Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 9: Tín hiệu và hệ thống không liên tục theo thời gian - Đỗ Tú Anh

 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu 
7.4 Ví dụ về hệ thống không liên tục 
7.5 Tổng kết 
Dịch thời gian/ Đảo thời gian 
 Dịch thời gian : f[k-m] biểu diễn f[k] bị dịch (thời gian) bởi m 
Nếu m dương , dịch sang phải (trễ) 
Nếu m âm, dịch sang trái (vượt) 
với 
với 
hay 
 Đảo thời gian : thay k bởi -k 
với 
tức là 
17 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
Co giãn thời gian 
18 
 Nén thời gian : Downsampling 
Phép toán này làm mất một phần dữ liệu. Trong trường hợp thời gian liên tục, nên thời gian chỉ đơn giản là làm tăng tốc tín hiệu mà không làm mất dữ liệu 
 Giãn thời gian : 
 Nội suy : Upsampling 
Khi giãn thời gian, các thời điểm lẫy mẫu bị bỏ qua sẽ được khôi phục từ các giá trị mẫu khác không sử dụng công thức nội suy 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
19 
Co giãn thời gian 
 Nội suy : 
 Nén thời gian : 
 Giãn thời gian : 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
20 
20 
20 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
20 
20 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
20 
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống 
7.1 Giới thiệu chung 
7.2 Một số tín hiệu gián đoạn tiêu biểu 
7.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu 
7.4 Ví dụ về hệ thống không liên tục 
7.5 Tổng kết 
Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng 
 Trường hợp này, bản chất của các tín hiệu là gián đoạn theo thời gian 
f[k] = tiền gửi ở thời điểm thứ k 
y[k] = số dư tài khoản ở thời điểm thứ k được tính ngay sau khi nhận được khoản tiền gửi f[k] 
r = lãi suất kỳ hạn T 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
21 
 Số dư y[k] là tổng của (i) số dư trước đó y[k-1], (ii) lãi suất trên y[k-1] trong kỳ hạn T, và (iii) tiền gửi f[k] 
 Tiền gửi f[k] là đầu vào (kích thích) và số dư y[k] là đầu ra (đáp ứng) 
 Để hiện thực hóa hệ thống, ta viết lại thành 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
22 
Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng 
23 
23 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
23 
23 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
23 
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống không liên tục 
7.1 Tín hiệu không liên tục theo thời gian 
7.2 Hệ thống không liên tục 
 7.2.1 Phương trình sai phân 
 7.2.2 Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
 Đáp ứng đầu vào không 
 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 
 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
 Đáp ứg trạng thái không 
 7.2.4 Các tính chất hệ thống không liên tục 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
24 
Phương trình sai phân 
 Có ba cách biểu diễn 
 Tổng quát cho phương trình sai phân cấp n 
Sử dụng toán tử dịch tiến 
Thay k bởi k + n (Sử dụng toán tử dịch lùi ) 
Hệ số của y[k+n] bằng 1 để chuẩn hóa phương trình 
Phương trình sai phân 
Sử dụng các điều kiện đầu 
 y[n], đầu ra tại mẫu thứ k, được tính toán từ 2n + 1 thông tin 
 n giá trị quá khứ của đầu ra: y[k-1], y[k-2], , y[k-2], 
 n giá trị quá khứ của đầu vào: f[k-1], f[k-2], , f[k-n], và 
 giá trị hiện tại của đầu vào f[k] 
 Nếu tín hiệu vào là nhân quả, thì f[-1] = f[-2] =  = f[-n] = 0, và chúng ta chỉ cần n điều kiện đầu y[-1], y[-2], , y[-n] 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
25 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
PT sai phân – Điều kiện đầu 
 Sử dụng các điều kiện đầu 
 Hệ thống đệ quy (Recursive systems): cho phép chúng ta tính toán đầu ra y[0], y[1], y[2], y[3],  bằng cách lặp hoặc truy hồi 
 Ví dụ, để tìm y[0], ta đặt k = 0. 
- Vế trái là y[0], và vế phải chứa các thành phần y[-1], y[-2], , y[-n] và các giá trị đầu vào f[0], f[-1], f[-2], , f[-n]. 
- Nếu biết các điều kiện đầu này, ta có thể dùng phép lặp để tìm đáp ứng y[0], y[1], y[2], y[3],  v.v 
 Hệ thống không đệ quy : là một trường hợp đặc biệt của hệ thống đệ quy với 
26 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
PT sai phân – Điều kiện đầu 
 Giải bằng phương pháp lặp 
Điều kiện đầu y[-1] = 16 và 
Đầu vào nhân quả f[k] = k 2 (bđ tại k = 0) 
 Phương trình này có thể biểu diễn là 
 Nếu đặt k = 0 
 Đặt k = 1 và sử dụng giá trị y[0] = 8 và f[1] = (1) 2 =1, ta có 
 Đặt k = 2 và sử dụng giá trị y[1] = 5 và f[2] = (2) 2 , ta có 
27 
28 
28 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
28 
28 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
28 
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống rời rạc 
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 
7.2 Hệ thống rời rạc 
 7.2.1 Phương trình sai phân 
 7.2.2* Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
 Đáp ứng đầu vào không 
 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 
 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
 Đáp ứg trạng thái không 
 7.2.4 Các tính chất hệ rời rạc 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
29 
Đáp ứng đầu vào không 
 Phương trình đặc tính 
 Nghiệm phân biệt 
 Nghiệm bội r 
 Nghiệm phức (Dạng cực) 
và 
và 
Đọc thêm 
30 
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ 
 Phương trình sai phân 
Điều kiện đầu y[-1] = 0 và y[-2] = 25/4, và đầu vào f [k] = 4 - ku[k] 
Trong ví dụ này ta chỉ xác định thành phần đáp ứng đầu vào không y 0 [k] 
 Phương trình hệ thống biểu diễn dạng toán tử là 
 Đa thức đặc tính là 
 Phương trình đặc tính là 
 Các nghiệm đặc tính là 
 Đáp ứng đầu vào không là 
 Để xác định các hằng số c 1 và c 2 , ta đặt k = -1 và -2, sau đó thay y 0 [-1] = 0 và y 0 [-2] = 25/4 để nhận được 
 Do đó 
và 
Đọc thêm 
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ 
 Trường hợp 2: Nghiệm bội . Ví dụ, cho hệ thống được mô tả bởi phương trình 
 Xác định y 0 [k], đáp ứng đầu vào không với các điều kiện đầu là y 0 [-1] = -1/3 và y 0 [-2] = -2/9 
 Đa thức đặc tính là 
 Các nghiệm bội đặc tính là 
 Đáp ứng đầu vào không là 
 Các chế độ đặc tính là 
và 
 Xác định các hằng số c 1 và c 2 từ các điều kiện đầu 
 Và c 1 = 4 và c 2 = 3 để có 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
31 
Đọc thêm 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
32 
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ 
 Trường hợp 3: Nghiệm phức . 
Với các điều kiện đầu là 
y 0 [-1] = 2 và y 0 [-2] = 1 
 Đa thức đặc tính là 
 Các nghiệm đặc tính là 
hay 
 Do đó 
và 
và đáp ứng đầu vào không là 
 Để xác định các hằng số c và θ , ta đặt k = -1 và -2, sau đó thay y 0 [-1] = 2 và y 0 [-2] = 1 để nhận được 
Đọc thêm 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
33 
Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ 
hay 
 Hai phương trình đồng thời với hai biến là c cos θ và c sin θ 
 Nghiệm của các phương trình này là 
và 
 Chia c sin θ cho c cos θ nhận được 
 Thay θ = -0.17 radian vào c cos θ = 2.308 nhận được c = 2.34 và 
Đọc thêm 
34 
34 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
34 
34 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
34 
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống không liên tục 
7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian 
7.2 Hệ thống rời rạc 
 7.2.1 Phương trình sai phân 
 7.2.2* Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
 Đáp ứng đầu vào không 
 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 
 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
 Đáp ứg trạng thái không 
 7.2.4 Các tính chất hệ rời rạc 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
Xung Kronecker & Đáp ứng xung đơn vị 
 Gọi δ [n] là xung gián đoạn theo thời gian, còn gọi là xung Kronecker 
 Đáp ứng xung h[n]: đáp ứng của hệ LTI rời rạc với xung gián đoạn theo thời gian 
 Một cách dễ hiểu, nó tương ứng với việc đưa vào hệ thống một tác động tức thời tại n = 0 và xem điều gì sẽ xảy ra 
35 
Các xung đơn vị/Dịch thời gian 
 Ý tưởng : sử dụng tập (vô hạn) các xung đơn vị để biểu diễn tín hiệu gian đoạn 
 Xét một tín hiệu gián đoạn x[n] bất kỳ. Nó có thể được viết thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị 
Giá trị thực 
Xung bị dịch 
 Do đó tín hiệu có thể được biểu diễn thành 
 Tổng quát, một tín hiệu gián đoạn bất kỳ có thể mô tả bởi 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
36 
Ví dụ 1: Các xung đơn vị 
 Tín hiệu gián đoạn x[n] 
 Được phân tích thành tổng của các thành phần sau 
37 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
38 
Ví dụ 2: Các loại đáp ứng xung đơn vị 
Đáp ứng xung vô hạn , ổn định , nhân quả 
Đáp ứng xung vô hạn , không ổn định , nhân quả 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
Đáp ứng xung hữu hạn , ổn định , nhân quả 
 Nhìn vào đáp ứng xung, ta có thể xác định được một số tính chất của hệ thống 
39 
39 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
39 
39 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
39 
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống không liên tục 
7.1 Tín hiệu không liên tục theo thời gian 
7.2 Hệ thống không liên tục 
 7.2.1 Phương trình sai phân 
 7.2.2* Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
 Đáp ứng đầu vào không 
 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 
 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
 Đáp ứng trạng thái không 
 7.2.4 Các tính chất hệ không liên tục 
Đáp ứng hệ LTI không liên tục 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
 Đáp ứng xung 
 Đầu vào bất kỳ 
 Đáp ứng với đầu vào bất kỳ 
= tích chập 
40 
41 
Ví dụ 1: Tính tích chập 
 Hãy xác định c[k]=f[k] g[k] với 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
42 
Ví dụ 1: Tính tích chập (tiếp) 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
43 
Ví dụ 2: Đáp ứng hệ LTID 
 Cho hệ LTID với đáp ứng xung đơn vị 
 Tín hiệu vào (dãy vào) 
 Hãy xác định tín hiệu ra (dãy ra) 
 y[n]=x[n] h[n] 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
44 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
Ví dụ 2: Đáp ứng hệ LTID (tiếp) 
 Vẽ x[k] và h[n-k] ứng với một giá trị bất kỳ của n 
 Nhân hai tín hiệu với nhau và cộng lại theo k với mọi k 
 Với n<0, ta thấy x[n]h[n-k]= 0 với mọi k , do những giá trị khác 0 của hai tín hiệu không chồng lên nhau 
45 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
Ví dụ 2: Đáp ứng hệ LTID (tiếp) 
 Trong MATLAB, để tìm kiếm một lệnh, ta có thể gõ 
 Lệnh này sẽ liệt kê tất cả các lệnh liên quan đến thuật ngữ ‘ convolution ’, trong đó có 
 conv() 
 Ví dụ 
 Để biết lệnh này sử dụng như thế nào, gõ 
46 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
Tích chập 
 Tích chập gián đoạn theo thời gian 
 Tích chập liên tục theo thời gian 
 Với mỗi giá trị của n, ta tính toán một tổng mới 
 Với mỗi giá trị của n, ta tính toán một tích phân mới 
Hệ LTI được biểu diễn bởi đáp ứng xung 
Hệ LTI được biểu diễn bởi đáp ứng xung 
47 
47 
47 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
47 
47 
EE3000 -Tín hiệu và hệ thống 
47 
Chương 7: Tín hiệu và hệ thống không liên tục 
7.1 Tín hiệu không liên tục theo thời gian 
7.2 Hệ thống LTI không liên tục 
 7.2.1 Phương trình sai phân 
 7.2.2* Đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: 
 Đáp ứng đầu vào không 
 7.2.3 Đáp ứng xung đơn vị 
 7.1.4 Đáp ứng của hệ với đầu vào bất kỳ: 
 Đáp ứng trạng thái không 
 7.2.4 Các tính chất hệ LTI không liên tục 
Tự học