Bài giảng Toán 1 - Chương 3: Phép tính vi phân hàm một biến - Nguyễn Anh Thi

Bài giảng Toán 1
Giảng viên
Nguyễn Anh Thi
2016
Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT
BIẾN
Đạo hàm
Định nghĩa
Cho f : (a, b)→ R và x0 ∈ (a, b), nếu giới hạn lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h tồn
tại, ta nói f khả vi tại x0, và giá trị của giới hạn này được gọi là đạo
hàm của f tại x0. Ký hiệu f′(x0).
I f′+(x0) = limh→0+
f(x0+h)−f(x0)
h được gọi là đạo hàm phải của f tại
x0.
I f′−(x0) = limh→0−
f(x0+h)−f(x0)
h được gọi là đạo hàm trái của f tại
x0.
I Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f′ là một hàm số
I Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo
hàm cấp hai tại x0. Ký hiệu: f′′(x0) = (f′)′(x0).
I Nếu f có đạo hàm cấp n là f(n) thì đạo hàm cấp n + 1 được
định nghĩa là: f(n+1)(x) = (f(n))′(x).
I Các đạo hàm của y = f(x) còn được ký hiệu:
f′(x) = dfdx(x) =
dy
dx , f”(x) =
d2f
dx2 (x) =
d2y
dx2 , . . .
Mệnh đề
Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x.
Tính chất
Nếu f, g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì:
1. (f + g)′(x) = f′(x) + g′(x)
2. (αf)′(x) = αf′(x), với α ∈ R.
3. (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x).
4. ( fg)
′(x) = f
′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
5. (g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f′(x)
Đạo hàm các hàm sơ cấp
f(x) f′(x) f(x) f′(x)
ex ex ln x 1x
ax axlna loga x 1x ln a
xα αxα−1
sin x cos x tan x 1cos2 x = 1 + tan
2 x
cos x − sin x cot x −1sin2 x = −(1 + cot
2 x)
arcsin x 1√
1−x2
arccos x −1√
1−x2
arctan x 11+x2
Ví dụ
Tính f′(x):
1. f(x) = cos x2+sin x
2. f(x) = arctan(1x )
Vi phân
Nếu f khả vi tại x0, thì ta có
f′(x) = lim
s→x
f(s)− f(x)
s− x
Đặt (s− x) = f(s)−f(x)s−x − f′(x). Khi đó
f(s)− f(x) = f′(x)(s− x) + (s− x)(s− x)
và (s− x)→ 0 khi s → x.
Giá trị s− x được gọi là số gia của x, ký hiệu ∆x, và f(s)− f(x) gọi
là số gia của y = f(x), ký hiệu ∆y, khi ∆x đủ nhỏ, ta có
∆y ≈ f′(x).∆x
∆y được gọi là vi phân của hàm y = f(x) tại x, ký hiệu dy (hay df).
Ta có đẳng thức xác định vi phân của y = f(x) tại điểm x,
dy = f′(x)dx.
Ví dụ
1. Tìm df, biết f(x) = e
√
x.
2. Cho f(x) = cos(x + sin x). Tính df(0).
Định nghĩa
Vi phân cấp 2 của hàm f là: d2f = f”(x)dx2. Tương tự, vi phân cấp
n của f là: dnf = f(n)(x)dxn
Ví dụ
1. Tìm d2y, biết y = arcsin x.
2. Cho y =
√
2x + 1. Tính dny và dny(0).
Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính)
Khi f khả vi tại x0 thì:
f(x0 +∆x)− f(x0) = f′(x0)∆x +∆x(∆x)
Cho nên ta có thể xấp xỉ:
f(x0 +∆x) ≈ f(x0) + f′(x0)∆x
Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0. Ký hiệu
L = f(x0) + f′(x0)(x− x0).
Ví dụ
Tính gần đúng sin 46◦.
Giải: đặt f(x) = sin x, f′(x) = cos x, x0 = 45◦ = pi4 , và
∆x = 1◦ = pi180 . Ta có
f(x0 +∆x) ≈ f(x0) + f′(x0)∆x
≈ f′(x0)∆x + f(x0)
≈ cos pi4 .
pi
180 + sin
pi
4 .
≈ 0.7071.0.0175 + 0.7071
≈ 0.7194
Ví dụ
Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau:
1. 3
√
28
2. tan 44◦
3. arctan 0.97
Quy tắc L'hospital
Định lý
Cho f và g là hai hàm khả vi và g′(x) 6= 0 trên một khoảng mở
chứa a. Nếu
1. lim
x→a f(x) = limx→a g(x) = 0, hoặc
2. lim
x→a f(x) = limx→a g(x) = ±∞.
Khi đó lim
x→a
f(x)
g(x) = limx→a
f′(x)
g′(x) , (nếu giới hạn bên phải tồn tại).
Ví dụ
1. lim
x→1
ln x
1−x .
2. lim
x→+∞
ex
x2 .
3. lim
x→pi−
sin x
1−cos x .
Định lý giá trị trung bình
Định nghĩa
Ta nói f đạt cực đại địa phương tại c nếu f(c) ≥ f(x) với mọi x nằm
trong lân cận của c, f cực tiểu địa phương tại c nếu f(c) ≤ f(x) với
mọi x nằm trong lân cận của c.
Định lý (Fermat)
Nếu f đạt cực trị tại c, và nếu f′(c) tồn tại thì f′(c) = 0.
Định lý (Rolle)
Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó nếu
f(a) = f(b) thì sẽ có c ∈ [a, b] sao cho: f′(c) = 0.
Ta có định lý giá trị trung bình
Định lý (Lagrange)
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng
(a, b). Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f′(c) = f(b)−f(a)b−a .
Đơn điệu và cực trị
Mệnh đề
1. Nếu f′ > 0 trên đoạn [a, b] thì f tăng trên đoạn [a, b].
2. Nếu f′ < 0 trên đoạn [a, b] thì f giảm trên đoạn [a, b].
3. Nếu f′ = 0 trên đoạn [a, b] thì f là hằng số trên đoạn [a, b].
Mệnh đề
Nếu f′(c) = 0, ta có:
1. Nếu f′ đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực đại (địa
phương) tại c.
2. Nếu f′ đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực tiểu (địa
phương) tại c.
3. Nếu f′ không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị tại c.
Ngoài ra ta có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2.
Mệnh đề
1. Nếu f′(c) = 0 và f”(c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c.
2. Nếu f′(c) = 0 và f”(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c.
Ví dụ
Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), nhỏ nhất (GTNN)
của hàm số trên đoạn [a, b]
Bước 1: Tìm cực trị địa phương trong khoảng [a, b].
Bước 2: Tính các giá trị biên f(a) và f(b).
Bước 3: So sánh các giá trị tính được trong bước 1 và bước 2 để
tìm GTLN, và GTNN.
Ví dụ
Tìm GTLN và GTNN của f(x) = x3 − 32x2 − 6x trên [−2, 4].
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. y = x + cos x trong đoạn [−1, 1];
2. y = ex − e−x trong đoạn [−2, 4];
3. y = ln x− x2 trong đoạn [e, e2];
4. y =
√
x2 + 1− 2x trong đoạn [0, 1].
Khai triển Taylor
Cho f : (a, b)→ R là hàm số có đạo hàm đến cấp n trên (a, b), ta
có:
f(x) = f(x0) +
f′(x0)
1! (x− x0) +
f”(x0)
2! (x− x0)
2+
· · ·+ f
(n)(x0)
n! (x− x0)
n + Rn(x)
=
n∑
k=0
f(k)(x0)
k! (x− x0)
k + Rn(x)
Trong đó Rn(x) là phần dư trong khai triển trên.
Ví dụ
Tính gần đúng sin 46◦ bằng công thức Taylor với n = 3.
Xét f(x) = sin x, f′(x) = cos x, f′′(x) = − sin x, f′′′(x) = − cos x. Đặt
x = 46◦, x0 = pi4 , x− x0 = 1◦ = pi180 . Ta có
f(x) = f(x0) +
x− x0
1! f
′(x0) +
(x− x0)2
2! f
′′(x0) +
(x− x0)3
3! f
′′′(x0)
' sin pi4 +
pi
180 . cos
pi
4 −
(pi/180)2
2 sin
pi
4 −
(pi/180)3
6 cos
pi
4
' 0.7071 + 0.0175.0.7071− 0.0175
2
2 0.7071−
0.01753
6 .0.7071
' 0.7193
Khai triển Mac Laurin
Khai triển Taylor với x0 = 0 gọi là khai triển Mac Laurin
f(x) =
n∑
k=0
f(k)(0)
k! x
k + Rn(x)
Ví dụ
1. Viết khai triển Taylor tới cấp 3 của f(x) =
√
3x− 2, tại x0 = 2.
2. Viết khai triển Mac Laurin tới cấp 3 của: f(x) = arcsinx
3. Viết khai triển Mac Laurin tới cấp 4 của: f(x) = e−x2
Chú ý: Khai triển Taylor tại x = x0 là khai triển theo lũy thừa của
x− x0.