Bài giảng Giải tích - Bài 2: Hàm số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------BÀI 2: HÀM SỐ NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 2- HÀM SỐ NGƯỢC 3- HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 4- HÀM HYPERBOLICĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm số f: X  R  Y  R là Quy luật tương ứng mỗi x  X với duy nhất y = f(x)  Y. x : biến; y = f(x) : ảnh của x qua ánh xạ fMiền xác định: Df = {x / f(x) có nghĩa} Miền giá trị: Imf: y = f(x), xDf VD: y = sinx  D= R, Imf = [–1, 1] Không là ánh xạ vì có 1 biến x không có ảnh.Không là ánh xạ vì có 1 biến x có 2 ảnh.XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x)VD: y = x2, y = exDạng tham sốVD: x = 1 + t, y = 1 – t  Đường thẳngVD: x = acost, y = asint  Đường trònDạng ẩn F(x, y) = 0  y = f(x) (implicit)VD: Đtròn x2 + y2 – 4 = 0,Biểu thức:HÀM QUEN THUỘC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- MXĐ :  tự nhiên  D=R,  nguyên âm  D=R\{0},   R(nói chung)  D=(0, +) (hàm căn: tuỳ tính chẵn lẻ) Tính đơn điệu (chỉ xét x > 0):  > 0  Tăng,  1  Hàm tăng, 0 0)ĐỒ THỊ HÀM MŨHÀM logarit-------------------------------------------------------------------------------y = logax (a >0) MXĐ: x > 0, MGT : R Ghạn Đơn điệu: a > 1  TĂNG , 0 1y = x,  > 0y =logax, a > 1HÀM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI LUỸ THỪA khi x+ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Khi a > 1 &  > 0: Cùng ,  +, nhưng mũ nhanh hơn luỹ thừa, lũy thừa nhanh hơn log.HÀM LƯỢNG GIÁC: sinx, cosx -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = sinx, y = cosx  MXĐ: R, MGT:[–1, 1], Tuần hoàn  HÀM LƯỢNG GIÁC: tanx, cotanx -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = tanx (x  /2 + k ), y = cotx (x  k): MGT: R, TC đứngy = tanxy = cotanxHÀM NGƯỢC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f song ánh  với mọi x, pt f(x) = y (*) có nghiệm x duy nhấtHàm số y = f(x): X  Y thoả :  y  Y, ! x  X sao cho y = f(x)  f là một song ánh (tương ứng một–một)YXKhông là s/a vì có 1 gt y không có xKhông là s/a vì có 1 gt y ứng với 2 gt x Ví dụ:Hàm số y = f(x) = 2x + 3 là song ánh trên R vì f : R  R và pt y = f(x) = 2x + 3 có duy nhất nghiệm x = (y – 3 )/2Hàm số y = x2 (R  R+) không là song ánh trên R vì pt y = x2 không có duy nhất nghiệm Hàm số y = x2 là song ánh trên R+(f: R+  R+) vì pt y = x2 không có duy nhất nghiệm HÀM NGƯỢC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nếu f : X  Y  x  y = f(x)  là song ánh thì  : Y  X y  x = (y) , với y = f(x)gọi là hàm ngược của fKý hiệu hàm ngược :  = f 1Cách tìm hàm ngược: Từ pt y = f(x) , giải tìm nghiệm x = f–1(y)Đổi vai trò của x, y trong biểu thức nghiệm.Đồ thị của hàm y = f(x) và y = f-1(x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.Ví dụTìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = 2x + 3 trên RB1: giải pt y = f(x)Biểu thức hàm ngược theo y :B2: Đổi vai trò của x, y :Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2 trên R+Vậy :Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = exf : R  R+, với mỗi y > 0 :Vậy :HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢCLưu ý: các hàm lượng giác trên toàn bộ miền xác định không phải là song ánh ( pt y = f(x) có vô số nghiệm)Các góc  và  ­  có cùng giá trị sinCác góc  và ­  có cùng giá trị cosHÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ----------------------------------------------------------------------------là song ánh trên tồn tại hàm ngược Miền xác địnhMiền giá trịs/ay =sin xy = arcsin xlà song ánh trên Miền xác địnhMiền giá trịtồn tại hàm ngượcy =cos xy = arccos xVÍ DỤTính chất:y = tan xy = arctan xy = cot xy = arccot xHÀM HYPERBOLIC (Toán 1, ĐCK, trang 23 – 24) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Miền xác định của các hàm số trên?Tính chẵn lẻ? ĐỒ THỊ HÀM Sinh x và Cosh xy = cosh xy = sinh xa/ ch(x)  1  x b/ sh x < chx  xy = tanh xy = coth xĐỒ THỊ HÀM tanh x và coth x2/ Chứng minh ch2x – sh2x = 1,  x (So sánh: cos2x + sin2x = 1) 1/ Giải phương trình: sinh(x) = 1Ví dụ:BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Công thức lượng giácCông thức Hyperbolic