Bài giảng Toán học sơ cấp - Phần II: Vị từ và lượng từ - Nguyễn Viết Đông

2,.,an). Khi đó ta nói p
= p(x1,x2,.,xn) là một vị từ theo n biến(xác
định trên A1A2 ... An)
3
Predicates and Quantifiers
Propositional functions or predicates are propositions
which contain variables
Example Let P denote the Predicate “is greater than 0”
and P(x) denote “x > 0”
x is called a variable
The predicate become a proposition once the variable 
x has been assigned a value.
Example 
What is the truth value of p(5), p(0) and p(-2)? 
“5>0” is true, “0>0” is false and “-2>0” is false
4
2Vị từ và lượng từ
• Ví dụ 1:
Xét p(n) = “n > 2” là một vị từ một biến xác định
trên tập các số tự nhiên N.
Ta thấy với n = 3; 4 ta được các mệnh đề đúng
p(3), p(4), còn với n = 0,1 ta được mệnh đề sai
p(0), p(1).
5
Vị từ và lượng từ
• Ví dụ 2
Xét p(x,y) = “x2 + y = 1” là một vị từ theo hai biến
xác định trên R2, ta thấy p(0,1) là một mệnh đề
đúng, trong khi p(1,1) là một mệnh đề sai.
6
Examples
Example: 
Let Q(x,y) denote the statement “y =x + 2”.
What is the truth value of 
Q(2,4,) and Q(4, 1)
“4 = 2+2” is true and “1 = 4+2” is false
Q(2,y)  Q(0,3) is not a proposition: y is not bounded
Q(1,3)  Q(0,1) is a proposition which is true
Q(2,y)  Q(0,3) is a proposition???
Q(1,3)  Q(0,1) is a proposition ???
7
Vị từ và lượng từ
• Định nghĩa: Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo
một biến x  A. Khi ấy,
– Phủ định của vị từ p(x) kí hiệu là p(x) là vị từ mà khi
thay x bởi một phần tử cố định của A thì ta được mệnh
đề (p(a))
– Phép nối liền(tương ứng nối rời, kéo theo) của p(x)
và q(x) được ký hiệu bởi p(x)  q(x)( tương ứng là
p(x)q(x), p(x)q(x)) là vị từ theo biến x mà khi thay
x bởi phần tử cố định a của A ta được mệnh đề
p(a) q(a) ( tương ứng là p(a)  q(a), p(a)q(a))
8
3Vị từ và lượng từ
• Định nghĩa:
Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A. Ta
định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) như sau:
– Mệnh đề “Với mọi x thuộc A,p(x)”, kí hiệu bởi “x  A, p(x)”, là
mệnh đề được định bởi “x  A, p(x)” đúng khi và chỉ khi p(a)
luôn đúng với mọi giá trị a  A .
– Mệnh đề “Tồn tại(ít nhất )(hay có (ít nhất) một x thuộc A, p(x))” kí
hiệu bởi :“x  A, p(x)” , là mệnh đề được định bởi “x  A,
p(x)” đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x = a0 nào đó sao
cho mệnh đề p(a0) đúng.
• Chú ý: Các mệnh đề lượng từ hóa ở trên đều là các mệnh
đề có chân trị xác định chứ không còn là các vị từ theo
biến x nữa.
9
Universe of Discourse
Question
Let R be the three-variable predicate R(x,y,z):
x+y = z
Find the truth value of 
R(2,-1,5), R(3,4,7) R(x,3,z)
A universe of discourse (U) is a domain for the 
variables of a propositional function.
Example
Let U = Z, the integers = {, -2, -1, 0, 1, 2, }
10
Universal quantifier
The Universal Quantifier of P(x):
is the proposition
“P(x) is true for every x in the universe of discourse” 
Notation: x P(x)
`For all x, P(x)‟ `For every x, P(x)‟ 
Example: 
U = {1, 2, 3} x P(x)  P(1)  P(2)  P(3)
Example
What is the truth value of x P(x) if P(x) is “3x <10”and 
U is positive integers not exceeding 4
P(1)  P(2)  P(3)  P(4) is false
11
Existential quantifier
The Existential Quantifier of P(x):
is the proposition
“P(x) is true for some x in the universe of discourse”
Notation: x P(x)
„For some x P(x)‟ „For at least an x in P(x)‟
Example: 
U = {1, 2, 3}, x P(x)  P(1)  P(2)  P(3)
Example
What is the truth value of x P(x) if P(x) is “3x <10”and 
U is positive integers not exceeding 4
P(1)  P(2)  P(3)  P(4) is True
12
4Vị từ và lượng từ
1) Meänh ñeà “x  R, x2 + 3x + 1  0” laø moät meänh ñeà sai
hay đúng ?
2) Meänh ñeà “x  R, x2 + 3x + 1  0” là moät meänh ñeà ñuùng hay sai?
Mệnh đề sai vì toàn taïi x
0
= 1  R maø x
0
2
+ 3x
0
+ 1  0
Meänh ñeà ñuùng vì toàn taïi x
0
= –1  R maø x
0
2
+ 3x
0
+ 1  0.
13
Vị từ và lượng từ
Meänh ñeà “x  R, x2 + 1  2x” laø moät meänh ñeà ñuùng 
hay sai? 
Mệnh đề đúng vì vôùi x  R, , ta luoân luoân coù 
x
2
-2x + 1  0 
Mệnh ñeà “x  R, x2 + 1 < 0” laø moät meänh ñeà 
đúng hay sai?
14
Vị từ và lượng từ
• Định nghĩa:
Cho p(x, y) laø moät vò töø theo hai bieán x, y xaùc ñònh treân
AB. Ta ñònh nghóa caùc meänh ñeà löôïng töø hoùa cuûa p(x,
y) nhö sau:
“x  A,y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
“x  A, y  B, p(x, y)” = “x  A, (y  B, p(x, y))”
15
Vị từ và lượng từ
Xeùt vò töø p(x, y) = “x + 2y < 1” theo hai bieán x, y xaùc ñònh treân
R2
Mệnh đề“x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1  R mà x0 + 2y0  1.
Mệnh đề“x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a  R, tồn tại ya  R như
ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.
16
5Vị từ và lượng từ
Mệnh đề “x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai
Mệnh đề sai vì không thể có x = a  R để bất đẳng thức
a + 2y < 1 được thỏa với mọi y  R (chẳng hạn, y =–a/2 + 2 
không thể thỏa mãn bất đẳng thức này)
Mệnh đề“x  R, y  R, x + 2y < 1” đúng hay sai?
Mệnh đề đúng vì tồn tại x0 = 0, y0 = 0  R chẳng hạn, thỏa
mãn
x0 + 2y0 < 1.
17
Translate into English
Example
Translate the statement 
x(C(x)  y(C(y) F(x,y))) into English
Where C(x) is “x has a computer”
F(x,y) is “x and y are friends”
and U is x and y are students in your school
For every student x in your school x has a computer or 
there is a student y such that y has a computer and x and y are friends.
18
Example
Example:Let U = R, the real numbers. P(x,y): xy = 0
xy P(x,y) 
x y P(x,y) 
x y P(x,y) 
x y P(x,y) 
False
True
True
True
Example: Let U={1, 2, 3}. Find an expression equivalent to x y P(x,y) where the 
variables are bound by substitution instead:
Solution: y P(1,y)  y P(2,y)  y P(3,y) 
[P(1,1)  P(1,2)  P(1,3)] 
[P(2,1)  P(2,2)  P(2,3)] 
[P(3,1)  P(3,2)  P(3,3)]
19
Vị từ và lượng từ
Cho p(x, y) laø moät vò töø theo hai bieán x, y xaùc ñònh
treân AB. Khi ñoù:
1) “x  A, y  B, p(x, y)”
 “y  B, x  A, p(x, y)”
2) “x  A, y  B, p(x, y)”
 “y  B, x  A, p(x, y)”
3) “x  A, y  B, p(x, y)”
 “y  B, x  A, p(x, y)”
Chieàu ñaûo cuûa 3) noùi chung khoâng ñuùng.
20
6Vị từ và lượng từ
• Chứng minh 3)
Giả sử “x  A, y  B, p(x, y)” là đúng.
Khi đó, tồn tại a  A sao cho “y  B, p(x, y)”
là đúng, nghĩa là nếu thay y = b  B bất kỳ thì
p(a,b) đúng. Như vậy, y = b  B tuỳ chọn thì ta
có thể chọn x = a để “x  A, p(x, y)” là đúng.
Do đó, “y  B, x  A, p(x, y)” là mệnh đề
đúng.
21
Ví dụ thể hiện chiều đảo của 3 là chưa chắc đúng:
• Gọi p(x,y) là vị từ theo 2 biến thực
p(x,y) = “x + y = 1”,
• Nếu thay y tuỳ ý thì x = 1 - y để cho x + y = 1
nên mệnh đề x  A, p(x, y) là đúng.
Nên mệnh đề “y B, x  A, p(x, y)” là đúng.
• Ngược lại, nếu chọn x = a tuỳ ý, ta có thể chọn
y = -a để “y  B, p(x, y)” là sai.
Điều này chứng tỏ, “x  A, y  B, p(x, y)” là sai.
• Do đó, phép kéo theo sau là sai:
“y  B, x  A, p(x, y)” -> “x  A, y  B, p(x,
y)”
22
Vị từ và lượng từ
• Trong một mệnh đề lượng từ hoá từ một
vị từ theo nhiều biến độc lập, nếu ta hoán
vị hai lượng từ đứng cạnh nhau thì:
1. Mệnh đề mới vẫn còn tương đương logic với
mệnh đề cũ nếu hai lượng từ này cùng loại.
2. Mệnh đề mới này sẽ là một hệ quả logic của
mệnh đề cũ nếu hai lượng từ trước khi hoán
vị có dạng  
23
Vị từ và lượng từ
Định lý:
a) Vôùi p(x) laø moät vò töø theo moät bieán xaùc ñònh treân
A, ta coù:
b) Phuû ñònh cuûa meänh ñeà löôïng töø hoùa töø vò töø p(x
1
,
x
2
, ..., x
n
) coù ñöôïc baèng caùch thay löôïng töø  baèng
löôïng töø  vaø ngöôïc laïi, vaø thay vò töø p(x
1
, x
2
, ...,
x
n
) baèng vò töø .
   , ,x A p x x A p x   
   , ,x A p x x A p x   
 1 2, ,..., np x x x 24
7Negation
Equivalence involving the negation operator
x P(x)  x P(x)
x P(x)  x P(x)
Multiple Quantifiers: read from left to right
25
Vị từ và lượng từ
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “Hoâm nay, moïi sinh vieân lôùp
TH1ñeàu coù maët” laø gì ?
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “Trong lôùp TH2coù (ít nhaát moät) sinh vieân ñöôïc
thöôûng” laø gì?
“Hoâm nay, coù (ít nhaát) moät sinh vieân lôùp TH1vaéng maët”.
“Trong lôùp TH2khoâng coù sinh vieân naøo ñöôïc thöôûng”.
26
Vị từ và lượng từ
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “x  A, 2x + 1  0” laø gì ?
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà
“ > 0,  > 0, x  R,  x – a <   f(x) – f(a) < ”.
(ñieàu kieän ñeå haøm soá f(x) lieân tuïc taïi x = a)
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà trên là “x  A, 2x + 1 > 0”.
Phuû ñònh cuûa meänh đề trên laø:
“ > 0,  > 0, x  R,  x – a <   (f(x) – f(a)  )”.
27
Vị từ và lượng từ
Qui tắc đặc biệt hoá phổ dụng:
Nếu một mệnh đề đúng có dạng lượng từ
hoá trong đó một biến x  A bị buộc bởi
lượng từ phổ dụng , khi ấy nếu thay thế x
bởi a  A ta sẽ được một mệnh đề đúng.
28
8Vị từ và lượng từ
Ví dụ:
“Mọi người đều chết”
“Socrate là người”
Vậy “Socrate cũng chết”
29
• Qui tắc tổng quát hoá phổ dụng:
Nếu trong một mệnh đề lượng từ hoá, khi
thay một biến buộc bởi lượng từ  bằng
một phần tử cố định nhưng tuỳ ý của tập
hợp tương ứng mà mệnh đề nhận được có
chân trị 1 thì bản thân mệnh đề lượng từ hoá
ban đầu cũng có chân trị 1.
Vị từ và lượng từ
30
Inference Rules for Quantifiers
• x P(x)
P(o) (substitute any object o)
• P(g) (for g a general element of u.d.)
x P(x)
• x P(x)
P(c) (substitute a new constant c)
• P(o) (substitute any extant object o) 
x P(x)
31
Example
Every man has two legs, John Smith is a man.
Therefore, John Smith has two legs.
Predicates: M(x): x is a man
L(x): x has two legs
J: John Smith is a member of the universe
1. x[M(x)  L(x)]
2. M(J) L(J)
Proof 1. x[M(x)  L(x)] Hypothesis 1
2. M(J)  L(J) Step 1 and UI
3. M(J) Hypothesis 2
4. L(J) Step 2 and 3 and modus
ponens 
32