Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Lecture 11: Phân tích tín hiệu liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt

 Biến ñổi Laplace

 Tìm biến ñổi Laplace thuận

 Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Biến ñổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng

 Các tính chất của biến ñổi Laplace
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến ñổi Laplace

 Biến ñổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần số  phân tích hệ thống ñơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số.
| ( ) | & | ( ) |f t dt h t dt∞ ∞
−∞ −∞
< ∞ < ∞∫ ∫

 Biến ñổi Fourier là công cụ chủ yếu ñể phân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, )

 Muốn áp dụng biến ñổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT 
với ñáp ứng xung h(t) phải ổn ñịnh.

 ðể phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,) và hệ
thống không ổn ñịnh  dùng biến ñổi Laplace (là dạng tổng quát
của biến ñổi Fourier)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến ñổi Laplace

 Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian  tạo hàm mới φ(t) từ
f(t) sao cho tồn tại biến ñổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R

 Biến ñổi Fourier của φ(t) ñược tính như sau:
( ) [ ( )] ( ) t j tt f t e e dtσ ωω φ ∞ − −
−∞
Φ = = ∫F
( )( ) j tf t e dtσ ω∞ − +
−∞
= ∫
ðặt s=σ+jω: ( ) ( ) stf t e dtω ∞ −
−∞
Φ = ∫

 Tín hiệu f(t) ñược tổng hợp như sau: ( ) ( ). tf t t eσφ=
1 1
2( ) [ ( )]. ( ) .t j t tf t e F s e d eσ ω σpiω ω
∞
−
−∞
 ⇒ = Φ =   ∫F
⇒ 12( ) ( )
j
st
j j
f t F s e dsσpi σ
+ ∞
− ∞
= ∫
( )F s=
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến ñổi Laplace
( ) ( ) tt f t e σφ −=
t
j t
e
ω
t
( )f t
t
t
( )j t
e
σ ω+

 Chọn giá trị của σ: nếu tồn tại σ=σ0 sao cho
φ(t) tồn tại Φ(ω)=F(s), thì với mọi σ≥σ0 ñều
làm tồn tại Φ(ω)=F(s). Lưu ý: s=σ+jω, nên :
Trong mp phức sao cho tần số phức s có
Re{s}≥σ0 gọi là miền hội tụ
(ROC – Region Of Convergence) 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến ñổi Laplace

 Ví dụ: tìm ROC ñể tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
( ) ( ) ( ); 0ata f t e u t a−= > ( ) ( ) ( ); 0atb f t e u t a−= − > ( ) ( ) ( )c f t u t=

 Tóm lại ta có:
( ) ( ) stF s f t e dt∞ −
−∞
= ∫ Biến ñổi Laplace thuận
Biến ñổi Laplace ngược
1
2( ) ( )
c j
st
j
c j
f t F s e dspi
+ ∞
− ∞
= ∫
c ROC∈

 Ký hiệu của biến ñổi Laplace:
( ) ( )]F s f t= L[ -1( ) ( )]f t F s= L [và
Hoặc ñơn giản hơn: ( ) ( )f t F s↔
Two-side
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biến ñổi Laplace
Ta thường quan tâm tới tín hiệu nhân quả & ñây cũng là ứng dụng
thường gặp của biến ñổi Laplace
( ) ( ) stF s f t e dt∞ −
−∞
= ∫ 0( ) ( )
stF s f t e dt
−
∞
−
= ∫⇒ Biến ñổi 1 bên
Giới hạn 0- : bao hàm cả xung ñơn vị tại gốc t=0.
 Biến ñổi Laplace 1 bên chỉ là trường hợp ñặc biệt của bñ 2 bên

 Biến ñổi Laplace một bên:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Biến ñổi Fourier là trường hợp ñặc biệt của biến ñổi Laplace:
( ) ( )
s jF F s ωω ==
Trong ñó: trục ảo jω là miền hội tụ  Thường gọi: ñáp ứng tần số
Im
Re
Im
Re
ω
Bð Laplace của một số tín hiệu thông dụng
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Biến ñổi Laplace của δ(t): ( ) ( )f t tδ=
Vs

 Biến ñổi Laplace của e-atu(t):
Bð Laplace của một số tín hiệu thông dụng
( ) 1tδ ↔ ( ) 1tδ ↔
( ) ( )atf t e u t−=
1( )ate u t
s a
− ↔
+
Vs 1( )ate u t j aω
− ↔
+

 Biến ñổi Laplace của -e-atu(-t):
( ) ( )atf t e u t−= − −
1( )ate u t
s a
−
− − ↔
+
Vs None
( ) 1F s⇒ =
1( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
⇒ = > −
+
1( ) ; : Re{ }F s ROC s a
s a
⇒ = < −
+
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bð Laplace của một số tín hiệu thông dụng

 Biến ñổi Laplace của u(t):
( ) ( )f t u t=
1( )u t
s
↔ Vs 1( ) ( )u t jpiδ ω ω↔ +
Im
Re
Im
Re
ω
1( ) ; : Re{ } 0F s ROC s
s
⇒ = >
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

 Tính chất tuyến tính:
Các tính chất của biến ñổi Laplace
1 1( ) ( )f t F s↔
⇒ 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F s a F s+ ↔ +
2 2( ) ( )f t F s↔

 Dịch chuyển trong miền thời gian:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ 00( ) ( ) stf t t F s e−− ↔
2 2 1: 2 ( ) ( ) ; : Re{ } 1
1 2
t tEx e u t e u t ROC s
s s
− −+ ↔ + > −
+ +
( )3 54 1: ( 3) ( 5)2 s s
tEx rect u t u t e e
s
− −
− 
= − − − ↔ − 
 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến ñổi Laplace

 Dịch chuyển trong miền tần số:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ 0 0( ) ( )s tf t e F s s↔ −
( ) 2 2: cos ( ) sEx bt u t s b↔ + ( ) 2 2cos ( ) ( )
at s a
e bt u t
s a b
−
+
⇒ ↔
+ +

 ðạo hàm trong miền thời gian:
( ) ( )f t F s↔
⇒ 1 2 (1) ( 1)
( ) ( ) (0 ) (0 ) ... (0 )
n
n n n n
n
d f t
s F s s f s f f
dt
− − − − − −↔ − − − −
(1) ( )t sδ⇒ ↔( ) 1tδ ↔ ( ) ( )n nt sδ⇒ ↔
4( )
2
tf t rect − =  
 
2
2
( ) ?d f t
dt
⇒ ↔
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến ñổi Laplace

 Tích phân miền thời gian:
( ) ( )f t F s↔ ⇒
0
( )( )t F sf d
s
τ τ
−
↔∫
0 ( ) ( )( )t
f d F sf d
s s
τ τ
τ τ
−
−∞
−∞
↔ +
∫
∫

 Thay ñổi thang ñộ (co/dãn):
( ) ( )f t F s↔ ⇒ 1( ) ; 0sf at F a
a a
 ↔ > 
 
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chất của biến ñổi Laplace

 Tích chập miền thời gian:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F s f t F s↔ ↔ ⇒ 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s∗ ↔

 Tích chập miền tần số:
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )f t F s f t F s↔ ↔ ⇒ [ ]121 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )jf t f t F s F spi↔ ∗

 ðạo hàm trong miền tần số:
( ) ( )f t F s↔ ⇒ ( )( ) dF stf t
ds
↔−
1( )
1
te u t
s
− ↔
+ ( )2
1( )
1
tte u t
s
−⇒ ↔
+
2 ( ) ?t u t ↔
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace thuận

 Cần nắm vững biến ñổi Laplace của các tín hiệu cơ bản
 u(t); δ(t)
 Hàm mũ
 Hàm ñiều hòa

 Nắm vững các tính chất biến ñổi Laplace  mở rộng!!!!
( )tδ
( )u t
( )ate u t−
cos( ) ( )bt u t
sin( ) ( )bt u t
( )F s( )f t
1
1/ s
1/( )s a+
2 2/( )s s b+
2 2/( )b s b+
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Công thức tính biến ñổi ngược:
( ) ( )c j st
c j
f t F s e ds+ ∞
− ∞
= ∫
 Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!

 Mô tả F(s) về các hàm ñơn giản mà ñã có kết quả trong bảng các cặp
biến ñổi Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!
 Zero của F(s): các giá trị của s ñể F(s)=0 
 Pole của F(s): các giá trị của s ñể F(s)→∞
 Nếu F(s)=P(s)/Q(s)  Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Dùng bảng
Dùng ?
Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Ví dụ:
2
3 2
2 1 1 1
3 2 1 2
s
s s s s s s
−
= − + +
+ + + +
( )2-1 -1 23 2 2 1 1 1 1 ( )3 2 1 2 t t
s
e e u t
s s s s s s
− −
 −  ⇒ = − + + = − + +   + + + +  
L L
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược
start
m<n
m≥n
Polynomical
dividing;
in case m=n
F(s)/s
Expend
the proper.
The result 
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,) 
Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths

 Xét hàm hữu tỷ sau:
1
1 1 0
1
1 1 0
... ( )( )
... ( )
m m
m m
n n
n
b s b s b s b P sF s
s a s a s a Q s
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!!
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược
( ) ( ) / ( )F s P s Q s=
 Xác ñịnh zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau

 Khai triển các hàm proper:
 Giả sử các pole là: s=λ1,λ2,λ3,
 Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
• Các pole không lặp lại:
31 2
1 2 3
( ) ...( ) ( ) ( )
kk kF s
s s sλ λ λ
= + + +
− − −
• Các pole lặp lại, giả sử λ2 lặp lại r lần
1
2 31
01 2 3
( ) ...( ) ( ) ( )
r j
r j
j
k kkF s
s s sλ λ λ
−
−
=
= + + +
− − −
∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Phương pháp hàm tường minh xác ñịnh các hệ số:
• Nhân 2 vế với Q(s); sau ñó cân bằng thu ñược hệ phương trình
theo các hệ số cần tìm
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!
• Giải hệ phương trình tìm các hệ số
2
31 2
3 2
2
3 2 1 2
kk ks
s s s s s s
−
= + +
+ + + +
2
1 2 32 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)s k s s k s s k s s⇒ − = + + + + + +
• ví dụ:
1 2 3
1 2 3
1
1
3 2 0
2 2
k k k
k k k
k
+ + =
+ + =
= −
⇒
1
2
3
1
1
1
k
k
k
= −
=
=
⇒
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Phương Heaviside xác ñịnh các hệ số:
• Các pole không lặp lại: ( ) ( )
ii i s
k s F s λλ == −
• Các pole lặp lại:
0 ( ) ( )
1 ( ) ( ) ; 0
!
i
i
r
i i s
j
r
ij ij s
k s F s
dk s F s jj ds
λ
λ
λ
λ
=
=
= −
 = − ≠ 
3
8 10( ) ( 1)( 2)
sF s
s s
+
=
+ +
• Ví dụ: 201 21 223 2( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
kk k k
s s s s
= + + +
+ + + +
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!!
3
8 10( ) ( 1)( 2)
sF s
s s
+
=
+ +
• Ví dụ: 201 21 223 2( 1) ( 2) ( 2) ( 2)
kk k k
s s s s
= + + +
+ + + +
1 22 220 2k k k+ = ⇒ = −( ); :sF s s → ∞
0 :s = 20 21 221
5
8 4 2 4
k k kk + + + =
( )1 3 1
8 10 2
2
s
sk
s
=−
+
= =
+ ( )20 2
8 10 6
1
s
sk
s
=−
+
= =
+
1 20 22
21
10 8 4
2
k k kk − − −⇒ =
21
10 16 6 8 2
2
k − − +⇒ = = −
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biến ñổi Laplace ngược

 Ví dụ: tìm biến ñổi Laplace ngược của các hàm sau:
2
7 - 6( ) F(s)=
6
s
a
s s− −
2
2
2 5( ) F(s)=
3 2
sb
s s
+
+ +
2
6( 34)( ) F(s)= ( 10 34)
s
c
s s s
+
+ +