Bài giảng Giải tích - Chương: Giới hạn dãy số (Phần 1)

GIỚI HẠN DÃY SỐÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N.VD: 1/ xn = n2, n = 0, 1, 2, 2/ xn = 1/n, n = 1, 2, 3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, Vấn đề đặt ra : tìm số hạng cuối cùng của dãy số?Các cách cho dãy số1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,; dãy 1, 1/2, 1/3,2/ Dạng tường minh: {xn} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trướcVD:VD:dãy dãy Dãy đơn điệuXét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”)Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”)(dùng cho dãy số dương)Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xnPhương pháp khảo sát dãy đơn điệu:{xn} là dãy tăng  xn  xn+1, với mọi n đủ lớn{xn} là dãy giảm  xn  xn+1, với mọi n đủ lớnDãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt.Ví dụxn+1 – xn = 1/(n+1) > 0  tăng= 1 – 1/(n+1) 0 (đủ bé)* Với  = 10-3, tìm N0?Tính chất , phép toán trên dãy hội tụDãy hội tụ thì bị chận.an 0 và an a thì a  0 an  a và a 0 (lớn) tùy ý, Chọn N0 > log2M + 1, ta có :Thöïc teá tìm giôùi haïn: Ít duøng caùch chöùng minh bằng ñònh nghóa!Các phép toán trên dãy phân kỳ ra 1/ Nếuthì2/ Nếuthì()3/GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN 2/. Haøm muõ:1/. Luõy thöøa:7 DẠNG VÔ ĐỊNH Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia: Đối với dạng mũ Ví dụVôùi n  2000:Ví dụ tổng hợp( 0 )TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS Daõy taêng & chaën treân thì hoäi tuï,Daõy giaûm & chaën döôùi thì hoäi tuïVD: Chöùng minh toàn taïi giôùi haïnVD: Chöùng minh toàn taïi vaø tìm giôùi haïn daõyTIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS Dùng quy nạp chứng minh xn > 2 (bị chặn dưới) Đơn điệu:Gs xk > 2, {xn} giảm và bị chận dưới nên hội tụGọi:Khi đóTa lại cóQua giới hạn khi n, ta đượcVD: Chöùng minh toàn taïi vaø tìm giôùi haïn daõySOÁ e Chöùng minh toàn taïi giôùi haïn sau :Đặt: Tính đơn điệu:sử dụng bđt Cauchy cho 1 và n số (1+1/n)Vậy {xn} tăng. Bị chặn: PHAÙ DAÏNG VOÂ ÑÒNH 1