Bài giảng Toán cao cấp B1 - Nguyễn Viết Trí

 c 
Tương tự ta có : 
2 4 2 2
0
cos 1 ... ( 1) . ... ( 1) .
2! 4! (2 )! (2 )!
k k
k k
k
x x x xx
k k


         với x R  
7.3.4.4 Một số ứng dụng khai triển hàm số thành chuỗi 
- Tính giá trị gần đúng hàm số tại một điểm 
Thí dụ Tính gần đúng số e với độ chính xác đến 0,00001 
- Tính gần đúng tích phân xác định 
Thí dụ Tính gần đúng tích phân sau với độ chính xác cho trước 
1
0
sinxdx
x 
7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier 
 Trong cơ học thường gặp các bài toán phân tích một dao động thành các dao 
động điều hoà hoặc hợp các dao động điều hoà. Xét về mặt toán học, điều đó có 
nghĩa là khai triển một hàm số (có chu kỳ) thành một chuỗi hàm dạng sau đây 
7.4.1 Định nghĩa 
- Định nghĩa 7.4.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng 
 



1
0 )sin.cos.(
2 n
nn nxbnxa
a (1) 
trong đó 0 , ,n na a b R 
- Định lý 7.4.1 Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đều trên đoạn [- ; ] về hàm f(x) thì 
các hệ số an, bn được tính bởi công thức: 
1 ( ) cos . ; 1, 2,3,...
(2)
1 ( ) sin . ; 1, 2,3,...
n
n
a f x nx dx n
b f x nx dx n









 


  



117 
- Định nghĩa 7.4.2 Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , khả tích trên đoạn [- ; 
], chuỗi lượng giác 



1
0 )sin.cos.(
2 n
nn nxbnxa
a trong đó các hệ số an, bn được tính 
theo công thức (2) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) 
7.4.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Fourier: 
Định lý 7.4.2 (Định lý Đirichle) 
Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn 
[- ; ] thì chuỗi Fourier của hàm hội tụ từng điểm trên đoạn đó và tổng S(x) của 
chuỗi được xác định như sau: 
1. ( ) ( )S x f x tại những điểm ( )f x liên tục; 
2.  1( ) 0 ( 0)
2
S x f x f x      khi x là điểm gián đoạn loại I và  ,x    
3. S() = S(-) = [f( -0) + f(+0)]/2. 
Chú ý: Khai triển Fourier là công cụ của Phương trình vật lý toán và giải tích điều 
hoà. Nó còn là cơ sở để giải các bài toán về phân bố nhiệt,... 
Thí dụ 7.4.2 Khai triển Fourier của hàm  f x x  trên đoạn [-; ] và tuần 
hoàn với chu kỳ 2 
Ta có: 0
1 1( ) ( ) 2a f x dx x dx
 
 
 
  
     ; 
  1 1 1( ) cosnx cosnx cosnx cosnx 0 na f x dx x dx dx x dx
   
   

     
        
    1 1 2sin nx 0 sin nx 1 .
n
nb x dx x dx n
 
 

  
       (Tích phân từng phần) 
Theo định lý Đirichle ta được: 
  
 0
1 1
1
( ) cos .s innx 2 s innx
2
n
n n
n n
af x a nx b
n

 
 

      
 Sự khai triển này đúng với x R  trừ các điểmgián đoạn của hàm f(x) là 
2x k   
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 7 
Chương 7 sinh viên cần nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và 
các dấu hiệu về sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, 
cách khai triển và ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác. Khi tìm miền 
hội tụ của chuỗi hàm cần vận dụng các kết quả về xét sự hội tụ của chuỗi số, nên 
cần ôn tập nắm vững kiến thức về chuỗi số để nghiên cứu về chuỗi hàm số. 
Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 
118 
1) Định nghĩa chuỗi hàm số, chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều. Cho thí dụ. 
2) Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Cho thí 
dụ minh hoạ. 
3) Định nghĩa bán kính của chuỗi hàm lũy thừa dạng 
1
n
n
n
a x


 và trình bày cách 
tìm bán kính và miền hội tụ của nó. Cho thí dụ. 
4) Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin của 1 hàm số. Nêu ứng dụng của 
chuỗi Maclaurin. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 
Bài 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau: 
1) 
1
1
x
n n


 2)   1
1
11 n x
n n



 3) 
1
2 sin
3
n
n
n
x

 
4) 
1
1
! nn n x


 5)  
2
1
1
1
n
n
n
x
n



 6) 
1 !
n
n
x
n


 
Bài 2. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa sau: 
1) 1
1 3
2n n
n
n
x


 2) 
 
1
2 1 !
!
n
n
n x
n



 3) 
1
( 2)n
nnn
x


 4) 
 
 
1 2
1 !
1 nn
n
n
x



 
Bài 3. Khai triển thành chuỗi Maclaurin các hàm số sau 
1) 2( ) sinf x x 2) ( ) ; 0 1xf x a a   3) ( ) ln (1 )f x x  
Bài 4. Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau 
 1) 2( )f x x trên đoạn [-1,1] 2) 
2
( )
2
xf x x  trên đoạn [0,2] 
Bài 5. Tính gần đúng các số sau với sai số không quá 10-4 
 1) e 2) 0os61c 3) 2
1
4
0
xe dx 
119 
MỤC LỤC 
GIỚI THIỆU MÔN HỌC ............................................................................................... 1 
Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC....................... 4 
1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số ................................................................................. 4 
1.2 Hàm số ................................................................................................................... 7 
1.3 Các hàm số đặc biệt ................................................................................................ 9 
1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản ..................................................................................... 11 
1.5. Giới hạn hàm số.................................................................................................... 12 
1.6 Sự liên tục của hàm số. ......................................................................................... 19 
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN .................................... 26 
2.1 Đạo hàm ............................................................................................................... 26 
2.2 Sự khả vi và vi phân hàm số ................................................................................. 31 
2.3 Các định lý về hàm số khả vi ................................................................................ 33 
2.4 Ứng dụng của đạo hàm ......................................................................................... 39 
Chương 3. TÍCH PHÂN............................................................................................... 48 
3.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định ............................................................. 48 
3.2 Các phương pháp cơ bản tính tích phân................................................................. 49 
3.3 Tích phân các hàm số thường gặp ......................................................................... 51 
3.4 Tích phân xác định ............................................................................................... 56 
3.5 Tích phân suy rộng ............................................................................................... 61 
3.6 Ứng dụng của tích phân ........................................................................................ 64 
Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ...................................................................... 71 
4.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 71 
4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến .................................................... 72 
4.3 Đạo hàm riêng ...................................................................................................... 73 
4.4 Sự khả vi và vi phân toàn phần ............................................................................. 76 
4.5 Cực trị của hàm số hai biến ................................................................................... 78 
Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN..................................................................... 86 
5.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 86 
5.2 Phương trình vi phân cấp 1 ................................................................................... 87 
5.3 Phương trình vi phân cấp 2 ................................................................................... 93 
Chương 6. CHUỖI SỐ ............................................................................................... 101 
6.1 Định nghĩa, điều kiện cần, tính chất của chuỗi số hội tụ ...................................... 101 
6.2 Chuỗi số dương .................................................................................................. 103 
6.3 Chuỗi số đan dấu ................................................................................................ 106 
6.4 Chuỗi số số bất kỳ, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối .................................................. 107 
Chương 7. CHUỖI HÀM ......................................................................................... 109 
7.1 Dãy hàm số và sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số............................................ 109 
7.2 Chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm số ......................................... 110 
7.3 Chuỗi luỹ thừa .................................................................................................... 112 
7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier ..................................................................... 116 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 120 
120 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình 
toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. 
[2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. 
[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng. 
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , 
NXBGD. 
[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật 
[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. 
[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM 
[8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp 
 (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.