Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Định thức và ma trận

.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N
Định thức cấp 2: Cho ma trận vuông cấp 2:
Định thức của ma trận A được xác định theo công thức:
Ví dụ:
 
  
 
1 1
2 2
a b
A
a b
   
1 1
1 2 2 1
2 2
a b
a b a b
a b
     . .
2 3
2 5 3 4 2
4 5
13
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo)
Định thức cấp 3:
Định thức của ma trận cấp 3:
xác định bởi:        
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1
3 3 3
a b c
a b c a b c b c a c a b b a c a c b a b c
a b c
 
 

 
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
14
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo)
Có thể nhớ cách lập biểu thức của  theo quy tắc Sarrus
Ví dụ:
3 số mang dấu (+)
theo đường chéo chính
3 số mang dấu (-)
theo đường chéo phụ
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o

           

. . . . .( ).( ) . .( ) . .( ) . .
2 3 1
5 0 4 2 0 3 2 3 4 5 1 1 2 0 1 2 4 1 5 3 3 8
2 1 3
15
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo)
Định nghĩa 2.5
Định thức của ma trận vuông [aij]nn cấp n có dạng như sau:
Người ta còn có thể ký hiệu định thức của ma trận A là det(A).
 
... .
... .
. . ... . . .
... .
. . ... . . .
... .
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
i1 i2 ij in
n1 n2 nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
16
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho các ma trận . Định thức của ma trận A-B là:
A. 0
B. 1
C. 18
D. 6
• Đáp án đúng là: 1
• Vì:
17
1 3 2 3
A B
2 4 1 5
   
    
   
,
1 2 3 3 1 0
A B
2 1 4 5 1 1
1 0
A B 1 1 0 1
1 1
     
          

      

( ).( )
v1.0018112205
2.2.2. PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ
Cho ma trận A=[aij] vuông cấp n.
Ký hiệu Dij là định thức con ứng với phần tử aij có được từ Δ bằng cách bỏ đi hàng i và cột j từ ma trận nn.
Ký hiệu Aij là phần phụ đại số ứng với phần tử aij xác định bởi:
Định thức ma trận:
1  ( )i jij ijA D

 
     ( )
n n
i j
ij ij ij ij
i 1 i 1
1 a D a A
18
v1.0018112205
2.2.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
Để dễ hiểu ta xét chứng minh cho các định thứ cấp 3:
• Tính chất 1: Khi ta đổi hàng thành cột, đổi cột thành hàng thì định thức không đổi. Do tính chất 1, từ nay về sau ta
phát biểu các tính chất cho cột và cần phải hiểu nó cũng đúng đối với hàng.
• Tính chất 2: Khi ta đổi vị trí hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu.
• Tính chất 3: Một định thức có 2 cột giống nhau thì bằng 0.
• Tính chất 4: Thừa số chung của các phần tử của cùng một cột có thể đưa ra ngoài dấu định thức.
• Tính chất 5:
• Tính chất 6: Nếu cộng các phần tử của một cột nào đó với những phần tử của một cột khác nhân với cùng một số
k thì định thức không đổi.
   
     
   
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a a b c a b c a b c
a a b c a b c a b c
a a b c a b c a b c
19
v1.0018112205
2.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
20
2.3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
2.3.1 Định nghĩa
v1.0018112205
2.3.1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 2.6: Một ma trận vuông X cùng cấp với ma trận vuông A được gọi là ma trận nghịch đảo của ma
trận A nếu AX = XA = E.
Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là A–1.
Theo định nghĩa A A–1 = A–1 A = E.
21
v1.0018112205
2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Xét một ma trận vuông cấp n bất kỳ
ứng với ma trận A ta lập ma trận
Trong đó Aij là phần phụ đại số của phần tử aij trong định thức |A|. Ma trận A* được gọi là ma trận chuyển vị
của ma trận phụ hợp của ma trận A.
.
 
 
 
 
 
 
...
...
. . ... .
...
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
*
...
...
. . ... .
...
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A A
A A A
A
A A A
22
v1.0018112205
2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo)
Định nghĩa 2.7: Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu d = |A|  0
Định lý 2.2: Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là d = |A|  0 tức là ma trận A
không suy biến.
Ma trận A có ma trận nghịch đảo là
Ví dụ 1: Cho ma trận
Ma trận này không có ma trận nghịch đảo vì |A| = 0
  *.1
1
A A
d
 
 
  
 
 
 
1 2 3
A 1 0 2
0 2 1
23
v1.0018112205
2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo)
Ví dụ 2:
Tìm nghịch đảo của ma trận
Đối với ma trận này ta có:
do đó, nó có ma trận nghịch đảo.
 
 

 
 
 
1 2 0
A 0 3 1
0 1 2
  
1 2 0
d 0 3 1 5 0
0 1 2
24
v1.0018112205
2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo)
Để tìm ma trận nghịch đảo, trước hết, ta tìm ma trận phụ hợp A*. Ta có:
Ma trận nghịch đảo của ma trận đã cho là:
  
    
   
   
   
  
   
      
*
; ,
, ,
, ,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A 5 A 0 A 0
A 4 A 2 A 1
A 2 A 1 A 3
A A A 5 4 2
A A A A 0 2 1
A A A 0 1 3

 
  
 
    
 
 
  
 
* *1
4 2
1
5 5
1 1 2 2
A A A 0
d 5 5 3
1 3
0
5 5
25
v1.0018112205
2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo)
Nhận xét: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, trong đó A là ma trận không suy biến. Xét các phương trình
ma trận AX = B và YA = B.
Dễ thấy rằng các phương trình này có nghiệm duy nhất tương ứng:
X = A–1B
Y = BA–1 (2.11)
26
v1.0018112205
2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo)
Ví dụ: Cho hai ma trận
Ma trận A là ma trận không suy biến (|A| = 1) do đó, nó có ma trận nghịch đảo
Nghiệm của các phương trình AX = B và YA = B là:
Nếu A và B là các ma trận vuông cùng cấp và không suy biến thì AB có ma trận nghịch đảo là (AB)–1 = B–1A–1.
   
    
   
3 2 1 5
A B
1 1 1 6
    
 
1 1 2A
1 3


       
      
    
      
      
     
1
1
1 2 1 5 3 7
X A B
1 3 1 6 4 13
1 5 1 2 6 17
Y BA
1 6 1 3 5 16
27
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Ma trận nghịch đảo của ma trận là:
• Đáp án đúng là:
• Vì:
28
1 0
A
0 2
 
  
 
1 0
1
0
2
 
 
 
 
A.
1 0
0 2
 
 
 
B.
2 0
0 1
 
 
 
C.
1
0
2
0 1
D.
 
 
 
 
1
1 0
2 01
A 1
2 0 1 0
2

 
        
 
1 0
1
0
2
 
 
 
 
A.
v1.0018112205
2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
Xét ma trận . Từ ma trận A lấy k hàng và k cột bất kỳ (k  min{m,n}) thì những phần tử chung của
k hàng và k cột đó tạo thành một ma trận vuông. Định thức ứng với ma trận vuông đó gọi là định thức con cấp
k của ma trận A.
Định nghĩa 2.8:
Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A).
Dễ thấy .
 

 ij m n
A a
   min , 0 r A m n
29
v1.0018112205
2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Muốn tính hạng của ma trận, người ta dựa vào các tính chất sau:
Tính chất 1:
Hạng của ma trận không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi sau:
1. Đổi cột thành hàng, hàng thành cột.
2. Đổi chỗ 2 hàng (cột) cho nhau.
3. Nhân các phần tử của cùng một hàng (cột) với cùng một số khác 0.
4. Cộng vào một hàng (cột) các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác đã được nhân với một số.
5. Thêm hoặc bớt đi một hàng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác. Trường hợp riêng là thêm
hoặc bớt đi một hàng (cột) gồm toàn số 0.
Các tính chất này dễ dàng suy ra từ các tính chất của định thức, bởi vì các phép toán trên phép toán 1 đến
phép toán 4 không làm thay đổi tính chất khác 0 hay bằng 0 của định thức còn định thức thu được sau phép
toán 5 sẽ bằng 0.
30
v1.0018112205
2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Tính chất 2: Nếu một định thức cấp k nào đó của ma trận A khác 0 mà các định thức cấp k + 1 chứa nó
đều bằng 0 thì r(A) = k.
Ý nghĩa của tính chất 1: Cho phép ta biến đổi ma trận để tính các định thức con dễ hơn khi tìm hạng của
ma trận.
Ý nghĩa của tính chất 2: Nếu đã tìm được một định thức D cấp k khác 0 rồi, ta không cần tính tất cả các
định thức cấp k + 1 của ma trận A mà chỉ cần tính các định thức cấp k + 1 chứa định thức D. Nếu các định
thức này bằng 0 cả thì ta kết luận r(A) = k. Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lặp lại như cũ.
31
v1.0018112205
2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Ví dụ: Tính hạng của ma trận
 

  

 

    
3 5 9 0 1 0 0 1 0
6 10 10 6 10 18 0 2 0
A
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 8 12 4 8 12 4 8 12
0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 2 0
0 2 0 0 2 0
1 2 3
1 2 3 1 2 0
0 0 0
 
   
0 1 0 1
0 2 0 2
1 2 1 0
32
v1.0018112205
2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo)
Ta có r(A)  2. Xét định thức cấp 2:
Vậy r(A)=2. Áp dụng tính chất 2, ta thấy có một định thức cấp 2 khác 0
Ta hãy tính hai định thức cấp 3 chứa nó
vậy r(A)= 2.
 
 

0 1 0 1
0 1
0 2 1 0
  
6 10
D 2 0
1 2
     1 2
3 5 9 6 10 18
6 10 18 0 1 2 3 0
1 2 3 4 8 12
33
v1.0018112205
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Mô hình input – output Leontief (cân đối liên ngành)
Xét mô hình đầu vào – đầu ra Leontief với ma trận đầu vào:
Ta có hệ phương trình: x – Ax = d.
Tình huống: Biết véctơ cầu d = (10, 5, 6) T (x100 tỷ đồng). Xác định mức sản xuất đầu ra của từng ngành x.
Giải quyết:
Ta có : x – Ax = d 
 (E - A)x = d
 x = (E - A)-1 d = [24,84 ; 20,68 ; 18,36] T (x100 tỷ đồng).
34
0 2 0 3 0 2
0 4 0 1 0 2
0 1 0 3 0 2
, , ,
A , , ,
, , ,
 
 
 
  
v1.0018112205
TỔNG KẾT BÀI HỌC
Các bạn đã được học về Ma trận và định thức. Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:
• Nắm được khái niệm về ma trận, các phép toán về ma trận;
• Định thức cấp 2, cấp 3 và cấp n tổng quát cùng các tính chất và cách tính;
• Khái niệm của ma trận nghịch đảo, công thức và điều kiện nghịch đảo;
• Khái niệm và cách tính hạng của ma trận;
• Giải được các bài toán về định thức và ma trận cách tự luận và theo trắc nghiệm.
35