Bài giảng Giải tích 2 - Chương IV: Tích phân mặt

t S với S là phía trên mặt phẳng x+2y+4z=8284Hướng của mặt S là phía trên tức là vecto pháp cùng hướng với nửa dương trục Oz, nên:→ cosγ>0Pt mặt S:F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0)→Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa độ thứ 3 là dương. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 2: Cho S là phía trên của nửa mặt cầu x2+y2+z2=R2, z≥0. Tính pháp vecto đơn vị của SCho S là phía trên tức là pháp vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz, suy ra góc γ≤π/2 nên cosγ>0Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0) Vì mặt S chỉ tính với z dương nên ta chọn dấu “+” để tọa độ thứ 3 của pháp vecto dươngTích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0Với y≥0: cosβ≥0 → β≤π/2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥π/2Khi đó, 2 góc α, β là nhọn hay tù sẽ phụ thuộc vào x, y là dương, hay âm→ α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2x ≥0x ≤ 0y ≤ 0y ≥0Ta kiểm tra với x, yTích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 3: Tính pháp vecto đơn vị của mặt S là phía trong mặt trụ x2+y2=1Pháp vecto hướng vào phía trong, ta sẽ so với nửa dương trục Oy, thì β≥π/2 → cosβ≤0Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0)Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thì thành phần thứ 2 của vecto âm tức là chọn dấu “-”Rõ ràng, S là mặt trụ song song với trục Oz nên pháp vecto vuông góc với trục Oz tức là γ=π/2 → cosγ=0Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 4: Tìm pháp vecto đơn vị của mặt S là phía dưới của mặt trụ z=x2 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0)Mặt S là phía dưới tức là pháp vecto ngược với hướng nửa dương trục Oz, suy raγ>π/2 → cosγ0để được :Do vậy, ta lấy dấu của pháp vecto là “-” và thay Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Định nghĩa: Cho các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S với pháp vecto đơn vị Tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ trên mặt S được gọi là tp mặt loại 2 của 3 hàm P, Q, R trên mặt S và kí hiệu là Cách tính: Có 2 cáchThay vào công thức trên, tức là đưa về tp mặt loại 1Cách 1: Tìm pháp vecto đơn vị của mặt STích phân mặt loại 2 – Cách tính Cách 2: Ta tính từng phần của tp mặt loại 2 trênBước 3: Ta viết lại pt mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z)để thay vào hàm PBước 2: Vì cần tính tp theo dydz nên ta tìm hình chiếu của S xuống mp Oyz là DyzTheo 4 bước sauBước 1: Xác định góc α nhọn (hay tù) để có cosα≥0 (hay cosα≤0). Bước 4: Đưa tp trên về thành tp képTrong đó: tp kép lấy dấu dương (âm) nếu cosα dương (âm)Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tính tương tự cho 2 tp còn lạiĐặc biệt: Nếu S là phần mặt song song với trục Ox thì góc α=π/2 tức là cosα=0, Suy ra Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 1: Tính với S là phía ngoài của mặt cầu x2+y2+z2=1Ta phải chia S thành 2 phần ứng với z≥0 và z≤0, chúng đối xứng nhau qua mp z=0 và cùng có hình chiếu xuống mp Oxy là Dxy: x2+y2≤1Trên mặt S1 với z≥0, pt S1 làPháp vecto hướng ra phía ngoài tức là hướng lên trên, khi đó góc γ≤π/2 nên cosγ≥0 , tp kép lấy dấu “+”Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-1→Ta sẽ tính tp này bằng 2 cáchCách 1: Tính trực tiếpTích phân mặt loại 2 – Cách tính Tương tự, trên mặt S2 ứng với z≤0Pháp vecto hướng ra ngoài tức là quay xuống dưới nên γ≥π/2 → cosγ≤0, tp kép lấy dấu “-”Hình chiếu Dxy: x2+y2≤1Vậy :S2S1Vậy Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Cách 2: Chuyển về tích phân mặt loại 1Mặt S1 ứng với z≥0, pháp vecto hướng lên trên nên Mặt S2 ứng với z≤0, pháp vecto hướng xuống dưới nên→ cosγ=z và→ cosγ=z vàNhư vậy với cả 2 mặt S1, S2 ta đều có cosγ=z vàTức là ta không cần chia làm 2 tp như cách 1, mà chỉ cần tính trên nửa phía trên rồi nhân đôi.Vậy: Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Cho S là phía trên mặt trụ z=x2 giới hạn bởi các mặt : y=0, y=1, z=1, z=0. TínhDo S là phần mặt trụ z=x2 song song với trục Oy nên Pt mặt S: F(x,y,z)=z-x2=0 suy raS là phía trên mặt trụ tức là pháp vecto hướng lên trên: γ≤π/2, cosγ≥0. Vậy ta lấy dấu “+” cho pháp vecto Ghi nhớ: Pt mặt S chỉ chứa x, z thì Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tọa độ thứ 3 của pháp vecto dương nên cosγ≥0Do vậy :Hình chiếu xuống mp Oxy là Dxy: -1≤x≤1, 0≤y≤1 Ta tính Tp theo dxdy: Pt mặt S: z=x2, với 0≤z≤1, ta được 0≤x2≤1 → -1≤x≤1Pháp vecto đơn vị của S:Hình chiếu xuống mp Oyz là Dyz: 0≤z≤1, 0≤y≤1 Tp theo dydz Pt mặt S: z=x2Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Pháp vecto đơn vị của STọa độ thứ nhất của pháp vecto phụ thuộc vào x nên ta sẽ chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0Pt mặt trụ chẵn đối với x, 4 mặt cắt trụ đều có pt không chứa x nên mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. tức là hình chiếu Dyz của 2 phần mặt (S,x≥0) và (S,x≤0) như nhau → miền lấy tp của 2 tp trên như nhauTích phân mặt loại 2 – Cách tính Vậy Suy ra tp I22 là tổng 2 tp có cùng hàm dưới dấu tp là yz, cùng miền lấy tp là Dyz nhưng dấu thì ngược nhauTích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 3: Cho S là phía trên mặt nón z2=x2+y2, 0≤z≤1. Tính Do z≥0 nên pt mặt S là Ta lấy S là phía trên mặt nón tức là γ≤π/2 → cosγ≥0Vậy pháp vecto đơn vị của S làTích phân mặt loại 2 – Cách tính Tp theo dxdy : Hình chiếu của S xuống mp z=0 làDxy: x2+y2≤1Suy ra: Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tính tp theo dydz : Vì cosα phụ thuộc vào x nên ta phải chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0, 2 phần đó đối xứng nhau qua mp x=0 vì pt S là chẵn đối với x2 tp trên 2 phần đó, khi chuyển sang tp kép sẽ có hàm dưới dấu tp cùng là f(x,y,z)=z, hình chiếu cùng là Dyz: -z≤y≤z, 0≤z≤1 nhưng trái dấu nhau vì 2 nửa cho ta 2 pháp vecto ngược nhauVậyI32=0Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Tính tp theo dxdz : Tương tự tp I32, ta cũng được :I32=0Vậy :Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Công thức Gauss – Ostrogratxki: Cho miền V đóng, bị chặn trong không gian có biên là mặt S trơn từng khúc. Các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở chứa V. Ta có công thứcTrong đó: Tp bội 3 lấy dấu “+” nếu S là mặt biên phía ngoài V và lấy dấu “-” nếu S là mặt biên phía trong VTích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 4: Cho mặt S là phía ngoài vật thể giới hạn bởi : x2+y2+z2≤4 vàTính tp sau bằng 2 cáchtrực tiếp và dùng CT GaussCách 1: Tính trực tiếp Trên mặt S1, S2, ta thấy chúng đều nhận mp x=0, mp y=0 là mặt đối xứngMặt S gồm 2 mặt: S1 là phía trên mặt cầu với Và S2 là phía dưới mặt nón với Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Do đó, các tp tính theo dydz, dzdx đều chia thành 2 phần với hình chiếu như nhau và dấu tp kép trái nhau.Hơn nữa, 2 tp đó đều có hàm dưới dấu tp kép giống nhau. Ta được:Lấy phía trên mặt cầu tức là γ≤π/2, tp kép lấy dấu “+”Tích phân trên mặt S1: pt mặt Hình chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤2Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Tích phân trên mặt S2: pt mặt Lấy phía dưới mặt nón tức là γ≥π/2, tp kép lấy dấu “-”Hình chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤2Vậy: Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Cách 2: S là mặt biên phía ngoài miền V giới hạn bởi Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2≤2Áp dụng CT Gauss, ta đượcTích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 4: Cho S là mặt biên phía trong của V giới hạn bởi x2+y2≤4, 0 ≤z ≤ x2+y2. Tính tích phânÁp dụng CT Gauss, ta đượcTích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 5: Cho S là mặt biên ngoài của V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=2. Tính Cách 1: Áp dụng CT GaussTích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Công thức Stokes: Cho mặt định hướng S trơn từng khúc có biên là đường cong kín C trơn từng khúc và không tự cắt. Các hàm P, Q, R và các đh riêng cấp 1 liên tục trong miền mở chứa S. Ta có CT StokesTrong đó, hướng của C được lấy sao cho khi đứng phía mặt S và đi theo hướng đó thì ta thấy S bên trái.Ghi chú: Nếu C lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 (z0Vì C là giao của mp x+y+z=0 và x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0Nên ta chọn S là phần mp x+y+z=0 nằm trong mặt cầu, lấy phía trên. Suy ra pháp vecto của S là Cách 1: Áp dụng CT StokesTức là S là hình tròn tâm tại O, bán kính bằng 2Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Và ta sử dụng CT Stokes dưới dạng:Để được : Trong đó S là diện tích mặt S, Vậy Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Cách 2: Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số của C(Xem trong phần tp đường loại 2- pt tham số)Lưu ý: Hướng trên hình chiếu của đường cong C cùng hướng với đường congTích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 7: Tính tp Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4y và x=y-2 lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x>0 bằng 2 cách : trực tiếp và dùng CT StokesCách 1: Dùng CT StokesChọn S là phần mp x=y-2 nằm trong hình cầu, lấy hướng ngược với nửa dương trục OxSuy ra α≥π/2 → cosα≤0Pt mặt S là F(x,y,z)=x-y+2(=0) :Vì cosα≤0, nên ta chọn dấu “-” cho pháp vectoTích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Vậy: S là phần mp x=y-2 nằm trong hình cầu. Ta khử x từ 2 pt để được hình chiếu của S xuống mp x=0 làDyz: 2(y-2)2+z2≤4, Suy raTích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Cách 2: Viết pt tham số của CTích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 8: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0Cách 1: Dùng CT StokesVì C là giao tuyến của 2 mặt trụ, ta chưa biết nên chọn S là mặt nào nên ta sẽ dùng CT Stokes để viết I8 dưới dạng Tp mặt loại 2 trướcĐể tính I8, ta sẽ phải tính 2 tp : tp theo dxdy và dydz.Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ta chọn S là phần mặt trụ parabol z=y2 nằm trong trụ tròn xoay x2+y2=1 lấy phía trên, Pt mặt S: F(x,y,z) = y2-zsuy ra γ≤π/2→cosγ≥0Nếu chọn S là mặt trụ x2+y2=1:Tp theo dxdy bằng 0, ta còn phải tính tp theo dydz. Ta phải tìm h/c của S xuống mp OyzNếu chọn S là mặt trụ z=y2 :Tp theo dydz bằng 0, ta còn phải tính tp theo dxdy. Ta phải tìm h/c của S xuống mp OxyTích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Pháp vecto mặt S:Để tính tp mặt loại 2 trên, ta có 2 cách: tính trực tiếp hoặc đưa về tp mặt loại 1Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Tính trực tiếp:Với cosγ>0 và hình chiếu Dxy: x2+y2≤1 Vì S là mặt trụ song song với Ox (Pt chỉ chứa y, z) nên tp theo dydz bằng 0. Do đó:Vậy :Đưa I8 về thành tp mặt loại 1Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ta có:Suy raDo đó:Pt mặt S: z=y2 nên Vậy: Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 8: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0Cách 2: Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số của CVậy: