Bài giảng Giải tích 2 - Bài: Tích phân kép. Định nghĩa và cách tính

D1D2D3D4Miền D được chia thành 4 phần §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhVí dụ : Tính tích phân trong đó D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhTương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại.Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1D1D2D2§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhD là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhTuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục OyVí dụ: Tính tích phân Với D là miền giới hạn bởi 11Chiếu miền D vừa vẽ xuống trục Ox§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhVí dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau 2Ta vẽ miền lấy tích phân D:D1D2Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2-22Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa độ Descartes. Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcM(x,y)φrĐặt : Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cựcĐổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt : Thì ta được pt r = 1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực1. (x-a)2 + y2 = a2↔ x2 + y2 = 2ax↔ r = 2acosφ3. x = 3↔ rcosφ = 32.x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ↔Công thức đổi biến sang tọa độ cựcTrong đó Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực= r §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcĐể xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : Ta được φ đi từ 0 đến π/2Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tiamàu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên.§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcNếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφVậy :§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcĐi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ aTrong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân Suy ra:y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcTrong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ πx2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφSuy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφVí dụ : Tính tích phânTrong đó D giới hạn bởi : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcVí dụ : Tính tích phânTrong đó D giới hạn bởi : Ví dụ : Tính tích phân2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφĐây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phânVí dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi 211-1Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực.Thực hiện 2 việc trên bằng 1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcKhi đó, miền D giới hạn bởi Vậy :§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcVí dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi abTa đổi biến sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt Thì D giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực