Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI trên miền tần số - Đặng Quang Hiếu

2pi
N
kn, X [k] =
∑
r
ck+rN
Tính X [k ]?
(i) Nhân cả hai vế với e−j
2pi
N
mn, tính tổng với n = 0, (N − 1)
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
mn =
N−1∑
n=0
N−1∑
k=0
X [k]ej
2pi
N
(k−m)n
(ii) Đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
mn =
N−1∑
k=0
X [k]
N−1∑
n=0
ej
2pi
N
(k−m)n
(iii) Tính trực giao:
N−1∑
n=0
ej
2pi
N
(k−m)n =
{
N, khi k −m = rN
0, khi k −m 6= rN
=⇒
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
mn = N · X [m]
Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc
X [k] =
1
N
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
kn
X [k] tuần hoàn với chu kỳ N. Ký hiệu: X˜ [k] hoặc X˜ [k]N .
DTFS (chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian) cho dãy tuần hoàn:
x˜ [n]
DTFS←−−−→ X˜ [k]
X˜ [k] =
1
N
N−1∑
n=0
x˜ [n]e−j
2pi
N
kn, x˜ [n] =
N−1∑
k=0
X˜ [k]e j
2pi
N
kn
◮ Nếu cần nhấn mạnh "hệ số", có thể thay X˜ [k] bằng ký hiệu
c˜k .
◮ WN = e
−j 2pi
N → công thức?
◮ Khái niệm biên độ và pha: |X˜ [k]|, arg{X˜ [k]}.
Ví dụ về DTFS
(1) Tìm khai triển Fourier của dãy
x˜ [n] =
∞∑
r=−∞
δ(n − rN) =
{
1, n = rN, ∀r ∈ Z
0, n 6= rN
(2) Cho x˜ [n] là dãy tuần hoàn với chu kỳ N
x˜ [n] =
{
1, ℓN ≤ n ≤ ℓN +M − 1, ∀n ∈ Z,M < N
0, n còn lại
Hãy tìm X˜ [k], |X˜ [k]|, arg{X˜ [k]}.
(3) Dãy x˜ [n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy
tuần hoàn có chu kỳ 2N. Nếu X˜1[k]N = DTFS{x˜ [n]N} và
X˜2[k]2N = DTFS{x˜ [n]2N}. Hãy tính X˜2[k]2N theo X˜1[k]N .
DTFS của dãy xung chữ nhật tuần hoàn N = 100,M = 10
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
k
|X[
k]|
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
−3
−2
−1
0
1
2
3
k
a
rg
{X
[k]
}
Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc
(1) Tuyến tính:
a1x˜1[n]N + a2x˜2[n]N
DTFS←−−−→ a1X˜1[k]N + a2X˜2[k]N
(2) Dịch thời gian
x˜ [n − n0] DTFS←−−−→ e−j
2pi
N
kn0 X˜ [k] := W kn0N X˜ [k]
(3) Dịch tần số
ej
2pi
N
k0nx˜ [n]
DTFS←−−−→ X˜ [k − k0]
Tính chất đối ngẫu
Nếu
x˜ [n]
DTFS←−−−→ X˜ [k]
thì
X˜ [n]
DTFS←−−−→ 1
N
x˜ [−k]
Ví dụ: Cho
X˜ [k] =
∞∑
r=−∞
δ(k − rN)
Hãy tìm x˜ [n]?
Các tính chất đối xứng
(a) x˜∗[n] DTFS←−−−→ X˜ ∗[−k]
(b) x˜ [−n] DTFS←−−−→ X˜ ∗[k]
(c) Re[x˜ [n]] DTFS←−−−→ 12 [X˜ [k] + X˜ ∗[−k]]
(d) 12 [x˜ [n] + x˜
∗[−n]] DTFS←−−−→ Re[X˜ [k]]
(e) Khi x˜ [n] ∈ R
◮ X˜ [k ] = X˜ ∗[−k ]
◮ Re[X˜ [k ]] = Re[X˜ [−k ]]
◮ Im[X˜ [k ]] = −Im[X˜ [−k ]]
◮ |X˜ [k ]| = |X˜ [−k ]|
◮ arg{X˜ [k ]} = − arg{X˜ [−k ]}
Chập tuần hoàn
Cho
x˜1[n]
DTFS←−−−→ X˜1[k]
x˜2[n]
DTFS←−−−→ X˜2[k]
Nếu X˜3[k] = X˜1[k]X˜2[k] thì
x˜3[n] =?
⇒ Khái niệm chập tuần hoàn:
x˜3[n]N =
1
N
x˜1[n](∗˜)N x˜2[n] = 1
N
N−1∑
m=0
x˜1[m]x˜2[n −m]
Chứng minh?
Cách tính chập tuần hoàn
Tìm x˜3(n0) với n0 ∈ [0, (N − 1)]
(1) Lấy đối xứng qua trục tung x˜2[m]→ x˜2[−m]
(2) Dịch theo trục hoành n0 mẫu
(3) Nhân hai dãy v˜n0 [m] = x˜1[m]x˜2[n0−m] trong đoạn [0, (N − 1)]
(4) Tính tổng các phần tử của dãy v˜n0 [m] trong đoạn [0, (N − 1)]
→ x˜3[n0]
(5) Dãy tuần hoàn chu kỳ N: x˜3[n0] = x˜3[n0 + rN], ∀r ∈ Z.
Các tính chất khác
◮ Tích của hai dãy?
◮ Tương quan tuần hoàn của hai dãy?
Tự đọc!
Bài tập
Cho tín hiệu liên tục (tuần hoàn) xc(t) có khai triển Fourier như
sau:
xc(t) =
9∑
k=−9
ake
j2πkt/10−3
trong đó các hệ số ak = 0, ∀|k| > 9. Tín hiệu này được lấy mẫu
với chu kỳ T = 1610
−3 [s] để tạo thành dãy x [n] = xc(nT ).
(a) Dãy x [n] có tuần hoàn không, nếu có thì chu kỳ bao nhiêu?
(b) Hãy tính X˜ [k] theo các hệ số ak .
Outline
Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian
Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu không tuần hoàn
Xét x(t) là tín hiệu liên tục và không tuần hoàn theo thời gian.
Nếu coi x(t) là tuần hoàn với T →∞, ta có cặp biến đổi Fourier:
t Ω
FT
FT−1
x(t)
FT←−→ X (jΩ)
trong đó:
X (jΩ) = FT{x(t)} =
∫ ∞
−∞
x(t)e−jΩtdt
và
x(t) = FT−1{X (jΩ)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
X (jΩ)ejΩtdΩ
Điều kiện tồn tại FT
(i)
∫∞
−∞ |x(t)|dt <∞
(ii) x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong bất cứ khoảng
thời gian hữu hạn nào.
(iii) x(r) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất cứ khoảng
thời gian hữu hạn nào và mỗi điểm gián đoạn đó phải có giá
trị hữu hạn.
Ví dụ: Hãy tìm FT của các tín hiệu sau
(a) Hàm lũy thừa: x(t) = eatu(t)
(b) Xung đơn vị: x(t) = δ(t)
(c) Xung vuông:
x(t) =
{
1, |t| < T0
0, |t| > T0
(d) x(t) = cos(Ω0t)
FT cho tín hiệu tuần hoàn
Xét tín hiệu ở miền tần số X (jΩ) = 2πδ(Ω −Ω0), ta có:
x(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
2πδ(Ω − Ω0)ejΩtdΩ
= ejΩ0t
=⇒ Nếu biết FS của x(t) (tuần hoàn), tìm FT?
Ví dụ: Tìm FT của các tín hiệu sau
(a) x(t) = cos(Ω0t)
(b) x(t) =
∑∞
k=−∞ δ(t − kT )
(c) Xét trong một chu kỳ,
x(t) =
{
1, |t| ≤ T0
0, T0 < |t| < T/2
Các tính chất của biến đổi Fourier
(1) Tuyến tính
a1x1(t) + a2x2(t)
FT←−→ a1X1(jΩ) + a2X2(jΩ)
(2) Dịch thời gian
x(t − t0) FT←−→ e−jΩt0X (jΩ)
(3) Dịch tần số
ejΩ0tx(t)
FT←−→ X (j(Ω− Ω0))
Tính chất đối xứng
x∗(t) FT←−→ X ∗(−jΩ)
◮ Khi x(t) thực / ảo?
◮ Nếu x(t) thực và x(t) = xe(t) + xo(t), hãy tìm FT của xe(t)
và của xo(t)?
Vi phân và tích phân
Vi phân:
d
dt
x(t)
FT←−→ jΩX (jΩ)
Tích phân: ∫ t
−∞
x(τ)dτ
FT←−→ 1
jΩ
X (jΩ) + πX (0)δ(Ω)
Ví dụ: Tìm FT của dãy nhảy đơn vị u(t).
Co dãn trên miền thời gian và tần số
x(at)
FT←−→ 1|a|X (
jΩ
a
)
với a ∈ R, const.
Đối ngẫu
Nếu
x(t)
FT←−→ X (jΩ)
thì
X (jt)
FT←−→ 2πx(−Ω)
Quan hệ Parseval
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt = 1
2π
∫ ∞
−∞
|X (jΩ)|2dΩ
Chập trên miền thời gian
y(t) = x(t) ∗ h(t) FT←−→ Y (jΩ) = X (jΩ)H(jΩ)
◮ H(jΩ) - đáp ứng tần số của hệ thống LTI.
◮ Khi hệ thống LTI không ổn định, có tồn tại H(jΩ) không?
◮ Tự đọc thêm về FT của tích, tương quan chéo giữa hai tín
hiệu.
Đáp ứng tần số của hệ thống LTI
x(t) y(t)
h(t)
◮ Đáp ứng tần số:
H(jΩ) = FT{h(t)} =
∫ ∞
−∞
h(t)e−jΩtdt
◮ Biên độ: |H(jΩ)|
◮ Pha: arg{H(jΩ)}
◮ Đồ thị Bode: 20 log10 |H(jΩ)|
Ví dụ: Hãy tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng sau
H(jΩ) =
{
1, |Ω| ≤ Ωc
0, |Ω| > Ωc
Khái niệm độ rộng băng thông (bandwidth)
Xét hệ thống LTI với đáp ứng tần số H(jΩ)
(i) Độ rộng băng thông tuyệt đối:
◮ B = Ωc (hệ thống thông thấp lý tưởng)
◮ B = ΩH − ΩL (hệ thống thông dải lý tưởng).
(ii) Độ rộng băng thông 3-dB: |H(jΩ)|2 giảm một nửa so với giá
trị lớn nhất.
(iii) Tương tự đối với tín hiệu.
Ω
|H(jΩ)|
Outline
Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian
FT cho tín hiệu rời rạc ko tuần hoàn theo thời gian
Xét dãy x [n] có chiều dài hữu hạn, có thể coi là dãy x˜ [n]N với
N →∞. Dễ dàng tính được
X˜ [k]N =
1
N
X (ejkω0)
trong đó ω0 =
2π
N và
X (ejω) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jωn
X (ejω) - biến đổi Fourier của dãy rời rạc theo thời gian x [n].
◮ Tuần hoàn với chu kỳ 2π
◮ Phổ biên độ: |X (ejω)|, và phổ pha: arg{X (ejω)}.
Cặp biến đổi Fourier
n ω
FT
FT−1
x [n]
FT←−→ X (ejω)
Biến đổi thuận:
x [n]
FT−−→ X (ejω) = FT{x [n]} =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jωn
Biến đổi ngược:
X (ejω)
FT−1−−−−→ x [n] = FT−1{X (ejω)} = 1
2π
∫ π
−π
X (ejω)e jωndω
Ví dụ
1. Tìm X (ejω), |X (ejω)| và arg{X (ejω)} của các dãy sau:
(a) x [n] = δ[n]
(b) x [n] = δ[n − 2]
(c) x [n] = δ[n − 2]− δ[n]
(d) x [n] = rectN [n]
(e) x [n] = (0.5)nu[n]
(f) x [n] = u[n]
Nhận xét?
2. Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số (trong một
chu kỳ) như sau:
Hlp(e
jω) =
{
1, |ω| ≤ ωc
0, ωc < |ω| ≤ π
Hãy tìm đáp ứng xung hlp[n] của bộ lọc này.
Xét các trường hợp bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải lý
tưởng? Nhận xét?
Phổ biên độ và phổ pha của dãy rect10[n]
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
8
10
ω
|X(
jω)
|
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−4
−2
0
2
4
ω
a
rg
{X
(jω
)}
Sự tồn tại của biến đổi Fourier
FT tồn tại khi dãy sau hội tụ:
∞∑
n=−∞
x [n]e−jωn
Điều kiện hội tụ trên miền n:
∞∑
n=−∞
|x [n]| <∞
Xét trên quan điểm hệ thống? Hệ thống LTI tồn tại đáp ứng tần
số khi hệ thống đó ổn định
Khi x [n] tuần hoàn?
ejω0n
FT←−→ 2π
∞∑
ℓ=−∞
δ(ω − ω0 − 2πℓ)
Nếu x˜ [n]N có khai triển Fourier (DTFS):
x˜ [n] =
N−1∑
k=0
X˜ [k]e j
2pi
N
kn
thì có biến đổi Fourier (FT) như sau:
X (ejω) = 2π
∞∑
k=−∞
X˜ [k]δ(ω − k 2π
N
)
Các tính chất của FT
◮ Tuyến tính: FT{a1x1[n] + a2x2[n]} = a1X1(ejω) + a2X2(ejω)
◮ Trễ thời gian: FT{x [n − n0]} = e−jωn0X (ejω)
◮ Trễ tần số: FT{ejω0nx [n]} = X (ej(ω−ω0))
◮ Đảo trục thời gian: FT{x [−n]} = X (e−jω)
◮ Đạo hàm trên miền tần số: FT{nx [n]} = j dX (e jω)dω
◮ Chập FT{x1[n] ∗ x2[n]} = X1(ejω)X2(ejω)
◮ Nhân FT{x1[n]x2[n]} = 12π
∫ π
−π X1(e
jθ)X2(e
j(ω−θ))dθ
Các tính chất đối xứng của FT
(a) FT{x∗[n]} = X ∗(e−jω)
(b) FT{x∗[−n]} = X ∗(ejω)
(c) FT{Re[x [n]]} = 12 [X (ejω) + X ∗(e−jω)]
(d) Khi x [n] ∈ R
◮ X (e jω) = X ∗(e−jω)
◮ Re[X (e jω)] = Re[X (e−jω)]
◮ Im[X (e jω)] = −Im[X (e−jω)]
◮ |X (e jω)| = |X (e−jω)|
◮ arg{X (e jω)} = − arg{X (e−jω)}
(e) Khi x [n] ∈ R và x [n] chẵn?
(f) Khi x [n] ∈ R và x [n] lẻ?
Các tính chất khác
◮ Quan hệ Parseval:
∞∑
n=−∞
|x [n]|2 = 1
2π
∫ π
−π
|X (ejω)|2dω
◮ Tương quan:
FT{rx1x2[n]} = SX1X2(ejω) = X1(ejω)X2(e−jω)
◮ Định lý Wiener - Khintchine: Nếu x [n] ∈ R thì
FT{rxx [n]} = SXX (ejω) = |X (ejω)|2
trong đó SXX (e
jω) gọi là phổ mật độ năng lượng (energy
density spectrum) của tín hiệu x [n].
◮ Điều chế (modulation):
FT{x [n] cos(ω0n)} =?
Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Xét hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến
tính hệ số hằng:
N−1∑
k=0
aky [n − k] =
M−1∑
r=0
arx [n − r ]
Biến đổi Fourier cả hai vế và áp dụng tính chất dịch
N−1∑
k=0
ake
−jkωY (ejω) =
M−1∑
r=0
bre
−jrωX (ejω)
Ta có đáp ứng tần số của hệ thống:
H(ejω) =
Y (ejω)
X (ejω)
=
∑M−1
r=0 bre
−jrω∑N−1
k=0 ake
−jkω
Bài tập Matlab
1. Viết chương trình Matlab để tính biến đổi Fourier cho một
dãy có chiều dài hữu hạn.
2. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của các dãy đã cho trong ví dụ.
3. Dùng hàm freqz và freqs trong Matlab để vẽ đáp ứng tần
số của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân / vi
phân tuyến tính hệ số hằng.