Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng đạo hàm - Đặng Văn Vinh

 
0 0
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x 

II. Qui tắc Lôpital 
1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và . 0 0( ) ( )f x g x
2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn 
' '
0 0( ), ( ) 0.f x g x 
Khi đó: 
0 0
0
0
0
0
( ) ( )
( )
lim lim
( ) ( )( )x x x x
f x f x
x xf x
g x g xg x
x x
 





0
'
'
( )
lim
( )x x
f x
g x

Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) 
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 
II. Qui tắc Lôpital 
1) Khả vi trong khoảng (a,b). 
2) '( , ) : ( ) 0.x a b g x  
3) Tồn tại lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
 
 
4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn. 
'
'
( )
lim
( )x a
f x
g x
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
g x g x 
Khi đó tồn tại và 
( )
lim
( )x a
f x
g x
0
0
Chứng minh 
II. Qui tắc Lôpital 
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) 
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 
II. Qui tắc Lôpital 
1) Khả vi trong khoảng (a,b). 
2) '( , ) : ( ) 0.x a b g x  
3) Tồn tại lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
 
  
4) Tồn tại hữu hạn hay vô hạn. 
'
'
( )
lim
( )x a
f x
g x
'
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
g x g x 
Khi đó tồn tại và 
( )
lim
( )x a
f x
g x


Chứng minh 
II. Qui tắc Lôpital 
II. Qui tắc Lôpital 
Dạng vô định: 0 
0 0, 1 , , 0  Các dạng vô định: 
Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0.
0f
g



1/
f
f g
g
   dạng 
0
0
1/
f
f g
g
   dạng 


Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. 
) Tìm đạo hàm cấp 1: 
' ( )y x
) Tìm đạo hàm cấp hai '' ( )y x
) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng. 
5) Lập bảng biến thiên. 
6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ. 
III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
( )y f x
Ví dụ. 
Tìm cực trị của hàm cho bởi p/trình tham số 
3 3 2
2 2
2
,
1 1
t t t
x y
t t

 
 
2 2
'
2 2
( 3)
( ) 0
( 1)
t t
x t
t

 

 0t 
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x
x t
 
2
2
( 1)( 4)
( 3)
t t t
t t
  


' ( ) 0 1y x t   Tồn tại hai điểm tới hạn: 
1
0 ( 0); ( 1)
2
x t x t   
 đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt
cực đại tại x = 0. 
' ( )y x
 đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt
cực tiểu tại x = 1/2. 
' ( )y x
Ví dụ. 
Tìm điểm uốn của hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x
cos(2 )
1 cot( ), ,0
sin
t
x t y t
t
    
 
'' ' '' '
''
3'
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
y t x t x t y t
y x
x t
  

'' 3( ) 0 
4 4
y x t t
 
    
 đổi dấu khi qua '' ( )y x
3
4 4
t t
 
  
Vậy hàm có hai điểm uốn: và  0,0 (2,0)
(ứng với hai giá trị của t ở trên) 
Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) 
Tiệm cận đứng: 
0
lim ( )
x x
f x


là tiệm cận xiên 
Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang. 
0x x  là tiệm cận đứng
Tiệm cận xiên: 
 
( )
lim
lim ( )
x
x
f x
a
x
b f x ax





 

y ax b  
Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm. 
Ví dụ. 
Tìm tiệm cận của đồ thị 
arctan 2
(1 )
x
y
x x


Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1. 
x = 0 không là tiệm cận đứng. 
0
arctan 2
lim 2
(1 )x
x
x x


x = 1 là tiệm cận đứng. 
1
arctan 2
lim
(1 )x
x
x x
 

y = 0 là tiệm cận ngang. 
arctan 2
lim 0
(1 )x
x
x x


Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t): 
Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối 
xứng qua Ox. 
Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối 
xứng qua Oy. 
Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua 
gốc O. 
Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t): 
Nếu , thì là tiệm cận đứng 0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t a
x a
y t




 
 

x a
Nếu , thì là tiệm cận ngang 0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t
y b
y t b




 


y b
Nếu 0
0
lim ( )
lim ( )
t t
t t
x t
y t





 

và 
 
0
0
( )
lim
( )
lim ( ) ( )
t t
t t
y t
a
x t
y t a x t b





  

thì là tiệm cận xiên. y ax b 
Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t): 
1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t. 
4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t). 
2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t. 
3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t). 
5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x 
biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn. 
Ví dụ. 
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x
2 3, 3x t y t t  
' ( ) 2x t t
' 2( ) 3 3 0 1 1 y t t t t       
Tiệm cận xiên: không có. 
' ( ) 0 0x t t  
' ( )x t
( )y t
( )x t
' ( )y t
 1 0 1
0  
 
1
1
0
0
 

0
2

' ( ) 2x t t ' 2( ) 3 3y t t 
2
0
3 3
 
3 3
 
0 0
Ví dụ. 
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho bởi p/trình tham số ( )y y x
2 3
,
4(1 ) 8( 1)
t t
x y
t t
 
 
'
2
(2 )
( )
4(1 )
t t
x t
t



2
'
2
(2 3) 2
( ) 0 0 
38( 1)
t t
y t t t
t

     

Điểm đặc biệt: 
' ( ) 0 0 2x t t t    
' ( )x t
( )y t
( )x t
' ( )y t
 0 1 3/ 2 2
0 0   
 
 
1
9 /8
0
0 0  

0


27 / 32
1

'
2
(2 )
( )
4(1 )
t t
x t
t



2
'
2
(2 3)
( )
8( 1)
t t
y t
t



2 3
,
4(1 ) 8( 1)
t t
x y
t t
 
 
Cách tìm tiệm cận 
1) Tìm những điểm : 0t
0( ) t tx t 
Kiểm tra có phải là tiệm cận đứng bằng công thức. 
2) Tìm những điểm : 0t
0( ) t ty t 
Kiểm tra có phải là tiệm cận ngang bằng công thức. 
3) Tìm những điểm : 0t
0( ) & ( ) t tx t y t 
Kiểm tra có phải là tiệm cận xiên bằng công thức. 
1
2 8
x
y

 Kết luận: hàm đã cho có một tiệm cận xiên: 
1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị 
đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy). 
Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực  r r 
2) Tính đạo hàm của theo r 
3) Lập bảng biến thiên của hàm ( )r 
Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên 
một chu kỳ hoặc rồi quay đồ thị quanh
 gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới. 
 0,T ,
2 2
T T 
  
4) Tìm tiệm cận. Để đơn giản dùng đổi biến: 
Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực  r r 
( ) cos( ), ( ) sin( )x r y r      
và dùng cách tìm tiệm cận của hàm tham số . 
Nếu , thì là đường tròn tiệm cận. lim ( )r a



 r a
5) Tìm các điểm đặc biệt, dựa vào BBT vẽ. 
Chú ý: Nếu r < 0, thì lấy điểm nằm đối xứng qua gốc O. 
Ví dụ. 
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực 
1 sinr  
' ( ) cos r  
2T Hàm tuần hoàn với chu kỳ 
' ( ) 0 / 2 3 / 2r       
Chỉ cần khảo sát trong đoạn .  0,2
Hàm không có tiệm cận. 
0 / 2 3 / 2 2
0  
1
0
2
0
1


1
Xoay hình đã vẽ xung quanh gốc O một góc đến khi 2
đến khi không sinh ra hình mới, được đồ thị trên toàn MXĐ
Ví dụ. 
Khảo sát vẽ đồ thị hàm cho trong tọa độ cực 
cos2r 
' ( ) 2sin 2 r   
T 
 ' ( ) 0, 0, / 2r     
Chỉ cần khảo sát trong đoạn  / 2, / 2 
Hàm không có tiệm cận. 
0 / 2
 
1
0
1
/ 4
0
Hàm chẵn nên cần khảo sát trong đoạn  0, / 2
Lấy đối xứng qua trục Ox: 
quay quanh gốc 
O một góc 
Hình trên: cos2y x
Hình dưới: cos2r 
Ví dụ. 
Khảo sát, vẽ đồ thị 
1
r




Miền xác định:  \ 1R 
 
'
2
1
( ) 0
1
r 

 

Tiệm cận: lim 1
1




1r  là đường tròn tiệm cận. 
cos cos
1
sin sin
1
x r
y r

 


 


  

  
 
Tiệm cận xiên: 
 
1
tan1
cos1
y x  
 1 
 
1


1

'r
r
Tính giới hạn (sử dụng qui tắc Lôpital) 
20
ln(1 )
1) lim
tanx
x x
x
 
/ 4
ln(tan )
2) lim
cot 2x
x
x
2
0
arcsin
3) lim
cos sinx
x x
x x x 
21
arctan( 1)
4) lim
2x
x
x x


 
0
tan
5) lim
arcsin ln(1 )x
x x
x x

 
1
2

1
3
0
0
1/1/
0
(1 )
6) lim
xx
x
x
e
 
 
 
 
tan
0
7) lim arcsin
x
x
x

1/ ln(sinh )
0
8) lim x
x
x

 
0
9) lim 1 lnx
x
x x


 
1/210) lim 3 3
xx
x
x


1/ 2e
1
e
3
sin
0
11) lim
sin
x x
x
e e
x x


3
12) lim n x
x
x e

0
1 1
13) lim
arcsinx x x
 
 
 
2
1
1 1
14) lim
arctanx x x x
 
 
 
 
21/
0
15) lim cos
x
x
x

1
0
0
1
3
1/ 2e
1
1
16) lim
ln 1
x
x
x
x x

 
0
1 1 1
17) lim
tanh tanx x x x
 
 
 
 
tan 2
/ 4
18) lim tan
x
x
x

1/
19) lim tan
2 1
x
x
x
x


 
 
 
21/
0
arcsin
20) lim
x
x
x
x
 
 
 

2
3
e
3 2 31) 2 , 2 3x t t t y t t      
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau. 
3 32) 3 , 6arctanx t y t t   
3 3 2
2 2
2
3) ,
1 1
t t t
x y
t t

 
 
4) sin , 1 cosx t t y t   
5) cos ln tan( / 2), sinx t t y t  
2 3
2
1 1
6) ,
t t
x y
t t
 
 
2 2 1
7) ,
1
t t
x y
t t

 

2 2
2
1
8) ,
21
t t
x y
tt

 

2 3
1 1
9) ,x y
t t t t
 
 
210) , 2t tx e t y e t   
 
2
11) , 1
t
tex y t e
t
  
2cos cos2
12) 
2sin sin 2
x t t
y t t
 

 
1) 2 cosr  
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau. 
2) 1 2cosr  
3) cos3r 
4) 1 tanr  
2
5) 1
cos
r

 
6) tan 2r 
7) 1 tanr  
1
8) 
sin3
r


9) sin 2r 
10) 2(1 cos )r  
11) 1 sinr  
312) cos , 0r a a 
( ) 1.5cos cos(30 ); ( ) 1.5sin( ) sin(30 )x t t t y t t t   
Vẽ các hình sau 
( ) sin( cos(100 )); ( ) cos( sin(100 ))x t t t y t t t   
( ) 2sin(2 ); ( ) 2cos(5 )x t t t y t t t   
( ) sin(2 ); ( ) sin( sin(2 ))x t t y t t t  
2 2
sin(2 ) cos(2 )
( ) ; ( )
4 4
t t
x t y t
t t
 
 
2( ) sin(4 ); ( ) cos(3 )x t t t y t t t   
( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )x t t y t t 
( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )x t t y t t 
2 4sin (2.4 ) cos (2.4 )r   
2 3sin (1.2 ) cos (6 )r   
sin(8 /5)r 
1 2sin(3 )r  
cos( / 3)r 
2r 
r 
8
sin
5
r
 
  
 