Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng (Đáp án chi tiết) - Lưu Huy Thưởng

 
 ⇒ 2 2 00 0
0
0
( 3) 9
3
x
x x
x
 =+ − = ⇔  =
. 
 + Với 0 0x = ⇒ 0 3y = ⇒ (0; 3), (0; 3)B C − . + Với 0 3x = ⇒ 0 0y = (loại). 
 Vậy: (0; 3), (0; 3)B C − . 
HT 208.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 
2 2
1
100 25
x y
+ = . Tìm các điểm M ∈ (E) sao cho 
 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 95 

 0
1 2 120F MF = (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)). 
Giải 
Ta có: 10, 5a b= = ⇒ 5 3c = . Gọi M(x; y) ∈ (E) ⇒ 1 2
3 3
10 , 10
2 2
MF x MF x= − = + . 
 
2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 . .cosF F MF MF MF MF F MF= + − 
 ⇔ ( )
2 2
2 3 3 3 3 1
10 3 10 10 2 10 10
2 2 2 2 2
x x x x
                     = − + + − − + −                     
 ⇔ x = 0 (y= ± 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). 
HT 209.Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm 1 2( 3;0); ( 3;0)F F− và đi qua điểm 
1
3;
2
A
     
. Lập 
phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức: 
 2 2 21 2 1 2– 3 – .P F M F M OM F M F M= + . 
Giải 
 (E): 
2 2
2 2 2 2
3 1
1 1
4
x y
a b a b
+ = ⇒ + = , 2 2 3a b= + ⇒ 
2 2
1
4 1
x y
+ = 
 ⇒ 2 2 2 2 2 2 2( ) ( – ) – 2( ) – ( ) 1
M M M M M
P a ex a ex x y a e x= + + + − = 
HT 210.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 24 16 64x y+ = . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm 
bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng 
8
:
3
x∆ = có giá trị 
không đổi. 
Giải 
Ta có: 2( 12;0)F . Gọi 0 0( ; ) ( )M x y E∈ ⇒ 
0
2 0
8 3
2
x
MF a ex
−
= − = , 
 00
8 38
( , )
3 3
x
d M x
−
∆ = − = (vì 04 4x− ≤ ≤ ) ⇒ 
2 3
( , ) 2
MF
d M
=
∆
 (không đổi). 
HT 211.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 25 16 80y+ = và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm 
M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆MAB. 
Giải 
Phương trình đường thẳng (AB): 2 3 0x y− + = và 2 5AB = 
 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 96 
 Gọi 2 20 0 0 0( ; ) ( ) 5 16 80.M x y E x y∈ ⇒ + = Ta có: 
0 0 0 02 3 2 3
( ; )
1 4 5
x y x y
d M AB
− + − +
= =
+
 Diện tích ∆MAB: 0 0
1
. . ( ; ) 2 3
2
S ABd M AB x y= = − − 
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số 0 0
1 1
; , ( 5 ; 4 )
25
x y
   −   
 có: 
 ( )
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1 9
. 5 .4 5 16 .80 36
2 5 4 205
x y x y
       − ≤ + + = =      
 0 0 0 0 0 0 0 02 6 6 2 6 3 2 3 9 2 3 9x y x y x y x y⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔− ≤ − + ≤ ⇒ − + ≤ 
 0 00 0
0 0
0 0
5 4
5 81 1max 2 3 9
2 625
2 3 9
x y
x y
x y
x y
x y
 =  = − ⇒ − + = ⇔ ⇔ −  − =  − + =
0
0
8
3
5
3
x
y
 =⇔ 
 = −
 Vậy, 
8 5
max 9 ;
3 3MAB
S khi M
  = −   
. 
HT 212.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp 
2 2
( ) : 1
9 4
x y
E + = và hai điểm A(3;–2), B(–3; 2) . Tìm trên (E) 
điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 
Giải 
PT đường thẳng AB: 2 3 0x y+ = . Gọi C(x; y) ∈ (E), với 0, 0x y> > ⇒ 
2 2
1
9 4
x y
+ = . 
1 85 85
. ( , ) 2 3 3.
2 13 3 22 13
ABC
x y
S ABd C AB x y= = + = + 
2 285 170
3 2 3
13 9 4 13
x y
  ≤ + =   
 Dấu "=" xảy ra ⇔ 
2 2
21 39 4 2
2
3 2
x y
x
x y
y
   + =  = ⇔ 
   ==  
 . Vậy 
3 2
; 2
2
C
     
. 
HT 213.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip 
2 2
( ) : 1
25 9
x y
E + = và điểm (1;1)M . Viết phương trình đường thẳng đi 
qua M và cắt elip tại hai điểm ,A B sao cho M là trung điểm của AB . 
Giải 
Nhận xét rằng M Ox∉ nên đường thẳng 1x = không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT. 
 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 97 
 Xét đường thẳng ∆ qua M(1; 1) có PT: ( 1) 1y k x= − + . Toạ độ các giao điểm ,A B của ∆ và ( )E là nghiệm 
của hệ: 
2 2
1 (1)
25 9
( 1) 1 (2)
x y
y k x
 + =
 = − +
 ⇒ 2 2 2(25 9) 50 ( 1) 25( 2 9) 0k x k k x k k+ − − + − − = (3) 
 PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x với mọi k . Theo Viet: 1 2 2
50 ( 1)
25 9
k k
x x
k
−
+ =
+
. 
 Do đó M là trung điểm của AB 1 2 2
50 ( 1) 9
2 2
2525 9
M
k k
x x x k
k
−
⇔ + = ⇔ = ⇔ =−
+
. 
 Vậy PT đường thẳng ∆: 9 25 34 0x y+ − = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với 
2 2
( ) : 1
9 4
x y
E + = , (1;1)M ĐS: : 4 9 13 0x y∆ + − = 
HT 214.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 
2 2
1
8 2
x y
+ = . Tìm điểm M ∈ (E) sao cho M có toạ độ 
nguyên. 
Giải 
 Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm ( ; ) ( )x y E∈ thì các điểm ( ; ),( ; ),( ; )x y x y x y− − − − cũng thuộc (E). Do đó ta 
chỉ cần xét điểm 0 0( ; ) ( )M x y E∈ với 0 0 0 0, 0; ,x y x y Z≥ ∈ . 
 Ta có: 
2 2
0 0 1
8 2
x y
+ = ⇒ 20 2y ≤ ⇒ 00 2y≤ ≤ ⇒ 
0 0
0 0
0 2 2 ( )
1 2
y x loaïi
y x
 = ⇒ =

= ⇒ =
 ⇒ (2;1)M . 
 Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1),( 2;1),(2; 1),( 2; 1)− − − − . 
HT 215.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 
2 2
1
8 2
x y
+ = . Tìm điểm M ∈ (E) sao cho tổng hai toạ độ 
của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). 
Giải 
 Giả sử ( ; ) ( )M x y E∈ ⇒ 
2 2
1
8 2
x y
+ = . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: 
2 2
2( ) (8 2) 10
8 2
x y
x y
  + ≤ + + =  
 ⇒ 10 10x y− ≤ + ≤ . 
 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 98 
 + 10x y+ ≤ . Dấu "=" xảy ra ⇔ 8 2
10
x y
x y
 =
 + =
 ⇔ 
4 10 10
;
5 5
M
     
. 
 + 10x y+ ≥− . Dấu "=" xảy ra ⇔ 8 2
10
x y
x y
 =
 + = −
 ⇔ 
4 10 10
;
5 5
M
  − −   
HT 216.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 
2 2
1
9 4
x y
+ = và các đường thẳng x1 : 0d m ny− = , 
x+m2 : 0d n y = , với 
2 2 0m n+ ≠ . Gọi M, N là các giao điểm của 1d với (E), P, Q là các giao điểm của 2d với 
(E). Tìm điều kiện đối với ,m n để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giải 
 PTTS của 1 2,d d là: 
1
1
1
:
x nt
d
y mt
 =

 =
, 22
2
:
x mt
d
y nt
 = −

 =
. 
 + M, N là các giao điểm của 1d và (E) 
 ⇒ 
2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6
; , ;
9 4 9 4 9 4 9 4
n m n m
M N
m n m n m n m n
   − −             + + + +
 + P, Q là các giao điểm của 2d và (E) 
 ⇒ 
2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6
; , ;
4 9 4 9 4 9 4 9
m n m n
P Q
m n m n m n m n
   − −             + + + +
 + Ta có: MN ⊥ PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi. 
 O
1
. 2 .
2MPNQ
S S MN PQ MOP= = = = 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
72( )
2 .
(9 4 )(4 9 )
M M P P
m n
x y x y
m n m n
+
+ + =
+ +
 Áp dụng BĐT Cô-si: 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2(9 4 ) (4 9 ) 13(9 4 )(4 9 ) ( )
2 2
m n m n
m n m n m n
+ + +
+ + ≤ = + 
 ⇒ 
2 2
2 2
72( ) 144
13 13
( )
2
m n
S
m n
+
≥ =
+
. Dấu "=" xảy ra ⇔ 2 2 2 29 4 4 9m n m n m n+ = + ⇔ = ± 
 Vậy: 
144
min
13
S = khi m n= ± . 
 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 99 
HT 217.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: 
2 2
1
16 9
x y
− = . Viết phương trình 
chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 
Giải 
 (H) có các tiêu điểm 1 2( 5;0); (5; 0)F F− . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3), 
 Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: 
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( với a > b) 
 (E) cũng có hai tiêu điểm 2 2 21 2( 5;0); (5; 0) 5 (1)F F a b− ⇒ − = 
 2 2 2 2(4;3) ( ) 9 16 (2)M E a b a b∈ ⇔ + = 
 Từ (1) và (2) ta có hệ:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
5 40
9 16 15
a b a
a b a b b
  = + =  ⇔ 
 + = =   
. Vậy (E): 
2 2
1
40 15
x y
+ = 
HT 218.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình 
2 2
1
9 4
x y
− = . Giả sử (d) là một 
tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ⊥(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên 
một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó 
Giải 
 (H) có một tiêu điểm F ( 13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*) 
 Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( 13)x − – a y = 0 
 Toạ độ của M là nghiệm của hệ: 
13
ax by c
bx ay b
 + = −
 − =
 Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x2 + y2 = 9 
HT 219.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): 2y x= và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N ∈ (P) 
sao cho 4IM IN=
 
. 
Giải 
Gọi 0 0 1 1( ; ), ( ; )M x y N x y là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: 
2 2
0 0 1 1;x y x y= = 
 20 0 0 0( ; 2) ( ; 2)IM x y y y= − = −

; 2 21 1 1 1 1 1( ; 2) ( ; 2); 4 (4 ; 4 8)IN y y y y IN y y= − = − = −
 
 Theo giả thiết: 4IM IN=
 
, suy ra: 
2 2
0 1
0 1
4
2 4 8
y y
y y
 =
 − = −
 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1; 2; 4
3 9; 6; 36
y x y x
y x y x
 = ⇒ = = − =⇔  = ⇒ = = =
 Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: (4; –2), (1;1)M N hay (36;6), (9;3)M N . 
 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 
 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 100 
HT 220.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): 2 8y x= . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của 
(P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là 1 2,x x . Chứng minh: AB = 1 2 4x x+ + . 
Giải 
 Theo công thức tính bk qua tiêu: 1 2FA x= + , 2 2FB x= + ⇒ 1 2 4AB FA FB x x= + = + + . 
HT 221.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): 2 25 5x y+ = , Parabol 2( ) : 10P x y= . Hãy viết phương 
trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( ) : 3 6 0x y∆ + − = , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát 
tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). 
Giải 
 Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 
 Tâm I ∈ ∆ nên: (6 3 ; )I b b− . Ta có: 
4 3 1
6 3 2
4 3 2
b b b
b b
b b b
 − = = − − = ⇔ ⇔ − = − =  
 ⇒ (C): 2 2( 3) ( 1) 1x y− + − = hoặc (C): 2 2( 2) 4x y+ − =