Bài giảng Phương pháp số - Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến - Phan Thị Hà

ó 
f(x) = f(xn + Δxn) = f(xn) + Δxnf'(xn) +
!2
2
nxΔ f''(c) = 0 
Nếu Δxn đủ nhỏ thì ta có công thức gần đúng: 
f(xn) + Δxnf'(xn) ≈ f(x) = 0 
Từ đây 
Δxn ≈ )('
)(
n
n
xf
xf− 
Vì Δxn = x - xn
Do đó 
 x ≈ xn )('
)(
n
n
xf
xf− 
Và ta suy ra công thức lặp cho phép lặp Newton: 
 xn+1 = xn )('
)(
n
n
xf
xf− (4.25) 
Về ý nghĩa hình học xn+1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm 
(xn,f(xn)) với trục hoành. Do đó phương pháp này còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến. 
 82 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến 
Từ điểm (xn,f(xn)) ta vẽ tiếp tuyến của đồ thị y = f(x). Phương trình đồ thị này là 
y = f(xn) + f'(xn)(x-xn). 
Giả sử đường tiếp tuyến này cắt trục hoành tại xn+1, ta có 
0 = f(xn) + f'(xn)(xn+1-xn) 
Từ đây suy ra 
 xn+1 = xn )('
)(
n
n
xf
xf− 
Công thức này cũng chính là công thức (4.25) ở trên. 
b. Điều kiện hội tụ của phương pháp Newton và đánh giá sai số 
Định lý. Điều kiện đủ để phương pháp tiếp tuyến hội tụ: 
Giả sử những điều kiện sau đây thỏa mãn: 
f(a)f(b) < 0, tức là giá trị hàm f(x) trái dấu tại hai đầu đoạn [a,b]. 
Hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất và bậc 2 f'(x) và f''(x), với f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b], f' 
và f'' không đổi dấu trong (a,b) (tức là hàm f(x) đơn điệu, lồi hoặc lõm trong đoạn [a,b]). 
Xấp xỉ đầu x0 được chọn ∈ [a,b], sao cho f(x0) cùng dấu với f''(x), tức là f(x0)f''(x) > 0 
(hàm lồi thì chọn phía giá trị hàm âm, hàm lõm thì chọn phía giá trị dương). 
Khi đó dãy xn được định nghĩa bởi (4.25) sẽ hội tụ tới α. 
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng. 
Ngoài công thức đanh giá sai số (4.9), nếu thêm điều kiện về f''(x) ta có thể đánh giá sai số 
của nghiệm gần đúng xn thông qua 2 gần đúng liên tiếp xn và xn-1. 
Định lý. 
Giả sử f'(x) liên tục và không đổi dấu trên [a,b] và thỏa mãn: 
∃ m1 , M2 dương sao cho m1 ≤ |f'(x)| ; f''(x) ≤ M2 với ∀ x∈ [a,b] (4.28) 
khi đó ta có 
 |xn - α| ≤ 
1
2
2m
M
|xn - xn-1| 2 (4.29) 
Chứng minh. 
Dùng công thức khai triển Taylor cho f(xn) tại xn-1 ta có 
f(xn) = f(xn-1) + !1
1−− nn xx f'(xn-1) + 
!2
)( 21−− nn xx f''(c) (4.30) 
trong đó c ∈ (xn-1,xn) 
Theo (4.25) 
xn = xn-1 - )('
)(
1−
−
n
n
xf
xf
 83
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến 
Từ đây 
 f(xn-1) + (xn - xn-1)f'(xn-1) = 0 
Thay vào (4.30) ta có 
f(xn) = 
!2
)( 21−− nn xx f''(c) 
Như vậy theo (4.27) và (4.28) 
|xn - α| ≤ 
1
|)(|
m
xf n = 
1
2
1
2
)(
m
xx nn −− f''(c) ≤ 
1
2
2m
M
|xn - xn-1|2 (4.31) 
Là điều cần chứng minh. 
c. Ví dụ về phương pháp Newton 
Tính 2 bằng cách giải phương trình sau: 
 f(x) = x2 - 2 =0 (4.32) 
Giải: 
Ta thấy f(1) = -1, f(2) = 2, như vậy điều kiện 1) thỏa mãn. 
f'(x) = 2x > 2 với mọi x ∈ [1,2] 
f’'(x) = 2 > 1 với mọi x ∈ [1,2] , vậy điều kiện 2) thỏa mãn 
Vì f(2) = 2, nên ta chọn x0 =2, như vậy thì f(2)f’’(x) = 2.2 = 4 >0 và điều kiện 3) thỏa mãn. 
Vậy ta có thể áp dụng phương pháp lặp Newton để tính nghiệm xấp xỉ của phương trình 
(4.32). Ta có bảng sau 
n x0 = 2 
xn+1 = xn - f(x)/f’(xn) 
0 2 
1 1.5 
2 1.417 
3 1.41421 
Ta có thể lấy nghiệm xấp xỉ là 1.41421. Ta biết rằng 2 = 1.414213562, như vậy phương 
pháp lặp Newton hội tụ rất nhanh. 
d. Nhận xét về phương pháp Newton 
Nhờ việc sử dụng đạo hàm của hàm số f(x) nên nói chung phương pháp Newton hội tụ 
nhanh hơn phương pháp chia đôi và phương pháp dây cung. Tuy nhiên việc kiểm tra điều kiện để 
áp dụng phương pháp Newton phức tạp hơn. Những điều kiện để phương pháp Newton hội tụ là 
quan trọng và cần thiết phải kiểm tra khi áp dụng phương pháp này. Ví dụ tương ứng với hình vẽ 
sau đây chỉ ra rằng có trường hợp nếu áp dụng các phương pháp chia đôi hoặc dây cung thì quá 
trình lặp sẽ hội tụ, còn nếu ta áp dụng phương pháp Newton nhưng chọn điểm xuất phát không 
thích hợp thì không đạt được kết quả như mong muốn. 
 84 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến 
e. Chương trình minh họa phương pháp Newton (tiếp tuyến) 
 Sau đây là đoạn chính của chương trình thể hiện (mô tả) phương pháp newton : 
/*Phuong phap tim nghiem bang phuong Newton tren khoang [a,b]*/ 
/*Phuong phap Newton de tim nghiem f(x)=0 trong khoang trai dau [a,b]. 
 Neu co nghiem thi tra ve gia tri true, neu khong thi tra ve gia tri false. 
 x la nghiem, errx, erry sai so tren x va tren y, buoclap la so buoc lap 
 da thuc hien*/ 
int ttuyen(double (*f)(double),double (*f1)(double),double a,double b, 
double &x,double &errx,double &erry,int &buoclap) 
{clrscr(); 
 if(f(a)==0) {x=a;errx=erry=0;buoclap=0;return true;} 
 if(f(b)==0) {x=b;errx=erry=0;buoclap=0;return true;} 
 if(f(a)*f(b)>0) 
 {cout<<endl<<"f(a) va f(b) khong trai dau";delay(1000);return false;} 
 int k=0; 
 kvecto xb;double xp,xn;//previouse x; 
 xb[0]=b; 
 xn=b; 
 while(true) 
 {if(f1(xn)<epsiy1) 
 {cout<<endl<<"Dao ham qua be";delay(1000);return false;} 
 xp=xn; 
 xn = xn-f(xn)/f1(xn); 
 k++; 
 xb[k]=xn; 
 if(fabs(xn-xp)<epsix && fabs(f(xn))<epsiy) break; 
 if(k>kmax) 
 {cout<<endl<<"Lap chua hoi tu sau "<<kmax<<" buoc"; 
 delay(1000);return false; 
 } 
 } 
 errx=fabs(xn-xp);erry=fabs(f(xn));buoclap=k; 
 x=xn; 
} 
 85
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến 
4.3. BÀI TẬP 
Bài 1. Hãy mô tả phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. 
Bài 2. Hãy mô tảp hương pháp dây cung để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. 
Bài 3. Hãy mô tả phương pháp tiếp tuyến để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. 
Bài 4. Hãy mô tả phương pháp lặp đơn để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. 
Bài 5. Giải gần đúng phương trình: 
 x-1/2sinx = 0,25 
 bằng phương pháp lặp với 4 lần lặp. 
Bài 6. Dùng phương pháp chia đôI tính nghiệm gần đúng của phương trình: x3-x-1 qua 4 bước 
lặp. Đánh giá sai số |x 4-α | 
Bài 7. Dùng phương pháp dây cung tính nghiệm gần đúng của phương trình: x3-x-1 qua 4 bước 
lặp. Đánh giá sai số |x4-α | 
Bài 8. Dùng phương pháp chia đôi tính gần đúng 5 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số |x4- 5 | 
Bài 9. Dùng phương pháp lặp hãy tính gần đúng nghiệm dương lớn nhất của phương trình: 
 x3 - x - 1000 =0 
 với sai số tuyệt đối không lớn hơn 10-5. 
Bài 10. Thử lại hoặc viết mới các chương trình cài đặt các thuật toán rồi chạy thử để kiểm tra các 
kết quả trên đây. 
 86 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến 
TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG 4 
Trong chương này chúng ta cần chú ý nhất là các vấn đề sau: 
1. Khoảng phân ly nghiệm 
Định nghĩa. Khoảng [a,b] được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1) nếu 
nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó. 
Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục, đơn điệu trên đoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì đoạn [a,b] là 
một khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1) 
2.Phương pháp chia đôi (bisection): 
- Phương pháp: 
+ Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b] 
+Tính giá trị của nghiệm gần đúng ở bước lặp thứ i trên khoảng phân ly nghiệm [ai,bi ] 
(i=0,1,2...) theo công thức xi= (ai+bi )/2 với a0=a;b0=b. Sau đó là xác định khoảng phân ly mới 
cho nghiệm ở bước mới thứ i+1 là [ai+1,bi+1 ]. Cứ tiếp tục phép lặp như thế cho đến khi nào 
thoả mãn điều kiện dừng của phương pháp. 
- Đánh giá sai số: 
Giả sử ở bước lặp cuối cùng là bước thức n (i=n) ta đã xác định được nghiệm gần đúng 
xn. Khi đó sai số được đánh giá như sau:|xn - α|≤ 12
||
+
−
n
ba . (Trong đó α là nghiệm đúng của 
phương trình (4.1) 
3.Phương pháp dây cung 
- Phương pháp: 
+ Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b] 
+Tính giá trị của nghiệm gần đúng ở bước lặp thứ i trên khoảng phân ly nghiệm [ai,bi ] 
(i=0,1,2...) theo công thức xi= )()(
)()(
i
iiii
afbif
afbbfa
−
−
 với a0=a;b0=b. Sau đó là xác định khoảng 
phân ly mới cho nghiệm ở bước mới thứ i+1 là [ai+1,bi+1 ]. Cứ tiếp tục phép lặp như thế cho 
đến khi nào thoả mãn điều kiện dừng của phương pháp. 
- Đánh giá sai số: 
Giả sử ở bước lặp cuối cùng là bước thức n (i=n) ta đã xác định được nghiệm gần đúng 
xn. Khi đó sai số được đánh giá như sau: |xn - α| ≤ 
1
|)(|
m
xf n . (Trong đó α là nghiệm đúng của 
phương trình (4.1), và 0 < m1 ≤ |f'(x)| với ∀ x∈ [a,b]). Hoặc ta có đánh giá sai số thức 2 
là:|xn - α| ≤ 
1
11
m
mM −
|xn - xn-1|. 
 87
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 4: Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến 
4 Phương pháp lặp đơn 
- Phương pháp: 
 +Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b] của (4.1), phương trình (4.1) chuyển về 
dạng x = ϕ(x), với điều kiện :|ϕ’(x)| ≤q<1 trên (a,b).Tiếp theo ta chọn một giá trị x0 ∈ [a,b] 
làm giá trị xấp xỉ ban đầu rồi tính dần các nghiệm xấp xỉ xi theo quy tắc: 
 xi = ϕ(xi-1), i=1,2,.. cho tới khi nào thảo mãn điều kiện dừng của phương pháp. 
- Đánh giá sai số: 
Giả sử ở bước lặp cuối cùng là bước thức n (i=n) ta đã xác định được nghiệm gần đúng xn. 
Khi đó sai số được đánh giá như sau: |xn - α| ≤ qn | b - a | hoặc |xn - α| ≤ qn 
q−1
1 | x1 - x0| . 
5 Phương pháp tiếp tuyến 
- Phương pháp: 
 + Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b] của phương trình (4.1). 
+Tính giá trị của nghiệm gần đúng ở bước lặp thứ i theo công thức 
xi+1 = xi )('
)(
i
i
xf
xf− . 
Xấp xỉ đầu x0 được chọn ∈ [a,b], sao cho f(x0) cùng dấu với f''(x), tức là f(x0)f''(x) > 0 
(hàm lồi thì chọn phía giá trị hàm âm, hàm lõm thì chọn phía giá trị dương). 
- Đánh giá sai số : 
Giả sử ở bước lặp cuối cùng là bước thức n (i=n) ta đã xác định được nghiệm gần 
đúng xn. Khi đó sai số được đánh giá như sau: |xn - α| ≤ 
1
|)(|
m
xf n hoặc 
|xn - α| ≤ 
1
2
2m
M |xn - xn-1| 2 
 88 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt