Bài giảng Giải tích mạng - Chương 4: Các ma trận mạng và phạm vi ứng dụng - Lê Kim Hùng (Phần 1)

ột 
hay nhiều vòng. Vòng chỉ gồm có một nhánh bù cây độc lập thì gọi là vòng cơ bản. Bởi 
vậy, số vòng cơ bản đúng bằng số nhánh bù cây cho trong phương trình (4.2). Sự định 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 44 
hướng của vòng cơ bản được chọn giống như chiều của nhánh bù cây. Vòng cơ bản của 
graph cho trong hình 4.2 được trình bày trong hình 4.3. 
7 
6 4 
3 
2 
1 
5 
2 3 
E G F 
1 4 
 0 
 Hình 4.3 : Vòng cơ bản định hướng theo graph liên thông 
Vết cắt là tập hợp của các nhánh, nếu bỏ đi hoặc chia graph liên thông thành hai graph 
con liên thông. Nhóm vết cắt có thể chọn độc lập duy nhất nếu mỗi vết cắt chỉ bao gồm 
một nhánh cây. Vết cắt độc lập như vậy gọi là vết cắt cơ bản. Số vết cắt cơ bản đúng 
bằng số nhánh cây. Sự định hướng của vết cắt cơ bản được chọn giống như hướng của 
nhánh cây. Vết cắt cơ bản của graph cho trong hình 4.2 được trình bày trong hình 4.4 
 7 
6 4 
3 
2 
1 
5 
B 
D 
C 
3 
2 
A 
 4 1 
 0 
Hình 4.4 : Vết cắt cơ bản định hướng theo graph liên thông 
4.3. MA TRẬN THÊM VÀO. 
 4.3.1. Ma trận thêm vào nhánh - nút Â. 
Sự liên hệ giữa nhánh và nút trong graph liên thông trình bày bởi ma trận thêm 
vào nhánh nút. Các thành phần của ma trận được trình bày như sau: 
aịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và nút thứ j có chiều hướng từ nhánh i vào nút j 
aịj = -1: Nếu nhánh thứ i và nút thứ j có chiều hướng từ nhánh i ra khỏi nút j 
 aịj = 0 : Nếu nhánh thứ i và nút thứ j không có mối liên hệ với nhau. 
Kích thước của ma trận là e x n, với e là số nhánh và n là số nút của graph. Ma trận 
thêm vào nhánh nút cho trong graph hình 4.2 trình bày như trên. Với: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 45 
eia
j
ji ...,2,10
4
0
==∑
=
n 
4 0 1 2 3 e 
Đ = 
1 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 -1 
1 -1 
-1 1 
-1 
-1 
-1 
1 
-1 1 
1 
Các cột của ma trận  là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy hạng của  < n. 
 4.3.2. Ma trận thêm vào nút A. 
Các nút của graph liên thông có thể chọn làm nút qui chiếu. Nút qui chiếu có thể 
thay đổi, nó được xem như một nút trong graph có thể cân nhắc khi ấn định cụ thể một 
nút nào đó làm nút qui chiếu. Ma trận thu được từ ma trận  bỏ đi cột tương ứng với 
nút chọn làm nút qui chiếu là ma trận nhánh - nút A, nó sẽ được gọi là ma trận nút. Kích 
thước của ma trận là e x (n-1) và hạng là n-1 = b. 
Với: b là số nhánh cây của graph. Chọn nút 0 làm nút qui chiếu thể hiện trên graph 
trong hình 4.2. nút 
e 4 1 2 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
A = 
-1 1 
1 -1 
1 -1 
-1 1 
-1 
-1 
-1 
3 
Ma trận A là hình chữ nhật và là duy nhất. Nếu hàng của A sắp xếp theo một cây riêng 
biệt thì ma trận trên có thể phân chia thành các ma trận con Ab có kích thước b x (n-1) 
và At có kích thước là l x (n-1). Số hàng của ma trận Ab tương ứng với số nhánh cây và 
số hàng của ma trận At tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia của graph 
trên hình 4.2 được trình bày như sau: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 46 
 nút nút 
2 3 4 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
e 
A = 
1 
-1 
-1 
-1 1 
-1 1 
-1 
1 -1 
Các nút 
N
há
nh
 b
ù 
câ
y 
N
há
nh
 c
ây
Ab 
At 
e 
-1 
1 
 = 
Ab là ma trận vuông không duy nhất với hạng (n -1). 
4.3.3. Ma trận hướng đường - nhánh cây K: 
Hướng của các nhánh cây đến các đường trong 1 cây được trình bày bằng ma trận 
hướng đường - nhánh cây. Với 1 đường được định hướng từ 1 nút qui chiếu. Các phần 
tử của ma trận này là: 
kij = 1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu và được định hướng 
cùng hướng. 
 kij = -1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu nhưng được 
định hướng ngược hướng. 
 kij = 0: Nếu nhánh cây i không nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu. 
Với nút 0 là nút qui chiếu ma trận hướng đường - nhánh cây liên kết với cây được trình 
bày ở hình 4.2 có dạng dưới đây. đường 
1 
2 
3 
4 
Nhánh cây 
K = 
-1 
-1 
-1 -1 
-1 
4 1 2 3 
Đây là ma trận vuông không duy nhất với cấp là (n-1). Ma trận hướng - đường nhánh 
cây liên hệ nhánh cây với các đường nhánh cây nối đến nút qui chiếu và ma trận Ab liên 
kết các nhánh cây với các nút. Vì vậy có tỉ lệ tương ứng 1:1 giữa các đường và các nút. 
 Ab.Kt = 1 (4.3) 
Do đó: Kt = Ab-1 (4.4) 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 47 
4.3.4. Ma trận vết cắt cơ bản B. 
Liên hệ giữa nhánh với vết cắt cơ bản của graph liên thông được thể hiện trong 
ma trận vết cắt cơ bản B. Các thành phần của ma trận là. 
bịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và hướng cùng chiều với vết cắt cơ bản thứ j 
bịj = -1 : Nếu nhánh thứ i và hướng ngược chiều với vết cắt cơ bản thứ j 
bịj = 0 : Nếu nhánh thứ i không liên quan với vết cắt thứ j 
Ma trận vết cắt cơ bản có kích thước là e x b của graph cho trên hình 4.4 là: 
D A B 
Vết cắt cơ bản 
C e 
b 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
B = 
1 1 
1 1 
-1 1 
1 
1 
1 
1 
1 
Ma trận B có thể phân chia thành các ma trận con Ub và Bt. Số hàng của ma trận 
Ub tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Bt tương ứng với số nhánh bù 
cây. Ma trận phân chia được biểu diễn như sau: 
b 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
e A B C 
Vết cắt cơ bản 
D 
b 
Vết cắt cơ bản 
 = 
N
há
nh
 b
ù 
câ
y 
N
há
nh
 c
ây
Ub 
Bt 
e 
B = 
1 1 
-1 1 
-1 1 
1 
1 
1 
1 
1 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 48 
Ma trận đơn vị Ub cho ta thấy quan hệ tương ứng của một nhánh cây với một vết cắt cơ 
bản.. 
Ma trận con Bt có thể thu được từ ma trận nút A. Liên hệ giữa nhánh bù cây với 
nút cho thấy bởi ma trận con At và giữa nhánh cây với nút là ma trận con Ab. Từ đây 
tương ứng quan hệ của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản, Bt.Ab cho thấy quan hệ 
giữa các nhánh bù cây với các nút như sau: 
 Bt.Ab = At
Vì vậy 
Bt = At .Ab-1
Theo phương trình (4.4) ta có 
Ab-1 = Kt
Vì vậy ta có 
Bt = At .Kt (4.5) 
4.3.5. Ma trận vết cắt tăng thêmB . ˆ
Vết cắt giả thiết được gọi là vết cắt ràng buộc có thể đưa vào sau từng bước để 
số vết cắt đúng bằng số nhánh. Mỗi vết cắt ràng buộc chỉ gồm một nhánh bù cây của 
graph liên thông. Vết cắt ràng buộc của graph cho trên hình 4.4 được trình bày trong 
hình 4.5. 7 
G 
Vết cắt ràng buộc 
1 6 4 
3 
2 
1 
5 
B 
D 
C 
0 
2 
3 
4 
F E 
Vết cắt cơ bản A 
 Hình 4.5 : Vết cắt cơ bản và ràng buộc định hướng theo graph liên thông 
Ma trận vết cắt tăng thêm có hình thức biểu diễn như ma trận vết cắt cơ bản cộng thêm 
số cột của vết cắt ràng buộc. Vết cắt ràng buộc được định hướng phụ thuộc vào hướng 
của nhánh bù cây. Ma trận vết cắt tăng thêm của graph trình bày trên hình 4.5 là ma 
trận Bˆ như sau: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 49 
1 
E F C D A B e e 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 -1 
1 
-1 
1 
1 
-1 1 
1 
1 1 
1 1 
Vết cắt cơ bản Vết cắt giả tạo 
G 
 =Bˆ 
Bˆ : Là ma trận vuông có kích thước e x e và không duy nhất. Ma trận Bˆ có thể 
phân chia như sau: 
Vết cắt cơ bản Vết cắt giả tạo 
1 
=Bˆ
D C B e A 
e 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 -1 
1 
-1 
1 
1 
-1 1 
1 
1 1 
1 1 
G e 
Vết cắt giả 
tạo 
Vết cắt cơ 
bản 
e 
N
há
nh
 c
ây
N
há
nh
 b
ù 
câ
y 
= 
Bt 
Ub 0 
Ut 
E F 
4.3.6. Ma trận thêm vào vòng cơ bản C. 
Tác động của nhánh cây với vòng cơ bản của graph liên thông thể hiện bởi ma trận 
vòng cơ bản. Thành phần của ma trận là: 
cịj = 1 : Nếu nhánh cây thứ i và hướng cùng chiều với vòng cơ bản thứ j 
cịj = -1: Nếu nhánh cây thứ i và hướng ngược chiều với vòng cơ bản thứ j 
cịj = 0 : Nếu nhánh cây thứ i không liên quan với vòng cơ bản thứ j 
Ma trận vòng cơ bản có kích thước e x l theo graph cho trên hình 4.3 như sau: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 50 
l 
e E F G 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
C = 
1 
-1 
-1 
-1 
1 
1 
1 
1 
Vòng cơ bản 
Ma trận C có thể phân chia thành các ma trận con Cb và Ut. Số hàng của ma trận Cb 
tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Ut tương ứng với số nhánh bù cây. 
Ma trận phân chia như sau: 
 Vòng cơ bản 
l 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
e E F G 
l Vòng cơ bản 
e 
N
há
nh
 c
ây
N
há
nh
 b
ù 
câ
y 
= 
Cb 
Ut 
C = 
1 
-1 
-1 
-1 
1 
1 
1 
1 
Ma trận đơn vị Ut cho thấy một nhánh bù cây tương ứng với một vòng cơ bản. 
4.3.7. Ma trận số vòng tăng thêm . Cˆ
Số vòng cơ bản trong graph liên thông bằng số nhánh bù cây. Để có tổng số 
vòng bằng số nhánh, thêm vào (e-l) vòng, tương ứng với b nhánh cây, gọi là vòng hở. 
Vòng hở được vẽ bên các nút nối bởi nhánh cây. Vòng hở của graph cho trên hình 4.3 
được trình bày trong hình 4.6. Hướng của vòng hở được xác định theo như hướng của 
nhánh cây. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 51 
7 
6 4 
3 
2 
1 
5 
F G E 
3 
0 
2 
4 
Vòng hở 
Vòng cơ bản B 
D 
A C 
1 
Hình 4.6 : Vòng cơ bản và vòng hở định hướng theo graph liên thông 
Ma trận vòng tăng thêm có hình thức nằm bên cạnh ma trận vòng cơ bản, các cột 
của nó biểu diễn mối quan hệ giữa các nhánh với vòng hở. Ma trận của graph trình bày 
trong hình 4.6 được biểu diễn dưới đây. 
Cˆ : Là ma trận vuông, kích thước e x e và không duy nhất. 
1 
E F 
=Cˆ
C D B A 
e 
e 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 
-1 
1 
1 -1 
1 
1 
1 
1 -1 
-1 
1 
1 
Vòng hở Vòng cơ bản 
 G 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 52 
Ma trận C có thể phân chia như sau: ˆ
1 
=Cˆ
e 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 
1 
1 
-1 
1 
1 
1 
-1 
-1 
-1 
1 
1 
1 
A B C D E F G 
= 
e 
e 
N
há
nh
 b
ù 
câ
y 
N
há
nh
 c
ây
Cb 
Ut 
Ub 
0
Vòng hở Vòng cơ bản 
Vòng hở Vòng cơ bản e 
4.4. MẠNG ĐIỆN GỐC. 
Thành phần của mạng điện là tổng trở và tổng dẫn được trình bày trong hình 4.7. 
Đặc tính của các thành phần có thể biểu diễn trong mỗi công thức. Biến và tham số là: 
vpq: Là hiệu điện thế của nhánh p-q 
epq: Là nguồn áp mắc nối tiếp với nhánh p-q 
ipq: Là dòng điện chạy trong nhánh p-q 
jpq: Là nguồn dòng mắc song song với nhánh p-q 
zpq: Là tổng trở riêng của nhánh p-q 
ypq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p-q 
Mỗi một nhánh có hai biến vpq và ipq. Trong trạng thái ổn định các biến và tham 
số của nhánh zpq và ypq là một số thực đối với dòng điện một chiều và là một số phức 
đối với dòng điện xoay chiều.