Bài giảng môn Tín hiệu và hệ thống - Bài 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trên miền thời gian - Đỗ Tú Anh

 Diện tích dưới tích của hai hàm này 
là
 Một phần g(t) và f(t) chồng nhau
 Diện tích tính tương tự như trường 
hợp
 g(t) và f(t) không chồng nhau
 Diện tích dưới tích của hai hàm bằng 0
8EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tích chập-Ví dụ 1
với
với
với
với
với
 Kết quả của tích chập (gồm 5 khoảng)
9EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tích chập-Ví dụ 2
10EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tích chập-Ví dụ 2
11EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính tích chập-Ví dụ 2
MATLAB
12EE3000-Tín hiệu và hệ thống
13EE3000-Tín hiệu và hệ thống
14
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và 
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng thời gian
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI không liên tục
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
15
Xung Dirac 
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 Xung Dirac theo nghĩa hàm 
mở rộng
Diện tích bằng 1
T/c lấy mẫu
giả thiết g(t) được định nghĩa tại t=0
T/c co giãn
 Chú ý không được định nghĩa(0)
16EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Xung Dirac 
17
Đáp ứng quá độ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
đầu vào đầu ra
Hệ thống
T
( )f t ( )y t ?
Đáp ứng xung
18EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng quá độ
19EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hệ thống
T
( )f t ( )y t
Tín hiệu vào f(t) Tín hiệu ra y(t)
f(t) y(t)
Tích chập
Đáp ứng quá độ
20EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng quá độ
 Tín hiệu ra của hệ thống LTI liên tục nào là tích chập của tín hiệu vào 
f(t) với đáp ứng xung h(t) của hệ
 Đáp ứng xung h(t) mô tả đầy đủ các tính chất động học của hệ LTI
 Nhờ tính chất giao hoán nên đôi khi thuận tiện hơn khi sử dụng công 
thức 
( ) ( ) ( )y t h f t d  


 
21EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng quá độ-Ví dụ
22
Đáp ứng quá độ-Ví dụ
 Tín hiệu vào là tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu mũ 
phức
( ) k
s t
k
k
x t a e ( ) ks tk t e 
Hàm cơ sở
 Tín hiệu ra thành phần tính bằng tích chập( )k t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) k
s t
k kt t h t h e d
   



   
) )( (k k k
s t s s t
ke h e d eH s
 



 
 Tín hiệu ra tổng
( ) ( ) k
s t
k k
k
y t a H s e
( )kH s Hệ số co giãn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
23
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và 
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
24
 Hệ LTI liên tục không nhớ: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu 
vào ở cùng thời điểm
K là hệ số khuếch đại
Tính nhớ 
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
( ) ( )Ky t x t
 Đáp ứng xung hệ không nhớ
( ) ( )Kh t t
 Nếu h(t0)≠0 với t0≠0, hệ là có nhớ
Do đó, chỉ có thể có dạng
25
Do đó, đáp ứng xung bằng 0 với các giá trị thời gian âm
Tính nhân quả 
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 Hệ nhân quả: Đáp ứng không bao giờ có trước kích thích
( ) 0, 0h t t 
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
y t h x t d x h t d     


    
 Tích chập có thể được tính đơn giản hơn như sau
 Cũng như vậy, có thể chọn phép toán dễ hơn (h hoặc x) để tính tích 
chập
26
Ghép nối tiếp
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
   2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t w t h t x t h t h t x t h t h t       
 Tín hiệu ra được tính theo
Tính chất kết hợp
 Bốn sơ đồ sau là tương đương
   2 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t h t x t h t h t v t h t       
Tính chất giao hoán
27EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ghép song song 
 Tín hiệu ra được tính theo
     1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x t h t x t h t h t     
 Hai sơ đồ sau là tương đương
Tính chất phân phối
28
Tính khả nghịch đảo
Độ lớn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 Nếu hệ thống là khả nghịch đảo, sẽ tồn tại hệ thống “nghịch đảo” để 
biến đổi tín hiệu ra của hệ ban đầu thành tín hiệu vào ban đầu
( )h t ( )Ih t
 Đáp ứng xung của hệ thống “nghịch đảo” phải thỏa mãn 
( ) ( ) ( )Ih t h t t 
 Được sử dụng rộng rãi để 
– điều khiển các hệ thống thực, mục đích là tíinh toán tín hiệu điều khiển sao 
cho hệ thống có tín hiệu ra như mong muốn
– lọc nhiễu ra khỏi các hệ thống thông tin, mục đich là để khôi phục tín hiệu 
x(t) ban đầu
29EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính ổn định
 Khái niệm ổn định BIBO (Bounded Input-Bounded Output)
Bất cứ tín hiệu vào nào bị chặn cũng tạo ra tín hiệu ra bị chặn
1 2 ( ) ( ) x t B y t B  
Do đó nếu
 Tín hiệu ra theo công thức tích chập
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h x t d h x t d     
 
 
     ( ) ( )h x t d  


 
1 ( ) x t B và ( ) h d G 


   thì 1 2( )y t BG B 
Điều kiện cần và đủ
30EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng bước nhảy
 Là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị
 Quan hệ giữa đáp ứng bước nhảy và đáp ứng xung
( ) ( ) ( )s t h t u t 
( )
 ( ) ( ) ( ) 
t
ds t
s t h d h t
dt
 

  
Hệ thống
LTI
( )x t ( )y t
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
u
d
e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
( )u t ( )s t
 Ví dụ  0( ) cos ( ) ( ) ?s t t u t h t  
31EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và 
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4* Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
32
Phương trình vi phân
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 PTVP bậc n dạng tổng quát
 Sử dụng toán tử D
trong đó Q(D) và P(D) là các đa thức
33EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Phương trình vi phân
 Đáp ứng của hệ thống
Đáp ứng tổng = đáp ứng đầu vào không + đáp ứng trạng thái không
f(t) = 0 f(t) ≠ 0
bên trong bên ngoài
 Đáp ứng với các sơ kiện: Đáp ứng đầu vào không
trong đó là nghiệm thực phân biệt của
phương trình đặc trưng
34
Đáp ứng đầu vào không
 Ví dụ: Tìm đáp ứng đầu vào không
 Sơ kiện
1. Phương trình đặc tính
2. Nghiệm đặc tính là và
– Do đó
3. Xác định c1 và c2 bằng cách lấy đạo hàm
4. Thay thế sơ kiện và
– Giải được
5. Vậy
Đáp ứng đầu vào không
 Chú ý: Trong MATLAB sừ dụng “dsolve” 
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
35
Đáp ứng xung h(t)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 PTVP bậc n dạng tổng quát
 Với n=m
 Đáp ứng xung
các chế độ đặc trưng
36EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng xung h(t)
– bn là hệ số của thành phần bậc n trong P(D)
B. P. Lathi
– yn(t) là tổ hợp tuyến tính của các chế độ đặc trưng của hệ với 
các sơ kiện
và
37EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng xung h(t)
 Ví dụ: Tìm đáp ứng xung
1. Phương trình đặc tính
 Sơ kiện và
4. Thay thế sơ kiện và
– Giải được và
5. Vậy
Đáp ứng xung
2. Nghiệm đặc tính là và
– Do đó
3. Xác định c1 và c2 bằng cách lấy đạo hàm
38
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng trạng thái không
 Ví dụ: Tìm đáp ứng với đầu vào
 Tất cả các sơ kiện bằng 0
– Đáp ứng
– Sử dụng tính chất phân phối của tích chập
– Đã có
– Sử dụng bảng tích chập
Đáp ứng trạng thái không
39EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng tổng của hệ thống
thành phần đầu vào không
thành phần trạng thái không
Đáp ứng tổng
Đáp ứng tổng
Tp đầu vào không Tp trạng thái không
 Ví dụ:
40EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và 
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
41
Sơ đồ khối
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 Hiện thực hóa
Ví dụ: Phương trình vi phân cấp 1
Nhân với một hệ số, và
Cộng
Vi phân
Các toán tử
Viết lại thành
NHƯNG: Các bộ vi phân khó được 
thực hiện và rất nhạy cảm với nhiễu
42EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Sơ đồ khối
 Hiện thực hóa
Ví dụ: Phương trình vi phân cấp 1
Sử dụng một bộ tích phân
Cần biểu diễn thành
43EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và 
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.5 Sơ đồ khối
2.1.6 Mô hình trạng thái
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
44EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 Cho mạch điện như hình vẽ 
 Tìm biểu thức của vàLi Cv
Ví dụ
Định luật Kirchoff 
45EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ (tiếp)
 Đặt
46EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Phương trình trạng thái
 Tổng quát
 Quỹ đạo trạng thái (nghiệm của phương trình trạng thái)
Ma trận chuyển trạng thái
 
0
e
!
k
At
k
At
k



Sơ kiện
47EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tính ma trận chuyển trạng thái
 Giải
để tìm các giá trị riêng của ma trận A i
 Theo định lý Cayley Hamilton
 Nếu
giải hệ
48EE3000-Tín hiệu và hệ thống
 Nếu
giải hệ
49EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ
 Cho
 và
với
hãy tìm quỹ đạo trạng thái của hệ
 Trước hết, tính ma trận chuyển trạng thái
50EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ (tiếp)
Giải ra
Vậy ma trận chuyển trạng thái là
51EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ (tiếp)
 Tiếp theo tính quỹ đạo trạng thái
52EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ (tiếp)
Tiếp tục 
53EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ (tiếp)
Vậy quỹ đạo trạng thái là
 Vẽ đồ thị với MATLAB
54
, ,
, ,
n n n
T n
u
y du d
x Ax b A b
c x c
´= + Î Î
= + Î Î
& ¡ ¡
¡ ¡
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Mô hình trạng thái và đáp ứng thời gian
 Hệ SISO
 Sơ đồ khối
55
  1
2
0 1
x
y
x
 
  
 
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ 
 Cho hệ
56EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng xung
Hệ thống
T
( )u t ( )y t
( )t ( )h t
T
u
y du
x Ax b
c x
= +
= +
&
?
 Hệ SISO
(sơ kiện bằng 0)
( )
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
T t T ty t e d d t e d t h tA Ac b c bt d t t d d-= + = +ò @
 Đáp ứng xung
57EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và 
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI không liên tục