Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 6 - Nguyễn Văn Đắc

NGUYỄN VĂN ĐẮC 
BÀI GIẢNG TOÁN 5 
TUẦN 6 
 3.2 B Covariance của hai biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa 3.10 
Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời f(x, y) và các giá trị trung 
bình tương ứng là ,X Ym m . Covariance của X và Y là 
åå --=--=
i j
jiYjXiYXXY yxfyxYXE ),())(()])([( mmmms 
nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, và 
ò ò
+¥
¥-
+¥
¥-
--=--= dxdyyxfyxYXE YXYXXY ),())(()])([( mmmms 
nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục. 
Từ định nghĩa về Covariance, ta thấy nếu XYs > 0 thì nghĩa là thường xuyên xảy ra việc X nhận 
các giá trị lớn hơn Xm , đồng thời Y cũng nhận giá trị lớn hơn Ym hoặc X nhận giá trị nhỏ hơn 
Xm đồng thời Y cũng nhận giá trị nhỏ hơn Ym . Nếu XYs < 0 thì thường xuyên xảy ra việc X 
nhận giá trị lớn hơn Xm đồng thời với việc Y nhận giá trị nhỏ hơn Ym hoặc ngược lại. 
Khi tính XYs thường sử dụng công thức nêu trong định lí sau đây. 
Định lí 3.11 
Covariance của các biến ngẫu nhiên X và Y với các giá trị trung bình tương ứng là ,X Ym m , được 
xác định bởi 
( )XY X YE XYs m m= - . 
Hệ quả Nếu X, Y độc lập thì 0=XYs . 
Mệnh đề đảo của Hệ quả trên không đúng. Hãy xét Ví dụ sau. 
Ví dụ 3.16 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ 
ïî
ï
í
ì
-Ï
-Î=
]1;1[khi0
]1;1[khi
2
1
)(
x
xxf 
 và Y = X2. 
+ Rõ ràng X và Y không độc lập. 
+ E(XY) = E(X3) = 0 và E(X) = 0 nên 0=XYs . 
Ví dụ 3.17 Chọn ngẫu nhiên hai ruột bút từ một chiếc hộp. Số ngòi bút xanh X và số ngòi bút đỏ 
Y là các biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất đồng thời được cho ở bảng sau 
 X 
Y 
0 1 2 h(y) 
0 3/28 9/28 3/28 15/28 
1 3/14 3/14 3/7 
2 1/28 1/28 
g(x) 5/14 15/28 3/28 1 
Hãy tìm covariance của X và Y. 
Giải 
Ta có E(XY) = 3/14. Mặt khác 
2 2 2
0 0 0
5 15 3( ) ( , ) ( ) (0) (1) (2)
14 28 28
3
4
X
x y x
E X xf x y xg xm
= = =
æ ö æ ö æ ö= = = = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
=
åå å
và 
2 2 2
0 0 0
15 3 1( ) ( , ) ( ) (0) (1) (2)
28 7 28
1
2
Y
x y y
E Y yf x y yh ym
= = =
æ ö æ ö æ ö= = = = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
=
åå å
 Do đó, 3 3 1 9( ) .
14 4 2 56XY X Y
E XYs m m æ ö æ ö= - = - = -ç ÷ç ÷
è ø è ø
 ■ 
Ví dụ 3.18 Tỉ lệ X các nam vận động viên và tỉ lệ Y các nữ vận động viên điền kinh hoàn thành 
bài thi trong cuộc thi marathon được mô tả bằng hàm mật độ đồng thời sau 
8 , ( , ) [0;1] [0; ]
( , )
0, ( , ) [0;1] [0; ]
xy x y x
f x y
x y x
Î ´ì
= í Ï ´î
Hãy tìm covariance của X và Y. 
Giải Trước tiên, ta phải tìm các hàm mật độ biên duyên. Đó là 
34 , [0;1]( )
0, [0;1]
x x
g x
x
ì Î
= í
Ïî
và 
24 (1 ), [0;1]( )
0, [0;1]
y y y
h y
y
ì - Î
= í
Ïî
Từ các hàm mật độ biên duyên ở trên, ta được 
1 14 2 2
0 0
4 8( ) 4 , ( ) 4 (1 ) .
5 15X Y
E X x dx E Y y y dym m= = = = = - =ò ò 
Từ hàm mật độ đồng thời đã cho, ta có 
1 1 2 2
0
4( ) 8 .
9y
E XY x y dxdy= =ò ò 
Từ đó 4 4 8 4( ) .
9 5 15 225XY X Y
E XYs m m æ öæ ö= - = - =ç ÷ç ÷
è øè ø 
Mặc dù covariance của hai biến ngẫu nhiên cung cấp thông tin về mối liên hệ khách quan giữa 
hai biến ngẫu nhiên, nhưng độ lớn của XYs không cho ta biết về mức độ quan hệ của hai biến 
ngẫu nhiên, bởi vì XYs còn phụ thuộc vào đơn vị đo của X và Y. Có một phiên bản của 
covariance mà không phụ thuộc vào đơn vị đo và được sử dụng rộng rãi trong thống kê đó là hệ 
số tương quan. ■ 
 Định nghĩa 3.12 
Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với covariance XYs và các độ lệch chuẩn tương ứng là Xs và 
Ys ( Xs ; Ys > 0). Hệ số tương quan của X và Y là một con số được ký hiệu bởi XYr , xác định 
như sau 
.XYXY
X Y
s
r
s s
= 
Dễ thấy rằng XYr không phụ thuộc vào đơn vị đo của X và Y. Hệ số tương quan thoả mãn bất 
đẳng thức 1 1XYr- £ £ . Khi XYs = 0 thì suy ra ngay rằng XYr = 0. Có sự phụ thuộc hàm tuyến 
tính, tức là 
Y ≡ a + bX, khi XYr = 1 nếu b > 0 và khi XYr = -1 nếu b < 0. Hệ số tương quan là đối tượng 
được tìm hiểu kĩ hơn trong Chương 11, ở đó ta đề cập đến hồi qui tuyến tính. 
3.2C Tính chất của phương sai 
Định lí 3.13 
Nếu a và b là các hằng số, thì 
2 2 2 2 2.aX+b Xa as s s= = 
Hệ quả 1 
Cho a = 1, ta được 
2 2 2.X b Xs s s+ = = 
Hệ quả 2 
Cho b = 0, ta được 
2 2 2 2 2
aX Xa as s s= = 
 Hệ quả 1 cho thấy rằng phương sai của biến ngẫu nhiên không bị thay đổi khi cộng biến 
ngẫu nhiên đó với một hằng số. Cộng hoặc trừ với một hằng số chẳng qua là sự dịch chuyển các 
giá trị của biến ngẫu nhiên sang phải hoặc sang trái do vậy nên không làm thay đổi sự phân tán 
các giá trị của biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, một biến ngẫu nhiên được nhân hoặc chia cho một 
hằng số, thì Hệ quả 2 khẳng định rằng phương sai của biến ngẫu nhiên phải được nhân hoặc chia 
cho bình phương của hằng số đó. 
Định lí 3.14 
Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f(x,y), thì 
2 2 2 2 2 2aX bY X Y XYa b abs s s s+ = + + 
Hệ quả 1 
 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì 
2 2 2 2 2.aX bY X Ya bs s s+ = + 
Hệ quả 1 nhận được từ 
 ( ) 0XY X YE XYs m m= - = 
vì E(XY) = E(X)E(Y) với X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. 
Hệ quả 2 
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì 
2 2 2 2 2.aX bY X Ya bs s s- = + 
Hệ quả 2 nhận được từ Hệ quả 1 bằng cách thay b bởi –b. Khái quát hoá cho tổ hợp tuyến tính 
của n biến ngẫu nhiên độc lập, ta được 
Hệ quả 3 
Nếu 1 2, ,..., nX X X là các biến ngẫu nhiên độc lập, thì 
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 .n n na X a X a X X X n Xa a as s s s+ + = + + +L L 
Ví dụ 3.19 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, có các phương sai tương ứng là 
2 22, 4X Ys s= = và covariance 2XYs = - , hãy tìm phương sai của biến ngẫu nhiên 
3 4 8Z X Y= - + . 
Giải Ta được 
2 2
3 4 8
2
3 4
2 29 16 24
(9)(2) (16)(4) (24)( 2)
130.
Z X Y
X Y
X Y XY
s s
s
s s s
- +
-
=
=
= + -
= + - -
=
Ví dụ 3.20 Gọi X và Y là lượng hai loại tạp chất trong một lô của một loại sản phẩm hoá học nào 
đó. Giả sử rằng X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với các phương sai lần lượt là 
2 22, 3X Ys s= = 
Hãy tìm phương sai của biến ngẫu nhiên 
 3 2 5Z X Y= - + 
Giải Ta được 
2 2 2
3 2 5 3 2
2 29 4 (9)(2) (4)(3)
30.
Z X Y X Y
X Y
s s s
s s
- + -= =
= + = +
= 
ĐIỂM LẠI NỘI DUNG LÝ THUYẾT TÍN CHỈ I 
I. Biến cố và xác suất của biến cố: 
1. Phép thử và không gian mẫu 
2. Biến cố và các phép toán biến cố 
3. Định nghĩa xác suất của một biến cố 
4. Quy tắc cộng xác suất 
5. Xác suất điều kiện 
6. Quy tắc nhân xác suất 
 7. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. 
II. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất: 
1. Khái niệm biến ngẫu nhiên một chiều 
2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên một chiều 
3*. Hàm của một biến ngẫu nhiên một chiều 
4. Biến ngẫu nhiên hai chiều và phân phối xác suất 
5. Phân phối biên duyên 
6. Phân phối xác suất có điều kiện 
7. Độc lập thống kê 
8*. Hàm của biến ngẫu nhiên hai chiều và hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều. 
III. Kỳ vọng toán học: 
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều và tính chất 
2. Phương sai, Covariance và hệ số tương quan. 
Các ý chính của bài giảng tuần 6 
· Covariance, hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên 
· Tính chất của phương sai 
· Ôn tập tín chỉ 1. 
Bài tập tuần 6 
Bài tập: 4.2 Phương sai và Covariance 
6.1 (8.t126) (ĐS (a) −2,6 (b) 9,6) 6.2 (12.t126) 
6.3 (19.t127) (ĐS: (a) 7 (b) 0 (c) 12,25 6.4 (21.t127) (ĐS: 1) 
Các bài toán ôn tập chương IV 
6.5 (4.t128) (a) 5 (b) 5 (c) 105 6.6 (7.t128) 6.7 (13.t129) (ĐS: (a) 
1/36 (b) 0,75)