Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 8: Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Trần Quang Việt

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Lecture-8 
404001 - Tín hiệu và hệ thống
Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier

 Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Chuỗi Fourier lượng giác

 Chuỗi Fourier hàm mũ phức

 ðáp ứng của hệ thống LTIC với tín hiệu tuần hoàn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

 Biểu diễn tín hiệu dựa vào không gian tín hiệu trực giao:
 Tìm cn thỏa ñiều kiện năng lượng sai số  min:
 Sai số:
1
( ) ( ) ( )
N
n n
n
e t f t c x t
=
= −∑
2
1
1 ( ) ( )t
n nt
n
c f t x t dt
E
= ∫
 Năng lượng của thành phần sai số min: 2
1
N
e f n n
n
E E c E
=
= −∑
 Năng lượng của thành phần sai số  0 nếu N  ∞  tập cơ sở
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
N
N N n n
n
f t c x t c x t c x t c x t
=
+ + + =∑≃
 Khi N  ∞, ta có: lưu ý dấu “=” ñúng về mặt năng lượng
1 2
1
( ) ( ); 
n n
n
f t c x t t t t
∞
=
= ≤ ≤∑ Chuỗi Fourier
2
1
*1 ( ) ( )t
n nt
n
c f t x t dt
E
= ∫Thực: Phức:
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Xét tập tín hiệu lượng giác sau:
0 0 0 0 0 0{1, cos( ), cos(2 ),..., cos( ),....; sin( ), sin(2 ),..., sin( ),...}t t n t t t n tω ω ω ω ω ω
 n: số nguyên dương
 T0=2pi/ω0 : chu kỳ của hài cơ bản
 nω0 : thành phần tần số thứ n - hài thứ n
 Trong khoảng thời gian: t1<t<t1+T0
1 0
1
0cos( ) 0
t T
t
n t dtω
+
=∫
1 0
1
0 0sin( )cos( ) 0
t T
t
n t m t dtω ω
+
=∫
1 0
1
0sin( ) 0
t T
t
n t dtω
+
=∫
1 0
1
2
0 0cos ( ) / 2
t T
t
n t dt Tω
+
=∫
1 0
1
2
0 0sin ( ) / 2
t T
t
n t dt Tω
+
=∫
1 0
1
0
t T
t
dt T
+
=∫
 Vậy tập tín hiệu lượng giác trên là tập tín hiệu cơ sở trực giao
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Biểu diễn f(t) trong không gian tín hiệu lượng giác:
0 0 0 1 1 0
1 1
( ) cos( ) sin( ); 
n n
n n
f t a a n t b n t t t t Tω ω
∞ ∞
= =
= + + ≤ ≤ +∑ ∑
1 0
1
1 0
1
0 2
( )
1
t T
t
t T
t
f t dt
a
dt
+
+=
∫
∫
1 0
1
1 0
1
0
2
0
( )cos( )
cos ( )
t T
t
n t T
t
f t n t dt
a
n t dt
ω
ω
+
+=
∫
∫
1 0
1
1 0
1
0
2
0
( )sin( )
sin ( )
t T
t
n t T
t
f t n t dt
b
n t dt
ω
ω
+
+=
∫
∫
1 0
1
0
0
1 ( )t T
t
a f t dt
T
+
= ∫
1 0
1
0
0
2 ( )cos( )t T
n t
a f t n t dt
T
ω
+
= ∫
1 0
1
0
0
2
 ( )sin( )t T
n t
b f t n t dt
T
ω
+
= ∫
⇒
⇒
⇒
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Kết hợp các thành phần sin và cosin ta có dạng rút gọn:
0 0 1 1 0
1
( ) cos( ); 
n n
n
f t C C n t t t t Tω θ
∞
=
= + + ≤ ≤ +∑
0 0C a=
2 2
n n n
C a b= +
1tan n
n
n
b
a
θ −  −=  
 
1 0
1
0
0
1 ( )t T
t
a f t dt
T
+
= ∫
1 0
1
0
0
2 ( )cos( )t T
n t
a f t n t dt
T
ω
+
= ∫
1 0
1
0
0
2
 ( )sin( )t T
n t
b f t n t dt
T
ω
+
= ∫
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Ví dụ:
Tìm chuỗi Fourier của f(t)=e-t/2 trong khoảng 0≤t≤pi
0 02 / 2Tω pi= =
/ 2
0 0
1 0,504ta e dt
pi
pi
−
= =∫
/ 2
20
2 2
cos(2 ) 0,504
1 16
t
n
a e nt dt
n
pi
pi
−
 
= =  + 
∫
/ 2
20
2 8
sin(2 ) 0,504
1 16
t
n
nb e nt dt
n
pi
pi
−
 
= =  + 
∫
( )2
1
2( ) 0.504 1 cos 2 4 .sin2nt ; 0
1 16n
f t nt n t
n
pi
∞
=
 
= + + ≤ ≤ + 
∑
0 0 0,504C a= =
2
20,504
1 16
nC
n
 
=  
+ 
1tan 4
n
nθ −= −
1
2
1
2( ) 0.504 1 cos(2 tan 4 ) ; 0
1 16n
f t nt n t
n
pi
∞
−
=
 
= + − ≤ ≤ 
+ 
∑
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lượng giác:
 Chuỗi Fourier ϕ(t) cho f(t) chỉ ñúng trong khoảng t1≤t≤t1+T0
 Ngoài khoảng t1≤t≤t1+T0? ϕ(t)≠f(t) !!!
0 0
1
( ) cos( ); 
n n
n
t C C n t for all tϕ ω θ
∞
=
= + +∑
0( ) ( ); t T t for all tϕ ϕ⇒ − = ϕ(t) biểu diễn cho tin hiệu tuần hoàn?
 Vậy nếu ϕ(t); t1≤t≤t1+T0 biểu diễn cho f(t); t1≤t≤t1+T0  ϕ(t) biểu diễn
cho tín hiệu tuần hoàn do lập lại phần của f(t); t1≤t≤t1+T0 với chu kỳ T0.
 Ví dụ:
 Kết luận: chuỗi Fourier chỉ biểu diễn cho TH tuần hoàn!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn:
0 0 0
1 1
( ) cos( ) sin( )
n n
n n
f t a a n t b n tω ω
∞ ∞
= =
= + +∑ ∑
0 0
1
( ) cos( )
n n
n
f t C C n tω θ
∞
=
= + +∑
0
0
0
2 ( )cos( )
n T
a f t n t dt
T
ω= ∫
0
0
0
2 ( )sin( )
n T
b f t n t dt
T
ω= ∫
0
0
0
1 ( )
T
a f t dt
T
= ∫ 0 0C a=
2 2
n n n
C a b= +
1tan n
n
n
b
a
θ −  −=  
 
Phương
trình tổng
hợp
Phương
trình
phân
tích
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Ví dụ 1:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 Ví dụ 2:
2 2
0 ( even)
8 / ( even)n
n
C
A n npi

= 

0 ( even)
/ 2 ( 1,5,9,13,..)
/ 2 ( =3,7,11,...)
n
n
n
n
θ pi
pi


= − =


6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác

 ðiều kiện tồn tại chuỗi Fourier:
0
( )
T
f t dt < ∞∫
 Tồn tại {Cn} hữu hạn  năng lượng sai số Ee  0 khi N ∞
 Lưu ý f(t) và ϕ(t) không bằng nhau tại mọi t
 Ví dụ: Hiện tượng Gibbs khi tổng hợp tín hiệu không liên tục
Nếu (Dirichlet condition)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier hàm mũ phức

 Tập tín hiệu hàm mũ phức trực giao:
{ }0 ; 0, 1, 2,....jn te nω = ± ±

 Chuỗi Fourier hàm mũ phức:
0( ) jn tn
n
f t D e ω
∞
=−∞
= ∑
( )0
0
*1 ( ) jn t
n T
n
D f t e dt
E
ω
= ∫
⇒ 0
00
1 ( ) jn tn TD f t e dtT
ω−
= ∫
0 0; 2 /Tω pi=
Phương
trình
phân tích
Phương
trình tổng
hợp
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier hàm mũ phức

 Ví dụ:
( )f t
0 01 2T ω pi= → =
0
0
0 1 / 22 2
1 / 2 0
1 1( )
2 2
jn t j nt j nt
n T
D f t e dt e dt e dtω pi pi− − −
−
= = − +∫ ∫ ∫
1 (2 )
4
j n j n
nD e ej n
pi pi
pi
−⇔ = − −
1 / ( )
0 ( )n
j n n is odd
D
otherwise
pi
⇔ = 

2
1( ) j nt
n
n odd
f t ej n
pi
pi
+∞
= −∞
⇒ = ∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier hàm mũ phức

 Mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hàm mũ phức & chuỗi Fourier 
lượng giác:
0cos( )n nC n tω θ+ ( )0 0( ) ( )2 n nj n t j n tn
C
e e
ω θ ω θ+ − +
= +
nD nD−
0 0
1
( ) cos( )n n
n
f t C C n tω θ
∞
=
= + +∑
( )0 00
1
( ) jn t jn tn n
n
f t D D e D eω ω
∞
−
−
=
= + +∑ 0jn tn
n
D e ω
∞
=−∞
= ∑
Dạng hàm mũ & 
lượng giác là tương
ñương  thường
dùng hàm mũ
0 0
2 2
n nj jn t j jn tn nC Ce e e eθ ω θ ω− −   = +   
   
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier hàm mũ phức
0 0
2
2
n
n
jn
n
jn
n
D C
CD e
CD e
θ
θ−
−
=
=
=
 1,2,3,...n =

 Phổ Fourier:
0 0;D C=
1
2n n n
D D C
−
= = Phổ biên ñộ: (chẵn)
 Phổ pha: (lẻ); ;n n n nD Dθ θ−∠ = ∠ = −

 Mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hàm mũ phức & chuỗi Fourier 
lượng giác:
Lượng giác
Hàm mũ phức
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier hàm mũ phức

 ðịnh lý Parseval :
0 0
1
( ) cos( )n n
n
f t C C n tω θ
∞
=
= + +∑ 2 20
1
1
2f nn
P C C
∞
=
= + ∑
0( ) jn tn
n
f t D e ω
∞
=−∞
= ∑
2 22
0
1
2f n n
n n
P D D D
∞ ∞
=−∞ =
= = +∑ ∑
 Công suất của tín hiệu tuần hoàn bằng tổng công suất của tất cả các hài
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hoàn
0
0
0
2( ) ; jn t
n
n
f t D e
T
ω piω
∞
=−∞
= =∑
( )j t j te H j eω ωω→
input Output
0 0
0( )jn t jn tn n
n n
D e D H jn eω ωω
∞ ∞
=−∞ =−∞
→∑ ∑
Input f(t) Output y(t)
(LTI)
Tuần hoàn
cùng chu kỳ
với f(t)

 ðáp ứng của hệ thống LTIC với tín hiệu tuần hoàn :
Hàm truyền làm:
 Tăng hoặc giảm Bð
 Thay ñổi pha
Hàm truyền
không tạo tần số
mới!!!
Xem HT LTIC như
là bộ lọc (Filter)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hoàn

 Ví dụ :
vi(t)
0( ) ( ) ( )iv t Ri t v t= +
( )i t
( )( ) odv ti t C
dt
=
⇒ 0 0
( )( ) ( )i
dv t
v t RC v t
dt
= +
0
0
( ) 1 1( ) ( )i
dv t
v t v t
dt RC RC
⇒ + =
1
; c RC
ω =
0( ) ( ) ( )c c iD v t v tω ω⇒ + =
( )( ) ( )
c
c
P sH s Q s s
ω
ω
⇒ = =
+
( ) c
c
H j j
ω
ω
ω ω
=
+
2
1( ) j nti
n
n odd
v t ej n
pi
pi
+∞
= −∞
= ∑
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hoàn

 Ví dụ :
/ cω ω
/ cω ω
( )iV jω
( )iV jω∠
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hoàn
/ cω ω
/ cω ω
0 cω ω<<
0 cω ω<
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hoàn
/ cω ω
/ cω ω
0 cω ω=
/ cω ω
/ cω ω
0 cω ω>