3. Các phương pháp tìm hạng ma trận. 
4.3.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa. 
Bước 1: Tính các định thức con cấp p cao nhất có trong A: 
- Nếu gặp một định thức khác 0 thì kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó. 
- Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 2. 
Bước 2: Tính các định thức con cấp p-1 có trong A: 
- Nếu gặp một định thức khác 0 thì ta kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó. 
- Nếu tất cả các định thức đó đều bằng 0 thì tiếp tục bước 3. 
Bước 3, 4, cho đến khi tìm được rankA 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
41 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận 
11/10/2021 
Ma trận - Định thức 
42 
 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 
4.3.2. Phương pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. 
Để tìm hạng của ma trận A ta biến đổi ma trận A về dạng bậc thang, số dòng khác dòng 0 là hạng của ma trận A. 
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận.