Bài giảng môn Xử lý tín hiệu số - Lã Thế Vinh

trên là phép tích chập của 2 tín hiệu liên tục, được định nghĩa như sau:
3.5.7 Vi phân trong miền tần số
	Nếu FT(x(n))=X(ejω) thì 
3.5.8 Quan hệ Parseval	
Công thức trên cho ta thấy năng lượng của tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số luôn bằng nhau.
Tóm tắt bài giảng(12): Thời lượng 3 tiết
So sánh phép biến đổi Fourier với phép biến đổi Z
Đánh giá phép biến đổi Fourier trên miền Z
Biểu diễn hệ rời rạc trên miền tần số
Đáp ứng tần số của hệ
Quan hệ vào ra trên miền tần số
Ý nghĩa của đáp ứng tần số
Các bộ lọc lý tưởng
3.6 So sánh phép biến đổi Fourier với phép biến đổi Z
3.6.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier với biến đổi Z
	Quan sát công thức biến đổi Z trong chương số 2 và công thức biến đổi Fourier trong mục 3.3 ta thấy ngay rằng: X(ejω) = X(z) khi z = ejω hay khi điểm phức z di chuyển trên đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng phức.
3.6.2 Đánh giá X(ejω) sử dụng X(z)
Ở trên ta thấy rằng phép biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Z. Do đó người ta có thể sử dụng phép biến đổi Z như một công cụ toán học để giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến đổi Fourier như xác định phổ biên độ hay phổ pha của một tín hiệu. Sau đây ta sẽ xem xét phương pháp đánh giá X(ejω) sử dụng X(z).
Giả sử X(z) được biểu diễn ở dạng cực và không (dạng thường thấy)
Trong đó z0 và zp là các điểm không và cực của X(z), M,N là số không và cực tương ứng. Khi đó thay z = ejω vào đẳng thức trên ta được X(ejω) như sau:
Đặt
Khi đó ta có thể viết X(ejω) ở dạng sau:
Từ đó suy ra:
Ví dụ: Cho Hãy đánh giá X(ejω) với ω=π/3.
3.7 Biểu diễn hệ rời rạc trong miền tần số liên tục
3.7.1 Đáp ứng tần số
Trong chương 1 chúng ta đã biết rằng đáp ứng xung h(n) là một tham số đặc trưng cho hệ xử lý tín hiệu TTBB, mặt khác h(n) chính là tín hiệu ra khi tín hiệu vào hệ là δ(n) hay: h(n) = T(δ(n)). Chuyển sang miền tần số ta có tín hiệu vào
	X(ejω) = FT(δ(n)) = ejωn
Khi đó đáp ứng ta của hệ được tính như sau:
Đặt khi đó ta có: .
H(ejω) được gọi là đáp ứng tần số của hệ TTBB. 
Nhận xét: Đáp ứng tần số của hệ TTBB chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung. Từ đó ta có cặp công thức:
3.7.2 Quan hệ vào ra trên miền tần số
	Theo tính chất biến đổi Fourier của tổng chập mà ta xét ở trên thì ta có:
	Trên miền thời gian: y(n) = x(n)*h(n)
 	Trên miền tần số:	Y(ejω) = X(ejω)H(ejω)
Ý nghĩa: Phổ của tín hiệu cho ta biết các thành phần tần số của tín hiệu còn đáp ứng tần số của hệ TTBB cho ta biết ứng xử của hệ TTBB với các thành phần tần số của tín hiệu vào.
3.7.3 Các bộ lọc lý tưởng
Bộ lọc thông thấp lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:
Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng
1
0
ωc
-ωc
|H(ejω)|
ω
H3.6 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng
Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung cho bởi
Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có thể tính được đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng như sau:
Nhận xét: 
Đáp ứng xung h(n) là đối xứng
Đáp ứng xung h(n) không nhân quả
Bộ lọc thông thấp lý tưởng không thực hiện được về mặt vật lý
Bộ lọc thông cao lý tưởng
Bộ lọc thông cao lý tưởng có đáp ứng biên độ được cho bởi
-π
-ωc
π
ωc
ω
1
|H(ejω)|
H3.7 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng
Bộ lọc thông dải lý tưởng
Bộ lọc thông dải lý tưởng có đáp ứng biên độ cho bởi
	-π
-ωc1
π
ωc1
ω
1
|H(ejω)|
ωc2
-ωc2
	H3.8 – Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông dải lý tưởng
Tóm tắt bài giảng(13): Thời lượng 3 tiết
Ôn tập chương 3
Làm bài tập chương 3
CHƯƠNG 4
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ
GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
Tóm tắt bài giảng(14): Thời lượng 3 tiết
Nhắc lại nhanh về phép biến đổi Fourier liên tục
Phép biến đổi Fourier thuận và nghịch
Lấy ví dụ tính trực tiếp DFT
Giải thuật FFT
Lấy ví dụ tính theo giải thuật FFT và so sánh với cách tính trực tiếp
Giao bài tập thực hành về lập trình FFT
Hàm cửa sổ
4.1 Phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn
	Trong chương số 3 chúng ta đã biết đến phép biến đổi Fourier liên tục của tín hiệu rời rạc x(n): . Chúng ta thấy ngay rằng trong công thức trên X(ejω) là một hàm số phức liên tục theo ω, do đó phổ biên độ và phổ pha tương ứng cũng sẽ là các hàm thực liên tục theo biên số ω tương ứng. Mặt khác để cài đặt trong thực tế chúng ta chỉ có thể lưu trữ được số lượng hữu hạn các giá trị rời rạc, do đó trong phần này chúng ta sẽ xem xét một biểu diễn rời rạc của công thức biến đổi Fourier nói trên. Trước hết ta sẽ rời rạc hoá miền giá trị ω từ 0 đến 2π thành N điểm với khoảng cách 2π/N.
Khi đó giá trị của X(ejω) tại các điểm rời rạc được tính bằng:
Trong đó khoảng [-∞,+∞] là chu kỳ của tín hiệu của tín hiệu không tuần hoàn. Do đó với tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N ta có công thức sau:
Công thức trên được gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn.
Nhận xét: Các giá trị X(k) chính là các mẫu rời rạc của X(ejω).
4.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn
	Trong thực tế chúng ta thường chỉ thu được các tín hiệu rời rạc có số lượng mẫu hữu hạn (chiều dài hữu hạn) do đó để áp dụng được phép biến đổi Fourier rời rạc nói trên với tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn, ta sẽ xem tín hiệu có chiều dài hữu hạn như là một chu kỳ của một tín hiệu rời rạc tuần hoàn. Giả sử ta xét tín hiệu x(n) có N mẫu, khi đó ta sẽ xem x(n) như một chu kỳ của tín hiệu rời rạc tuần hoàn . Áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc với tín hiệu ta có:
Mặt khác ta thấy rằng cũng là một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ N và X(k) là một chu kỳ của từ đó ta có công thức biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu x(n): 
Từ công thức trên ta có thể tinh được x(n) bằng công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược sau:
Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) có độ dài 4 x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính các giá trị X(k) với k=0,1,2,3.4.3 Giải thuật FFT
	Trong phần 4.2 chúng ta đã xây dựng công thức biến đổi Fourier rời rạc tuy nhiên có thể thấy qua ví dụ trên rằng số lượng phép tính cần thực hiện là khá lớn tỷ lệ thuận với N2, hay nói cách khác công thức có độ phức tạp O(N2) do đó với các giá trị N lớn phương pháp tính trực tiếp sẽ tốn khá nhiều thời gian, sau đây ta sẽ xem xét giải thuật để tính biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài N x(n) với độ phức tạp nhỏ hơn.
Đến đây chúng ta có thể thấy rằng chúng ta gặp lại 2 bài toán tính biến đổi Fourier rời rạc của 2 dãy con x(2r) và x(2l+1) với chiều dài N/2. Sử dụng các kỹ thuật đệ quy bài toán biến đổi Fourier rời rạc sẽ được giải quyết với độ phức tạp O(NlogN) nhỏ hơn rất nhiều so với việc ta tính toán trực tiếp công thức ban đầu độ phức tạp lên tới O(N2).
Ví dụ: Cho x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính X(k) với k=0,1,2,3 sử dụng cách tính trực tiếp và giải thuật FFT, So sánh số lượng phép tính cần thực hiện trong 2 phương pháp.
4.4 Hàm cửa sổ
	Chúng ta đều biết rằng trong công thức biến đổi Fourier liên tục tín hiệu được giả định là tồn tại trên toàn trực thời gian từ -∞ đến +∞, trong khi đó thực tế ta luôn sử dụng từng đoạn có chiều dài hữu hạn (N) của tín hiệu x(n) (tín hiệu quan sát được) thu được bằng cách nhân x(n) với một hàm cửa sổ:
	x’(n) = x(n)W(n)
W(n) – là một hàm cửa sổ, để giới hạn chiều dài quan sát x(n),Ví dụ: W(n) = RECTN(n).
	Thực hiện phép biến đổi Fourier với tín hiệu x’(n) ta có:
	X’(f) = X(f)*W(f)
Trong đó X(f) là phổ tín hiệu x(n) còn W(f) là phổ của hàm cửa sổ w(n). Như vậy để phổ của tín hiệu quan sát và tín hiệu gốc sai khác nhau ít nhất ta thấy rằng hàm W(f) cần có dạng của một xung đơn vị.
Dưới đây là một vài hàm cửa sổ quan trọng và phổ tương ứng:
Cửa sổ Hamming
Cửa sổ Blackman
Tóm tắt bài giảng(15): Thời lượng 1 tiết
Trả lời các câu hỏi, thắc mắc của sinh viên
BÀI TẬP MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Bài 1.1 Cho tín hiệu rời rạc
Hãy vẽ tín hiệu x(n), x(2n), x(n/2), x(n2), x(-n)
Bài 1.2 Hãy xem xét tính tuyến tính và bất biến của hệ sau:
T(x(n)) = x2(n)
T(x(n)) = nx(n)
Bài 1.3 Hãy tính tổng chập x(n)*h(n) biết rằng:
x(n) = u(n), h(n) = RECT3(n+1)
x(n) = RECT4(n-2), h(n) = u(n) – u(n-3)
x(n) = u(-n), h(n) = δ(n+3)+δ(n-2)
Bài 1.4 Cho 2 hệ TTBB như sau:
	Hệ S1: y(n) = 2x(n) + x(n-2)
	Hệ S2: y(n) = x(n+1)-x(n-1)
Ghép nối tiếp 2 hệ trên
Ghép song song 2 hệ trên
Hãy tìm quan hệ vào-ra của hệ tương đương
Bài 1.5 Cho 2 hệ TTBB có đáp ứng xung tương ứng là:
	h1(n) = 3nu(n) và h2(n) = 2-n.
	Ghép nối tiếp 2 hệ TTBB trên, hãy tìm đáp ứng xung của hệ tương đương.
Bài 1.6 Cho hệ TTBB có PTSP:
	Hỏi hệ có ổn định không?
Bài 1.7 Giải PTST sau:
	y(n) – 3y(n-1) – 4y(n-2) = x(n)+2x(n-1)
Với y(-1)=y(-2)=0 và x(n) = 4nu(n)
Bài 1.8 Cho hệ TTBB có PTSP sau:
	y(n) + 2y(n-2) = 2x(n)-3x(n-1)+x(n-3)
Hãy sơ đồ chuẩn I và chuẩn II.
Bài 2.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = u(n). Hãy tính X(z) và miền hội tụ của X(z).
Bài 2.2 Hãy tính tổng chập x1(n)*x2(n)*x3(n) sử dụng phép biến đổi Z
	x1(n) = RECT3(n), x2(n) = u(n) – u(n-4), x3(n) = δ(n)
Bài 2.3 Dùng phương pháp thặng dư tìm x(n) biết
Bài 2.4 Hãy tính biến đổi Z ngược 
	 với |z|>2	
Bài 2.5 Sử dụng phép biến đổi Z một phía để giải PTST:
	y(n) +2y(n-2)=2x(n)-3x(n-1)+x(n-3)
	Biết y(n)=0 với n<0 và x(n) =3n
Bài 2.6 Hãy khảo sát tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB có PTSP:
	y(n)+y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+x(n-2)
	Vẽ sơ đồ chuẩn I và II.
Bài 2.7 Cho hệ TTBB có PTSP:
	2y(n)+y(n-1)=x(n)-3x(n-1)+2x(n-2)
Xác định hàm truyền đạt của hệ
Hệ có nhân quả và ổn định không
Bài 3.1 Cho bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số:
	Hãy vẽ đáp ứng biên độ và tính đáp ứng xung của hệ. Hệ có nhân quả không?
Bài 3.2 Một hệ FIR có đáp ứng xung h(0)=h(1)=α, h(2)=β, h(n)=0 với các giá trị n còn lại. Hãy tính đáp ứng biên độ của hệ.
Bài 3.3 Cho hệ TTBB có đáp ứng xung
Tính đáp ứng tần số của hệ
Tìm y(n) biết x(n) = Aejπ/2
Bài 3.4 Cho hệ TTBB có PTSP
	y(n) +y(n-2)= x(n)+x(n-1)
	Tính đáp ứng tần số và hàm truyền đạt của hệ.
Bài 4.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = {-1,2,3,4} Tính X(k),k = 0..3
Bài 4.2 Sử dụng giải thuật FFT hãy tính X(k), k=0..7 của dãy sau
	x(n)={-1,2,4,-3,4,2,2,4}