Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 10 - Nguyễn Văn Đắc

NGUYỄN VĂN ĐẮC 
BÀI GIẢNG TOÁN 5 
TUẦN 10 
6.4 Ước lượng khoảng(tiếp) 
6.4.1 Ước lượng khoảng cho một giá trị trung bình 
6.4.2 Ước lượng khoảng cho hiệu hai giá trị trung bình 
6.4.3 Ước lượng khoảng cho một tỷ lệ 
Đặt vấn đề Xét một tổng thể với p là tỉ lệ cá thể mang dấu hiệu A. Ta chưa biết p. 
+ Hãy tìm ước lượng không chệch cho p. 
+ Xây dựng khoảng tin cậy (1- α)100% cho p. 
Giải quyết vấn đề 
· Lấy ngẫu nhiên một cá thể từ tổng thể. Đặt X là số cá thể mang dấu hiệu A thu được. 
Theo giả thiết, ta có X là một biến ngẫu nhiên nhị thức với n = 1 và E(X) = p, = . 
Như vậy, nếu X1, X2, , Xn là một mẫu ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với X , thì tổng 
X1 + X2 +L +Xn 
 là số phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu nên : = 
n
XXXX nL++= 21 
là tỷ lệ cá thể trong mẫu mang dấu hiệu A. Do đó là ước lượng không chệch cho p. 
· Theo định lý giới hạn trung tâm, khi n đủ lớn thì có phân phối tiệm cận chuẩn với kỳ 
vọng và phương sai lần lượt là 
E( ) = p, = 
Do vậy, với cho trước thì từ − / < − / < / = 1 − 
ta xác định được / . 
Cũng từ đó ta được − / < < + / = 1 − . 
Vì − / , + / vẫn còn phụ thuộc vào số chưa biết p nên chưa thể đưa ra 
khoảng tin cậy (1- α)100% cho p. Khi n đủ lớn thì sự sai khác giữa giá trị p và ̂ là không quá 
lớn do đó thay p bởi ̂ ta thu được − / ̂ < < + / ̂ ≈ 1 − . 
Với mẫu đủ lớn, ta tính được tỷ lệ mẫu ̂ và từ đó thu được khoảng tin cậy (1- α)100% cho p như 
sau. 
Khoảng tin cậy cỡ mẫu lớn cho p 
Nếu tỷ lệ mẫu cỡ n là ̂ và = 1 − ̂, thì khoảng tin cậy xấp xỉ (1- α)100% cho p là ̂ − / < < ̂ + / , 
trong đó / được xác định bởi > / = /2. 
Nói chung thì khi n nhỏ thì không nên dùng công thức trên. Người ta chỉ ra rằng cả n ̂ và n 
đều lớn hơn hoặc bằng 5 thì công thức trên cho kết quả tốt. 
Ví dụ 6.8 Điều tra ngẫu nhiên 500 gia đình có tivi ở thành phố Hamilton, Canada, thấy rằng có 
340 gia đình thuê bao chương trình HBO. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ gia đình thuê 
bao chương trình HBO trong số những gia đình có tivi trong thành phố này. 
Giải 
 Đặt p là tỷ lệ cần ước lượng. 
+ Ước lượng điểm cho p là ̂ = 340/500 = 0.68; 
+Sử dụng bảng A.3, tìm được = 1.96; 
+ Khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho p là 
 0.68 − 1.96 (0.68)(0.32)500 < < 0.68 + 1.96 (0.68)(0.32)500 
Thu gọn ta được 0.64 < p < 0.72. 
Tương tự như phần ước lượng cho μ, ta cũng thấy rằng − / ̂ < < + / ̂ ≈ 1 − . 
tương đương với | − | < / ̂ ≈ 1 − . 
Ta có thể hình dung qua hình vẽ dưới đây: 
Như vậy, ta có 
Định lý 6.5 
Nếu dùng ̂ để làm ước lượng điểm cho p, thì với độ tin cậy (1 – α)100% ta có thể khẳng định 
rằng sai số của ước lượng không vượt quá / . 
Một vấn đề tiếp theo được đặt ra là: Khi độ tin cậy là (1 – α)100% , muốn sai số của ước lượng ̂ 
cho p không vượt quá một số cho trước thì ta phải có cỡ mẫu là bao nhiêu? Để trả lời, ta chỉ 
việc giải / ̂ = 
để tìm n. Do n là số nguyên nên tìm n từ đẳng thức trên phải theo nguyên tắc làm tròn đến số 
nguyên kế tiếp nếu = / chưa phải là số nguyên. Ta được 
Định lý 6.6 
Nếu ̂ được dùng làm ước lượng điểm cho p, thì với độ tin cậy (1- a )100% ta có thể khẳng định 
rằng sai số sẽ nhỏ hơn khi kích thước mẫu được tìm từ đẳng thức = / ̂ . 
Ví dụ 6.9 Tiếp theo Ví dụ 6.8 , với độ tin cậy 95% 
+ Sai số khi dùng ̂ làm ước lượng điểm cho p bé hơn bao nhiêu? 
+ Muốn sai số không vượt quá 0.02, thì cỡ mẫu phải là bao nhiêu? 
Giải 
+ Sai số khi dùng ̂ làm ước lượng điểm cho p , nhỏ hơn 1.96 ( . )( . ) = 0.04 
+ Muốn sai số không vượt quá 0.02, thì cỡ mẫu phải là = / ̂ = 1.96 (0.68)(0.32)0.02 , suy ra = 2090. 
Như vậy với độ tin cậy 95% thì muốn có sai số của ước lượng cho p bởi ̂, ta phải có cỡ mẫu tối 
thiểu là 2090. 
 Trong định lý trên, ta dùng đến một mẫu cho trước rồi tính ̂ để làm ước lượng điểm cho p dựa 
vào đó tìm được n. Tuy nhiên ta có thể đưa ra cỡ mẫu phải có để sai số giữa ̂ và p không vượt 
quá mà không cần đến ̂ . Thật vậy, − / < < + / = 1 − 
tương đương 
 | − | < / = 1 − 
theo bất đẳng thức Cô-si, ta có / ≤ / √ = / √ . Nên 
Định lý 6.7 
 Khi ̂ được dùng làm ước lượng điểm cho p ta có thể khẳng định rằng, với độ tin cậy 
ít nhất là (1- a )100%: 
* Sai số của ước lượng không vượt quá / √ . 
* Muốn sai số của ước lượng không quá cho trước ta phải có cỡ mẫu xác định bởi = / 4 . 
Điều đáng chú ý là các khẳng định trên không cần dựa vào một mẫu cho trước nào. 
Số n tìm được theo Định lý 6.7 nói chung là lớn hơn so với số n tìm được theo Định lý 6.6. 
Ví dụ 6.10 
Một nhà nông học muốn ước lượng tỷ lệ nảy mầm của một loại hạt giống với độ tin cậy 90% và 
sai số không vượt quá 0.02. Cần phải lấy mẫu với kích thước bao nhiêu? 
Giải 
Cách thứ nhất: Nhà nông học phải lấy một mẫu và tính tỷ lệ mẫu, giả sử một mẫu với kích thước 
n =1000 và thấy có 640 hạt nảy mầm. Ta được ̂ = 0.64. = 0.1 = / ̂ = 1.64 (0.64)(0.36)0.02 = 1549.2. 
Từ đó cỡ mẫu phải lấy là n = 1550. 
Cách thứ hai: = / = ( . ) ( . ) = 1681. Suy ra n = 1681. 
Người ta thấy rằng, khi p gần 0.5 thì hai cách trên cho kết quả không khác xa nhau lắm, còn khi 
p khá bé hoặc khá lớn thì nên sử dụng theo cách thứ nhất. 
6.4.4 Ước lượng khoảng cho hiệu của hai tỷ lệ 
Đặt vấn đề Xét hai tổng thể Ω1 và Ω2, mỗi phần tử trong tổng thể đều có thể mang dấu hiệu A. 
Đặt p1, p2 lần lượt là tỷ lệ cá thể mang dấu hiệu A trong hai tổng thể Ω1 và Ω2. Hãy tìm khoảng 
tin cậy (1- a )100% cho hiệu p1 - p2. 
Giải quyết vấn đề trên, người ta thu được kết quả sau 
Khoảng tin cậy cho hiệu hai tỷ lệ 
Nếu ̂ , ̂ là hai tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên cỡ n1, n2 lần lượt được lấy từ tổng thể Ω1 và Ω2, đặt = 1− ̂ = 1 − ̂ , thì khoảng tin cậy (1- a )100% cho hiệu p1 - p2 là ( ̂ − ̂ ) − / ̂ + ̂ < − < ( ̂ − ̂ ) + / ̂ + ̂ 
trong đó / được xác định bởi > / = /2. 
Ví dụ 6.11 
Người ta đang quan tâm đến hiệu quả một cải tiến trong quá trình sản xuất của một dây chuyền, 
để làm điều này thì phải so sánh tỷ lệ phế phẩm trước và sau cải tiến. 1500 sản phẩm được sản 
xuất trước khi cải tiến người ta thấy có 75 phế phẩm, sau khi cải tiến và sản xuất thử 2000 sản 
phẩm người ta đếm được 80 phế phẩm. Tìm khoảng tin cậy 90% cho hiệu tỷ lệ phế phẩm trước 
và sau cải tiến, từ đó cho biết việc cải tiến có đem lại chất lượng tốt hơn cho dây chuyền sản xuất 
không? 
Giải 
Đặt p1, p2 là tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền sản xuất đang xét, trước và sau khi cải tiến. 
+ Ước lượng điểm cho p1 – p2 là ̂ − ̂ = 0.05 − 0.04 = 0.01. 
+ Sử dụng Bảng A.3, tra được / = 1.645. 
+ Khoảng tin cậy 90% cho p1 – p2 là 0.01 − 1.645 (0.05)(0.95)1500 + (0.04)(0.96)2000 < − 
< 0.01 + 1.645 (0.05)(0.95)1500 + (0.04)(0.96)2000 
Thu gọn, ta được −0.0017 < − < 0.0217. 
Do khoảng tin cậy có chứa số 0, nên không có cơ sở cho rằng việc cải tiến đã hạ được tỷ lệ phế 
phẩm. 
6.4.5 Ước lượng khoảng cho phương sai của một tổng thể phân phối chuẩn 
Đặt vấn đề Một tổng thể có phân phối chuẩn, với phương sai chưa biết. Hãy xây dựng 
khoảng tin cậy (1- a )100% cho . 
Giải quyết vấn đề 
+ Ta đã biết S2 là ước lượng không chệch cho và = ( ) là biến ngẫu nhiên có phân 
phối Khi-bình phương với n -1 bậc tự do. 
+ Dựa vào , ta xây dựng khoảng tin cậy (1- a )100% cho . 
Thật vậy, với a cho trước ta tìm được hai số / , / sao cho / < < / = 1 − , 
 bằng cách tra Bảng A.5. 
Thay = ( ) vào ta được ( ) / < < ( ) / = 1 − . 
Như vậy, có thể phát biểu như sau 
Khoảng tin cậy cho 
Nếu s2 là phương sai của một mẫu ngẫu nhiên cỡ n được lấy từ một tổng thể có phân phối chuẩn, 
thì khoảng tin cậy (1- a )100% cho là ( − 1) / < < ( − 1) / 
trong đó / , / được xác định từ bất đẳng thức > / = 1 − /2, > / = /2 và được tìm bằng cách tra bảng A.5 với số bậc tự do là n - 1. 
Lấy căn bậc hai các vế, ta được khoảng tin cậy cho . 
Ví dụ 6.12 
Một công ty phân phối một loại hạt giống, công ty cho cân thử 10 bao và thu được khôi lượng 
của các bao như sau( đơn vị là decagrams) 
46.4 46.1 45.8 47.0 46.1 45.9 45.8 46.9 45.2 vµ 46.0 
Tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai của khối lượng các bao hạt giống của công ty, biết rằng 
khối lượng bao hạt giống là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. 
Giải 
+Trước hết, ta có 
.286.0
)1(
2
11
2
2 =
-
÷
ø
ö
ç
è
æ-
=
åå
==
nn
xxn
s
n
i
i
n
i
i
+ Do = 0.05 và n =10, nên tra bảng A.5 với số bậc tự do là 9 thì thu được . = 19.023, . = 2.700. 
+ Như vậy, khoảng tin cậy 95% cho là (9)(0.286)19.023 < < (9)(0.268)2.700 
Thu gọn là 0.135 < < 0.953. 
ĐIỂM LẠI NỘI DUNG LÝ THUYẾT TÍN CHỈ 2 
IV. Một số dạng phân phối xác suất thường gặp 
Một số dạng phân phối rời rạc thường gặp: 
+Phân phối đều. 
+Phân phối nhị thức và đa thức. 
+Phân phối siêu bội. 
+Phân phối nhị thức âm. 
+Phân phối Poisson. 
Một số dạng phân phối xác suất liên tục thường gặp 
+Phân phối đều. 
+Phân phối chuẩn. 
+Phân phối mũ và phân phối Gamma. 
+ Phân phối Khi- bình phương. 
V. Mẫu, thống kê và phân phối xác suất của một vài thống kê quan trọng 
+ Mẫu ngẫu nhiên. 
+Thống kê và một số thống kê quan trọng. 
+Phân phối xác suất của một số thống kê quan trọng. 
VI. Các bài toán ước lượng một mẫu và hai mẫu 
+Ước lượng điểm. 
+Ước lượng khoảng cho một kỳ vọng. 
+Ước lượng khoảng cho hiệu hai kỳ vọng. 
+Ước lượng khoảng cho một tỷ lệ. 
+Ước lượng khoảng cho hiệu hai tỷ lệ. 
+Ước lượng khoảng cho một phương sai của biến ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn. 
· Chú ý: Nội dung thi tín chỉ 2 có phần covariance, hệ số tương quan và ý nghĩa của nó. 
Các ý chính của Bài giảng tuần 10 
1. Ước lượng khoảng cho một tỷ lệ, hai tỷ lệ. 
2. Ước lượng khoảng cho phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. 
3. Điểm lại nội dung tín chỉ 2.