Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 4: Nhận dạng mô hình có tham số - Huỳnh Thái Hoàng

giải tối ưu toàn cục. 
 − Có thể kết hợp thuật toán tìm lời giải tối ưu toàn cục (như thuật toán di 
truyền) với thuật toán Newton để ước lượng tham số. 
4.5.2 Thuật toán đệ qui 
4.5.2.1 Giới thiệu 
 − Một trong những mục đích của việc giải bài toán nhận dạng hệ thống là 
xây dựng mô hình toán học của hệ thống để thiết kế bộ điều khiển. 
 − Tham số của hệ thống thực có thể biến đổi theo thời gian → Điều khiển 
hệ thống dựa trên mô hình tham số cố định không đạt chất lượng tốt. 
→ Cần xác định mô hình của hệ thống trong khi hệ thống đang hoạt động. Mô 
hình cần phải được xác định dựa vào dữ liệu quan sát đến thời điểm hiện tại. 
 − Hệ thống điều khiển trong đó có sử dụng mô hình được cập nhật trực 
tuyến gọi là hệ thống điều khiển thích nghi. 
 Hình 4.8: Hệ thống điều khiển thích nghi 
 − Việc tính toán tham số mô hình trực tuyến phải được thực hiện sao cho 
việc xử lý dữ liệu đo tại mỗi thời điểm lấy mẫu phải chắc chắn hoàn tất trong 
khoảng thời gian nhỏ hơn chu lỳ lấy mẫu. 
 − Thuật toán nhận dạng thỏa mãn yêu cầu trên gọi là thuật toán nhận 
dạng đệ qui. 
Đối tượng
Điều khiển
Mô hình 
u(t) y(t) 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
34
4.5.2.2 Thuật toán bình phương tối thiểu tuyến tính có trọng số đệ qui 
• Tiêu chuẩn bình phương tối thiểu có trọng số: 
 Giả sử thu thập được t mẫu dữ liệu, tham số mô hình ước lượng bằng 
phương pháp bình phương tối thiểu tuyến tính có trọng số là: 
 [ ]∑
=
−= t
k
T
t kkykt
1
2
)()(),(minargˆ θϕθ θ β (4.174) 
 Lời giải giải tích của (4.174) là: 
 )()(ˆ 1 tftRt
−=θ (4.175) 
trong đó: ∑
=
= t
k
T kkkttR
1
)()(),()( ϕϕβ (4.176) 
 ∑
=
= t
k
kykkttf
1
)()(),()( ϕβ (4.177) 
 Tính tθˆ bằng các công thức (4.175), (4.176) và (4.177) đơn giản, tuy nhiên 
có ba khuyết điểm: 
 − Không sử dụng được giá trị tham số đã tính ở thời điểm trước đó ( 1ˆ −tθ ). 
 − Khi số mẫu tăng đến vô cùng không đủ bộ nhớ để lưu trữ dữ liệu và tính toán. 
 − Thời gian tính toán tθˆ tăng lên khi t tăng. 
→ Cần tìm thuật toán tính tθˆ dựa vào 1ˆ −tθ và dữ liệu thu thập ở thời điểm t, 
đồng thời thời gian tính toán không phụ thuộc vào t. 
• Thuật toán đệ qui: 
 Giả sử chuổi trọng số có tính chất sau: 
 ),1()(),( kttkt −= βλβ , ( 10 −≤≤ tk ) 
 1),( =ttβ (4.178) 
 Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết: 
 ∏
+=
= t
kj
jkt
1
)(),( λβ (4.179) 
 Dễ dàng thấy rằng: 
 ∑
=
= t
k
T kkkttR
1
)()(),()( ϕϕβ 
 )()()()(),(
1
1
ttkkkt T
t
k
T ϕϕϕϕ +

= ∑−
=
β 
 )()()()(),1()(
1
1
ttkkktt T
t
k
T ϕϕϕϕ +

 −= ∑−
=
βλ 
⇒ )()()1()()( tttRttR Tϕϕ+−= λ (4.180) 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
35
 Tương tự: 
 ∑
=
= t
k
kykkttf
1
)()(),()( ϕβ 
 )()()()(),(
1
1
tytkykkt
t
k
ϕϕ +

= ∑−
=
β 
 )()()()(),1()(
1
1
tytkykktt
t
k
ϕϕ +

 −= ∑−
=
βλ 
⇒ )()()1()()( tyttfttf ϕ+−= λ (4.181) 
 Suy ra: 
 )()(ˆ 1 tftRt
−=θ 
 [ ])()()1()()(1 tyttfttR ϕ+−= − λ 
 )]()(ˆ)1()()[( 1
1 tyttRttR t ϕθ +−= −− λ 
 { })()(ˆ)]()()([)( 11 tyttttRtR tT ϕθϕϕ +−= −− 
 ]ˆ)()()[()(ˆ 1
1
1 −
−
− −+= tTt ttyttR θϕϕθ 
 Tóm lại, thuật toán bình phương tối thiểu đệ qui cho bởi hai công thức sau: 
 ]ˆ)()()[()(ˆˆ 1
1
1 −
−
− −+= tTtt ttyttR θϕϕθθ (4.182) 
 )()()1()()( tttRttR Tϕϕ+−= λ (4.183) 
Chuù yù Neáu tt ∀= ,)( λλ , bieåu thöùc (4.179) trôû thaønh 
 ktkt −= ),( λβ (4.184) 
 λ goïi laø heä soá queân (forget factor). Thoâng thöôøng λ ñöôïc choïn trong 
khoaûng 0.98÷0.995. 
• Phiên bản nghịch đảo ma trận hiệu quả: 
 Để tránh phải tính nghịch đảo ma trận )(tR ở mỗi bước, đặt: 
 )()( 1 tRtP −= 
và áp dụng bổ đề nghịch đảo ma trận 
 1111111 ][][ −−−−−−− +−=+ DACBDABAABCDA (4.185) 
vào biểu thức (4.183) với )1()( −= tRtA λ , )(tB ϕ= , 1=C , )(tD Tϕ= , ta được: 
)(
)1()(1)(
)(
)1()()(
)(
)1(
)(
)1()(
1
t
tPtt
t
tPtt
t
tP
t
tPtP TT λλλλ
−

 +−−−−=
−
ϕϕϕϕ 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
36
)(
)1()(
)()()1()(
)()(
)(
)1(
)(
)1(
t
tPt
tttPt
tt
t
tP
t
tP T
T λλ
λ
λλ
−


+−
−−−= ϕϕϕϕ 
⇒ 


−+
−−−−=
)()1()()(
)1()()()1()1(
)(
1)(
ttPtt
tPtttPtP
t
tP T
T
ϕϕ
ϕϕ
λλ (4.186) 
 Hơn nữa, ta có: 
 


−+
−−−−=−
)()1()()(
)()1()()()1()()1(
)(
1)()(1
ttPtt
ttPtttPttP
t
ttR T
T
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ λλ 
)()1()()(
)()1(
ttPtt
ttP
T ϕϕ
ϕ
−+
−= λ (4.187) 
 Do đó thuật toán bình phương tối thiểu đệ qui có thể viết lại như sau: 
 )1(ˆ)()()( −−= tttyt T θϕ ε (4.188) 
 )()()1(ˆ)(ˆ ttLtt ε+−=θθ (4.189) 
)()1()()(
)()1()(
ttPtt
ttPtL T ϕϕ
ϕ
−+
−= λ (4.190) 
 


−+
−−−−=
)()1()()(
)1()()()1()1(
)(
1)(
ttPtt
tPtttPtP
t
tP T
T
ϕϕ
ϕϕ
λλ (4.191) 
• Phiên bản độ lợi chuẩn hóa: 
 Độ lớn ma trận )(tR trong biểu thức (4.176) và (4.183) phụ thuộc vào λ(t). 
Để thấy được rõ ràng lượng giá trị thêm vào 1ˆ −tθ trong biểu thức (4.182) cần 
chuẩn hóa )(tR sao cho: 
 )()()( tRttR γ= (4.192) 
với 
1
1
),()(
−
= 

= ∑t
k
ktt βγ (4.193) 
 )(tR là trung bình có trọng số của )()( kk Tϕϕ . 
 Vieäc chuaån hoùa )(tR töông ñöông vôùi thay ñoåi tieâu chuaån öôùc löôïng 
bình phöông toái thieåu coù troïng soá 
 [ ]∑
=
−= t
k
Tt
t kkykttZV
1
2
)()(),()(),( θϕθ βγ (4.194) 
 Để ý rằng: 1
)1(
)(
)(
1 +−= t
t
t γ
λ
γ (4.195) 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
37
 Từ (4.183) và (4.195) ta suy ra: 
 

 +−−= )()()1()1(
1)()()( tttR
t
tttR Tϕϕγλγ 
 

 +−

 −= )()()1(1
)(
1)( tttR
t
t Tϕϕγγ 
 )]1()()()[()1( −−+−= tRttttR Tϕϕγ 
 Do đó thuật toán bình phương tối thiểu đệ qui (4.182) và (4.183) có thể viết 
lại như sau: 
 1ˆ)( )()( −−= tT ttyt θϕε (4.196) 
 )()()()(ˆˆ 11 tttRttt εγ ϕθθ −− += (4.197) 
 )]1()()()[()1()( −−+−= tRttttRtR Tϕϕγ (4.198) 
Chuù yù )(tγ ñöôïc goïi laø ñoä lôïi cuûa thuaät toaùn ñeä qui. Thoâng thöôøng γ ñöôïc 
choïn baèng haèng soá: 
 λγ −=1 (4.199) 
trong ñoù λ laø heä soá queân coù giaù trò trong khoaûng 0.98÷0.995. 
• Điều kiện đầu: 
 − Điều kiện đầu đúng 0=t : 0)0( =R , )0(θˆ bất kỳ. Tuy nhiên điều kiện 
đầu này không sử dụng đươc vì không thể tính nghịch đảo )0(R . 
 − Điều kiện đầu tại thời điểm 0tt = (thường chọn dt >0 ): 
 ∑
=
− == 0
1
000
1 )()(),()()(
t
k
T kkkttRtP ϕϕβ (4.200) 
 ∑
=
= 0
1
000 )()(),()()(ˆ
t
k
kykkttPt ϕθ β (4.201) 
 − Một cách khác để chọn điều kiện đầu là: 0)0( PP = , Iθθ =)0(ˆ 
4.5.2.3 Thuật toán biến công cụ đệ qui 
Nhắc lại: thuật toán biến công cụ tìm vector tham số là nghiệm của phương trình: 
 0])()()[,(),(),(
1
=−= ∑
=
t
k
Tt
t kkykktZf θϕθθ ζβ (4.202) 
 Lời giải giải tích của phương trình (4.202) là: 
 )()(ˆ 1 tftRt
−=θ (4.203) 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
38
trong đó: ∑
=
= t
k
T kkkttR
1
)()(),()( ϕζβ (4.204) 
 ∑
=
= t
k
kykkttf
1
)()(),()( ζβ (4.205) 
 Các biểu thức (4.203), (4.204) và (4.205) có dạng tương tự như các biểu 
thức (4.175), (4.176) và (4.177). Do đó ta dễ dàng suy ra thuật toán biến công cụ 
đệ qui như sau: 
 )1(ˆ)()()( −−= tttyt T θϕ ε (4.206a) 
 )()()1(ˆ)(ˆ ttLtt ε+−=θθ (4.206b) 
)()1()()(
)()1()(
ttPtt
ttPtL T ζϕ
ζ
−+
−= λ (4.206c) 
 


−+
−−−−=
)()1()()(
)1()()()1()1(
)(
1)(
ttPtt
tPtttPtP
t
tP T
T
ζϕ
ϕζ
λλ (4.206d) 
4.5.2.4 Thuật toán sai số dự báo đệ qui 
 Xét tiêu chuẩn sai số dự báo bình phương có trọng số: 
 ∑
=
= t
k
t
t kkttZV
1
2 ),(),()(),( θθ εβγ (4.207) 
trong đó: ),1()(),( kttkt −= βλβ , ( 10 −≤≤ tk ) 
 1),( =ttβ (4.208) 
và: 
1
1
),()(
−
= 

= ∑t
k
ktt βγ (4.209) 
 Chú ý rằng: 
 1),()(
1
=∑
=
t
k
ktt βγ 
và: 
 ∑
=
−=′ t
k
t
t kkkttZV
1
),(),(),()(2),( θθψθ εβγ 
 

 −−= ∑−
=
),(),(),(),(),(2)(
1
1
θθψθθψ ttkkktt t
k
εεβγ 
 

 −−−= ∑−
=
),(),(),(),(),1()(2)(
1
1
θθψθθψ ttkkkttt t
k
εεβλγ 
 

 −−−−−= ∑
−
=
),(),(),(),(),1()1(2
)1(
)()(
1
1
θθψθθψ ttkkktt
t
tt
t
k
εεβγγ
λγ 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
39
 

 −′−=
−
− ),(),(),()1(
)()( 11 θθψθ ttZVt
tt tt εγ
λγ 
 

 −′

 −= −− ),(),(),(1)(
1)( 11 θθψθ ttZVtt
t
t εγγ 
 )],(),(),()[(),( 11
1
1
−
−
−
− ′−−+′= tttt ZVtttZV θθθψθ εγ (4.210) 
 Thuật toán lặp ước lượng tham số: 
 [ ] ),ˆ(ˆˆ )1(1)()()1()( tittitititit ZV −−− ′−= θθθ Rµ (4.211) 
 Giả sử ở bước lặp thứ i chúng ta thu thập thêm một mẫu dữ liệu, ta có thuật 
toán sau: 
 [ ] ),ˆ(ˆˆ )1( 11)()()1( 1)( tttttttttttt ZV −−−−− ′−= θθθ Rµ (4.212) 
 Để đơn giản, ta ký hiệu: 
 )(ˆ)(ˆ ttt θθ = , )()( ttt RR = (4.213) 
 Giả sử rằng )1(ˆ −tθ làm ),( 11 −− tt ZV θ đạt cựu tiểu, điều đó nghĩa là: 
 0)),1(ˆ( 11 =−′ −− tt ZtV θ (4.214) 
 Do đó, từ (4.210) ta suy ra: 
 ))1(ˆ,())1(ˆ,()()),1(ˆ( −−−=−′ tttttZtV tt θθψθ εγ (4.215) 
 Thay (4.215) vào (4.212), ta được: 
 [ ] ))1(ˆ,())1(ˆ,()()()()1(ˆ)(ˆ 1 −−+−= − ttttttttt θθψθθ εγµ R (4.216) 
 Trong biểu thức trên ))1(ˆ,( −tt θψ và ))1(ˆ,( −tt θε không thể tính toán đệ 
qui vì: 
 ))1(ˆ,(ˆ)())1(ˆ,( −−=− ttytytt θθε (4.217) 
 ))1(ˆ,(ˆ))1(ˆ,( −∂
∂=− ttytt θθθψ (4.218) 
mà ))1(ˆ,(ˆ −tty θ trong trường hợp tổng quát phụ thuộc vào tất cả các dữ liệu 
trong quá khứ Z t–1. 
 Trong trường hợp hệ tuyến tính bất biến hữu hạn chiều (4.22), có thể tính 
đệ qui )(ˆ ty và )(tψ như sau: 
 )())(ˆ()())(ˆ()1( tztttt θξθξ BA +=+ (4.219) 
 )())1(ˆ()1(
)(
)(ˆ
ttt
t
ty ξθξψ −=+

 C (4.220) 
Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 
 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 
40
 Nếu thuật toán lặp là thuật toán Gauss–Newton thì: 
 1)( =tµ 
 ∑
=
= t
k
T kkkttt
1
)()(),()()( ϕϕβλR (4.221) 
 )(ˆ)()( tytyt −=ε (4.222a) 
 )()()()()1(ˆ)(ˆ 1 tttttt εγ ψθθ −+−= R (4.222b) 
 )]1()()()[()1()( −−+−= tttttt T RRR ψψγ (4.222c)