Bài giảng Lý thuyết mạch điện - Chương 10: Phép biến đổi Laplace - Nguyễn Trung Lập

.17b) cho mạch biến đổi của tụ (H 10.8c) 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 13 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
 (a) (b) (c) 
 (H 10.8) 
Thí dụ 10.12 
Xác định i(t) khi t>0 của mạch (H 10.9a). Cho i(0)=4A và v(0)=8V 
 (a) (H 10.9) (b) 
Mạch biến đổi cho bởi (H 10.11b) 
I(s)=
2/ss3
8/s43)(2/s
++
−++ 
 =
3)2)(s3s(s
3)-8)(s-(4s2s
2 +++
+ 
 =
3)2)(s1)(s(s
24-6s4s2
+++
+ 
Triển khai I(s) 
I(s)=
3s
3
2s
20
1s
13
+−+++− 
Suy ra, khi t>0 
i(t)=-13e-t+20e-2t- 3e-3t A 
Thí dụ 10.13 
Xác định v(t) của mạch (H 10.10a). Cho i(0)=1A và v(0)=4V 
 (a) (b) 
 (H 10.10) 
Viết phương trình nút cho mạch biến đổi (H 10.10b) 
0
24
4
24
sV
s
1
3s
V
4
V =−+++ 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 14 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
⇒ V(s)=
4s
20
2s
16
4)2)(s(s
244s
+++−=++
− 
và v(t)=-16e-2t+20e-4t V 
10.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s) 
Trong phân giải mạch điện bằng phép biến đổi Laplace, kết quả đạt được là một hàm 
theo s có dạng P(s)/Q(s) , trong đó P(s) và Q(s) là các đa thức. 
Nếu P(s)/Q(s) có dạng trong bảng 1 thì ta có ngay kết quả biến đổi Laplace ngược. 
Trong nhiều trường hợp ta phải triển khai P(s)/Q(s) thành tổng các hàm đơn giản hơn và có 
trong bảng. 
Gọi m và n là bậc của P(s) và Q(s) 
Có 2 trường hợp 
* m≤n, có thể triển khai ngay P(s)/Q(s) 
* m>n, ta phải thực hiện phép chia để được 
(s)Q
(s)P
sA.....sAA
Q(s)
P(s)
1
1nm
nm10 ++++= −− (10.18) 
P1(s) và Q1(s) có bậc bằng nhau và ta có thể triển khai P1(s)/Q1(s) 
10.5.1. Triển khai từng phần 
Ò Trường hợp 1 
Q(s)=0 có nghiệm thực phân biệt s1 , s2, . . . sn. 
n
n
2
2
1
1
s-s
K
s-s
K
s-s
K
Q(s)
P(s) +++= ..... (10.19) 
Ki (i= 1, 2,. . . ., n) là các hằng số xác định bởi: 
i
ssQ(s)
P(s)
)s(sK ii
=
−= (10.20) 
Thí dụ 10.14 
Triển khai hàm I(s)=
23ss
1s
2 ++
− , xác định i(t)=L -1[I(s)] 
Phương trình s2+3s+2=0 có 2 nghiệm s1=-2 và s2=-1 
I(s)= 
23ss
1s
2 ++
− =
1s
K
2s
K 21
+++ 
3
Q(s)
P(s)
2)(sK
-s
1 =+=
= 2
-2
Q(s)
P(s)
1)(sK
-s
2 =+=
= 1
I(s)= 
1s
2
2s
3
+−+ 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 15 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
⇒ i(t)= 3e-2t-2e-t 
Ò Trường hợp 2 
Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r 
r2r ..... )s-(s
K
)s-(s
K
s-s
K
)s-(s
P(s)
Q(s)
P(s)
i
r
i
2
i
1
i
+++== (10.21) 
Để xác định K1, K2, . . . Kr, ta xét thí dụ sau: 
Thí dụ 10.15 
Triển khai 21)(s
2s
Q(s)
P(s)
+
+= 
21)(s
K
1s
K
Q(s)
P(s) 21
+++= (1) 
Nhân 2 vế phương trình (1) với (s+1)2
s+2=(s+1)K1+K2 (2) 
Cho s=-1, ta được K2=1 
Nếu ta cũng làm như vậy để xác định K1 thì sẽ xuất hiện các lượng vô định 
Để xác định K1, lấy đạo hàm theo s phương trình (2) 
1+0=K1+0 ⇒ K1=1 
Tóm lại 
21)(s
1
1s
1
Q(s)
P(s)
+++= 
Và i(t) = e-t + te-t
Với Q(s)=0 có nghiệm kép, một hằng số được xác định nhờ đạo hàm bậc 1. 
Suy rộng ra, nếu Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r, ta cần các đạo hàm từ bậc 1 đến 
bậc r-1. 
Ò Trường hợp 3 
Q(s)=0 có nghiệm phức liên hợp s=α ± jω 
)j-)(sj--(s
P(s)
Q(s)
P(s)
ω+αωα= (10.22) 
)j-(s
*K
)j--(s
K
Q(s)
P(s)
ω+α+ωα= (10.23) 
Các hằng số K xác định bởi 
θ−=ω+α−=
ω−α=
jAe
Q(s)
P(s)
)j(sK
js
 , 
Và θ+=ω−α−=
ω+α=
jAe
Q(s)
P(s)
)j(sK*
js
 (10.24) 
Thí dụ 10.16 
Triển khai I(s)= 
54ss
1
Q(s)
P(s)
2 ++= 
Q(s)=0 có 2 nghiệm -2 ± j 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 16 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
I(s)= 
j)-2-(s
*K
j)2(s
K
Q(s)
P(s) +++= 
°==++=
−−=
0e
2
1
2
1j
Q(s)
P(s)j)2(sK
js
9j
2
°−=−=−+=
+−=
0e
2
1
2
1j
Q(s)
P(s)j)2(sK*
js
9j
2
I(s)=
j-2s
j1/2
j2s
j1/2
+−++ 
⇒ i(t)= ]e[e
2
1j )tj2()tj2( +−−− − = ]
2j
ee[e
tjt
2t
j−
− − 
 Hay i(t)=e-2tsint A 
10.5.2 Công thức Heaviside 
Tổng quát hóa các bài toán triển khai hàm I(s)=P(s)/Q(s), Heaviside đưa ra công thức 
cho ta xác định ngay hàm i(t), biến đổi ngươc của I(s) 
10.5.2.1 Q(s)=0 có n nghiệm phân biệt 
i(t)=L -1[I(s)] = L -1
j
stn
1j
j
ssQ(s)
P(s)e)s(s]
Q(s)
P(s)[
=
∑
=
−= (10.25) 
Hoặc 
i(t) tsje
)(sQ'
)P(sn
1j j
j∑
=
= (10.26) 
Trong đó sj là nghiệm thứ j của Q(s)=0 
Thí dụ 10.17 
Giải lại thí dụ 10.14 bằng công thức Heaviside 
I(s)=
23ss
1s
2 ++
− , xác định i(t)=L -1[I(s)] 
Phương trình s2+3s+2=0 có 2 nghiệm s1=-2 và s2=-1 
Q(s)= s2+3s+2 ⇒ Q’(s) = 2s+3 
Ap dụng công thức (10.26) 
i(t) te
1)(Q'
1)P(2te
2)(Q'
2)P(
e
)(sQ'
)P(s tsjn
1j j
j −
−
−+−−
−== ∑
=
⇒ i(t)= 3e-2t-2e-t A 
10.5.2.2 Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r 
i(t)=L -1[I(s)] = L -1
j
n-r
j
n-r1nr
1n ssds
)R(sd
1)!(n
t
n)!-(r
1]
Q(s)
P(s)[ =−=
−
=
∑ts je (10.27) 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 17 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
sj là nghiệm đa trùng bậc r 
r)) jj s(sQ(s)
P(s)R(s −= (10.28) 
Thí dụ 10.18 
Giải lại thí dụ 10.15 bằng công thức Heaviside 
I(s)= 21)(s
2s
Q(s)
P(s)
+
+= 
Q(s)=0 có nghiệm kép, r=2, sj=-1 
Ap dụng công thức (10.27) 
Với 2s1)(s
1)(s
2s)R(s 22j +=++
+= 
1s2)(s
1!
t
0!
1
ds
2)d(s
0!
t
1!
1[e(t)
10
t −=+++= − ;]i 
Và i(t) = e-t + te-t A 
Thí dụ 10.19 
Cho mạch điện (H 10.11), tụ C tích điện đến V0=1V và khóa K đóng ở t=0. Xác định 
dòng i(t) 
 0dt
dt
dLR
t =++ ∫ ∞− iii 
 Lấy biến đổi Laplace 
 L[sI(s)-i(0+)]+RI(s)+ Cs
1 [I(s)+q(0+)]=0 
 Dòng điện qua cuộn dây liên tục nên 
 i(0+)= i(0-)=0 
 q(0+): điện tích ban đầu của tụ: 
s
1
s
V
Cs
)q(0 o −==+ 
(Để ý dấu của điện tích đầu trên tụ ngược chiều 
điện tích nạp bởi dòng i(t) khi chạy qua mạch) 
Thay giá trị đầu vào, sắp xếp lại 
11)(s
1
22ss
1I(s) 22 ++=++= 
⇒ i(t)=L -1[I(s)]=e-tsint.u(t) 
Thí dụ 10.20 
Cho mạch (H 10.12), khóa K đóng ở t=0 và mạch không tích trữ năng lượng ban đầu. 
Xác định i2(t) 
Viết pt vòng cho mạch 
100u(t)1020
dt
d
21
1 =−+ iii (1) 
01020
dt
d
12
2 =−+ iii (2) 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 18 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
Lấy biến đổi Laplace, để ý mạch không tích trử năng lượng ban đầu: 
(s+20)I1(s)-10I2(s)= s
100 (3) 
-10 I1(s)+ (s+20)I2(s)=0 (4) 
Giải hệ (3) và (4) 
I2(s)= 300)40ss(s
1000
20s10
1020s
010
s
10020s
2 ++=
+−
−+
−
+
Triển khai I2(s) 
30s
1,67
10s
5
s
3,33(s)I 2 ++++= 
⇒ i2(t)= 3,33-5e-10t+1,67e-30t 
10.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ CUỐI 
10.6.1 Định lý giá trị đầu 
Từ phép biến đổi của đạo hàm: L
dt
df(t)
 = sF(s)-f(0+) 
Lấy giới hạn khi s→ ∞ 
 [L
∞→s
lim
dt
df(t)
] = [sF(s)-f(0+)] 
∞→s
lim
mà [L
∞→s
lim
dt
df(t)
]=
∞→s
lim ∫ ∞ −0 dtedtdf(t) st =0 
Vậy [sF(s)-f(0+)]=0 
∞→s
lim
f(0+) là hằng số nên 
f(0+)= sF(s) (10.29) 
∞→s
lim
(10.29) chính là nội dung của định lý giá trị đầu 
Lấy trường hợp thí dụ 10.10, ta có: 
I(s)=
1/RCs
1
R
/CqV 0
+
−
i(0+)= sI(s)= 
∞→s
lim
R
/CqV 0− 
10.6.2 Định lý giá trị cuối 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 19 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
Từ phép biến đổi đạo hàm: L
dt
df(t)
 = sF(s)-f(0+) 
Lấy giới hạn khi s→ 0 
 [L
0s
lim
→ dt
df(t)
] = 
0s
lim
→ ∫
∞ −
0
dte
dt
df(t) st = [sF(s)-f(0+)] 
0s
lim
→
mà 
0s
lim
→ ∫
∞ −
0
dte
dt
df(t) st = = 
0s
lim
→ ∫
∞ +∞=
0
)f(0-)f(df(t)
Vậy f(∞)-f(0+)= [sF(s)-f(0+)] 
0s
lim
→
Hay f(∞)= sF(s) (10.30) 
0s
lim
→
(10.30) chính là nội dung của định lý giá trị cuối, cho phép xác định giá trị hàm f(t) ở 
trạng thái thường trực. 
Tuy nhiên, (10.30) chỉ xác định được khi nghiệm của mẫu số của sF(s) có phần thực 
âm, nếu không f(∞)= f(t) không hiện hữu. 
∞→t
lim
Thí dụ, với f(t)=sint thì sin∞ không có giá trị xác định (tương tự cho e∞ ). Vì vậy (10.30) 
không áp dụng được cho trường hợp kích kích là hàm sin. 
Lấy lại thí dụ 10.13, xác định dòng điện trong mạch ở trạng thái thường trực 
I(s)= )
R/Ls
1
s
1(
R
V
+− 
i(∞)= sI(s)= 
0s
lim
→ R
V)
R/Ls
s(1
R
V =+− 
 i(∞)=
R
V 
BÀI TẬP 
ÒÒÒ 
10.1 Mạch (H P10.1). Khóa K đóng ở t=0 và mạch không tích trữ năng lượng ban đầu. Xác 
định i(t) khi t> 0 
10.2 Mạch (H P10.2). Xác định v(t) khi t> 0. Cho v(0)=10V 
 (H P10.1) (H P10.2) 
10.3 Mạch (H P10.3). Xác định vo(t) 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 20 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
Cho vi(t) = ⎩⎨
⎧
>
<
− 0t ,4e
0t 4V,
t
10.4 Mạch (H P10.4). Xác định vo(t). Cho vo(0)=4V và i(0)=3A 
 (H P10.3) (H P10.4) 
10.5 Mạch (H P10.5). Xác định io(t). 
10.6 Mạch (H P10.6). Dùng định lý kết hợp xác định vo(t). 
 (H P10.5) (H P10.6) 
10.7 Mạch (H P10.7) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị 
trí 2, thời điểm t=0. Xác định i khi t>0 
(H P10.7) 
10.8 Mạch (H P10.8) đạt trạng thái thường trực ở t=0. Xác định v khi t>0 
(H P10.8) 
10.9 Mạch (H P10.9) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Xác định i khi t>0 
MẠCH 
_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi 
Laplace - 21 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
(H P10.9) 
10.10 Mạch (H P10.10). Xác định i(t) khi t>0. Cho v(0) = 4 V và i(0) = 2 A 
(H P10.10) 
MẠCH