Bài giảng Toán học sơ cấp - Phần I: Mệnh đề - Nguyễn Viết Đông

below.
p q p pq pq pq pq pq
F F T F F F T T
F T T F T T T F
T F F F T T F F
T T F T T F T T
39
Some Alternative Notations
Name: not and or xor implies iff
Propositional logic:      
Boolean algebra: p pq + 
C/C++/Java (wordwise): ! && || != ==
C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^
Logic gates:
11
Dạng mệnh đề
• Daïng meänh ñeà laø moät bieåu thöùc ñöôïc caáu taïo
töø:
- Caùc haèng meänh ñeà, töùc laø caùc meänh ñeà ñaõ xeùt ôû
trên.
- Caùc bieán meänh ñeà, töùc laø caùc bieán laáy giaù trò laø
caùc meänh ñeà, thoâng qua caùc pheùp toaùn meänh ñeà
ñaõ xeùt ôû muïc trên theo moät trình töï nhaát ñònh naøo
ñoù, thöôøng ñöôïc chæ roõ bôûi caùc daáu ngoặc.
41
Dạng mệnh đề
• Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r 
ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) 
của p, q, r thì ta có duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R). 
Ta viết E = E(p, q, r).
• Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân
trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị
của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này
sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề.
42
Dạng mệnh đề
43
Tautologies and Contradictions
A tautology is a compound proposition that is 
true no matter what the truth values of its 
atomic propositions are!
Ex. p  p [What is its truth table?]
A contradiction is a compound proposition that 
is false no matter what! Ex. p  p [Truth 
table?]
Other compound props. are contingencies.
44
12
Logical Equivalence
Compound proposition p is logically equivalent 
to compound proposition q, written pq, IFF
the compound proposition pq is a tautology.
Compound propositions p and q are logically 
equivalent to each other IFF p and q contain 
the same truth values as each other in all rows 
of their truth tables.
45
Ex. Prove that pq (p  q).
p q pq p q p  q (p  q)
F F
F T
T F
T T
Proving Equivalence
via Truth Tables
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
46
Dạng mệnh đề
1. Quy tắc thay thế thứ 1
Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức
con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic
thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương
logic với E.
2. Quy tắc thay thế thứ 2
Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r) là một hằng đúng. Nếu ta
thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p‟,q‟,r‟) 
thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r,p‟,q‟,r‟,
vẫn còn là 1 hằng đúng.
47
Dạng mệnh đề
Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh
đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta
có các tương đương logic sau đây:
1) Luật luỹ đẳng
p  p  p
p  p  p 
48
13
Dạng mệnh đề
49 50
51 52
14
53
Dạng mệnh đề
16) Luật rút gọn:
p q  p  1
p  (p q)  p q
(p  q) q  p q
p  (p  q)  1
54
Equivalence Laws - Examples
• Identity: pT  p pF  p
• Domination: pT  T pF  F
• Idempotent: pp  p pp  p
• Double negation: p  p
• Commutative: pq  qp pq  qp
• Associative: (pq)r  p(qr)
(pq)r  p(qr)
55
More Equivalence Laws
• Distributive: p(qr)  (pq)(pr)
p(qr)  (pq)(pr)
• De Morgan’s:
(pq) p  q
(pq) p  q
• Trivial tautology/contradiction:
p  p  T p  p  F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
15
Defining Operators via Equivalences
Using equivalences, we can define operators in 
terms of other operators.
• Exclusive or: pq  (pq)(pq)
pq  (pq)(qp)
• Implies: pq p  q
• Biconditional: pq  (pq)  (qp)
pq (pq)
57
An Example Problem
• Check using a symbolic derivation whether 
(p  q)  (p  r) p  q  r.
(p  q)  (p  r) 
[Expand definition of ] (p  q)  (p  r)
[Defn. of ] (p  q)  ((p  r)  (p  r))
[DeMorgan’s Law]
 (p  q)  ((p  r)  (p  r))
 [associative law] cont.
58
Example Continued...
(p  q)  ((p  r)  (p  r))  [ commutes]
 (q  p)  ((p  r)  (p  r)) [ associative]
 q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ]
 q  (((p  (p  r))  (p  (p  r)))
[assoc.]  q  (((p  p)  r)  (p  (p  r)))
[trivail taut.]  q  ((T  r)  (p  (p  r)))
[domination] q  (T  (p  (p  r)))
[identity]  q  (p  (p  r))  cont.
59
End of Long Example
q  (p  (p  r))
[DeMorgan’s]  q  (p  (p  r))
[Assoc.]  q  ((p  p)  r)
[Idempotent]  q  (p  r)
[Assoc.]  (q  p)  r 
[Commut.] p  q  r 
Q.E.D. (quod erat demonstrandum)
(Which was to be shown.)
60
16
Dạng mệnh đề
• Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng
đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương
đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả
logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau:
- Lập bảng chân trị.
- Sử dụng phép thay thế.
61
Ví dụ
Cho p, q, r laø caùc bieán meänh ñeà. Chöùng minh 
raèng:
(p r)  (q  r)  (p  q)  r (1)
Chuùng ta có thể chöùng minh (1) baèng hai caùch.
Caùch 1: Laäp baûng chaân trò .
62
63
Qui tắc suy diễn
• Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số
khẳng định đúng p, q, r(tiền đề), ta áp dụng các qui 
tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà
ta gọi là kết luận.
• Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng
minh:
( p  q  r  ) có hệ quả logic là h
.
64
17
Qui Tắc Suy Diễn
Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng:
p 
q
r
.
:
___
h
65
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC MODUS PONENS(Phƣơng pháp
khẳng định)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
 p q p q    
p q
p
q


•Nếu An học chăm thì An học tốt.
•Mà An học chăm
Suy ra An học tốt
•Hình vuông là hình bình hành
•Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đường.
Suy ra hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đường
67
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN(Syllogism)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
     p q q r p r      
p q
q r
p r


 
18
•Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn
bằng nhau thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa
hai góc bằng nhau.
•Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc
bằng nhau thì chúng bằng nhau
Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc
nhọn bằng nhau thì bằng nhau.
•Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm
•Cái gì hiếm thì đắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()
69
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC MODUS TOLLENS
PHƢƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
 p q q p    
p q
q
p



• Xét chứng minh • Ta suy luận
p r
r s
t s
t u
u
p



 


p r
r s
s t
t u
u
p






Aristotle
(ca. 384-322 B.C.)
71
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI 
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có
thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì
chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng
 p q q p      p q p q    
19
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC MÂU THUẪN
CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
Ta có tương đương logic
• Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng
minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì
được một mâu thuẫn. 
   1 2 1 2... ... 0n np p p q p p p q               
VÍ DỤ
• Hãy chứng minh: • Cm bằng phản chứng.
p r
p q
q s
r s

 

 
0
p r
p q
q s
r
s

 




74
Qui Tắc Suy Diễn
• CHỨNG MINH THEO TRƢỜNG HỢP 
Dựa trên hằng đúng:
• Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q 
cũng có thể suy ra r.
     p r q r p q r           
VÍ DỤ
• Chứng minh rằng:
 3 4 3n n 
20
Một số luật thêm
p Rule of Addition(Phép thêm)
 pq
pq Phép đơn giản nối liền
 p 
p
q
 pq Luật về phép nối lền
77
VÍ DỤ TỔNG HỢP
1. Nếu nghệ sĩ Trương Ba
không trình diễn hay số
vé bán ra ít hơn 100 thì
đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và
ông bầu sẽ rất buồn.
2. Nếu đêm diễn bị hủy bỏ
thì tiềnvé phải trả lại cho
người xem.
3. Nhưng tiềnvé đã không
trả lại cho người xem. 
Vậy nghệ sỹ TB đã
trình diễn
• p:Nghệ sĩ Trương Ba đã trình
diễn.
• q:số vé bán ra ít hơn 100.
• r:đêm diễn bị hủy bỏ.
• s: ông bầu buồn.
• t:trả lại tiền vé cho người xem
p q r s
r t
t
p
   



78
Qui Tắc Suy Diễn
• PHẢN VÍ DỤ
Để chứng minh một phép suy luận là sai hay
không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một
phản ví dụ.
1 2 ... np p p q   
VÍ DỤ
• Ông Minh nói rằng nếu
không được tăng lương thì
ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt
khác, nếu ông ấy nghỉ việc
và vợ ông ấy bị mất việc thì
phải bán xe. Biết rằng nếu
vợ ông Minh hay đi làm trễ
thì trước sau gì cũng sẽ bị
mất việc và cuối cùng ông
Minh đã được tăng lương.
• Suy ra nếu ông Minh không
bán xe thì vợ ông ta đã
không đi làm trễ
• p:ông Minh được tăng
lương.
• q: ông Minh nghỉ việc.
• r: vợ ông Minh mất việc.
• s: gia đình phải bán xe.
• t: vợ ông hay đi làm trễ.
p q
q r s
t r
p
s t
 
 

 
s=0
t=1
p=1
q=0
r=1
80
21
Formal Proof Example
• Suppose we have the following premises:
“It is not sunny and it is cold.”
“Only if We will swim is it sunny.”
“If we do not swim, then we will canoe.”
“If we canoe, then we will be home early.”
• Given these premises, prove the theorem
“We will be home early” using inference rules.
81
Proof Example cont.
• Let us adopt the following abbreviations:
– sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”; 
swim = “We will swim”; canoe = “We will 
canoe”; early = “We will be home early”.
• Then, the premises can be written as:
(1) sunny  cold (2) swim  sunny
(3) swim  canoe (4) canoe  early
82
Proof Example cont.
Step Proved by
1. sunny  cold Premise #1.
2. sunny Simplification of 1.
3. swimsunny Premise #2.
4. swim Modus tollens on 2,3.
5. swimcanoe Premise #3.
6. canoe Modus ponens on 4,5.
7. canoeearly Premise #4.
8. early Modus ponens on 6,7.
83
Qui Tắc Suy Diễn
• VD1
84
22
85
Qui Tắc Suy Diễn
• VD2
86
• Giải
Qui Tắc Suy Diễn
87
Qui Tắc Suy Diễn
88
23
Qui Tắc Suy Diễn
89
à
90