Bài giảng Điều khiển số - Chương 5: Tính ổn định của hệ thống điều khiển số

C.5: TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ
ÔN LẠI KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
• Phân biệt sự khác nhau giữa trạng thái 
xác lập của hệ thống và tính ổn định của 
hệ thống
5.1. Định nghĩa
• Hệ thống ổn định là hệ thống có quá trình 
quá độ tắt dần theo thời gian.
• Hệ thống không ổn định là hệ thống có 
quá trình quá độ tăng dần theo thời gian.
• Hệ thống ở biên giới ổn định là hệ thống 
có quá trình quá độ không đổi hoặc dao 
động không tắt dần.
Î Muốn xác định tính ổn định của hệ thống 
thì phải xác định hàm quá độ: giải phương 
trình vi phân. 
5.2. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH 
CỦA HỆ THỐNG LIÊN TỤC TUYẾN TÍNH
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến 
tính ổn định là tất cả các nghiệm của phương 
trình đặc tính đều có phần thực âm.
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến 
tính không ổn định là có ít nhất một nghiệm của 
phương trình đặc tính có phần thực dương.
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến 
tính ở biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm 
của phương trình đặc tính có phần thực bằng 
không và tất cả các nghiệm còn lại đều có phần 
thực âm.
Phương trình đặc tính: 
; 1,...,i i ip j i nα β= + =
1
0 1 1 0
n n
n na p a p a p a
−
−+ + ⋅⋅ ⋅ + + =
Nghiệm của phương trình đặc tính: 
Điều kiện cần và đủ về tính ổn định của 
hệ thống điều khiển liên tục tuyến tính
0
! 0
! 0 0
i
i
i j j i
α
α
α α ≠
⇔ ∀ <
⇔ ∃ >
⇔ ∃ = ∧ <
Hệ thống ổn định
Hệ thống không ổn định
Hệ thống ở biên giới ổn định
Không ổn định
Biên giới ổn 
định
p
Ổn định
Nếu thể hiện nghiệm số của 
phương trình đặc tính lên 
mặt phẳng phức – được 
gọi là mặt phẳng p thì các 
nghiệm số có phần thực 
âm nằm bên trái mặt 
phẳng phức; các nghiệm 
số có phần thực dương 
nằm bên phải mặt phẳng 
phức; còn các nghiệm có 
phần thực bằng không 
nằm trên trục ảo. Như vậy 
bên trái mặt phẳng phức 
là miền ổn định, bên phải 
mặt phẳng phức là miền 
không ổn định, trục ảo là 
biên giới.
Có thể phát biểu lại đk cần và đủ
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến 
tính ổn định là tất cả các nghiệm của phương 
trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức.
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến 
tính không ổn định là có ít nhất một nghiệm của 
phương trình đặc tính nằm ở bên phải mặt 
phẳng phức.
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến 
tính ở biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm 
của phương trình đặc tính nằm trên trục ảo và 
các nghiệm khác nằm ở bên trái mặt phẳng 
phức.
Các tiêu chuẩn ổn định
• Định nghĩa 
• Điều kiện cần và đủ 
Î Các tiêu chuẩn ổn định
1. Tiêu chuẩn ổn định đại sô:
- Tiêu chuẩn ổn định Routh
- Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
2. Tiêu chuẩn ổn định tần số:
- Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov
- Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: chỉ dành cho hệ thống kín
5.3. Điều kiện cần và đủ về tính ổn định của hệ 
thống điều khiển số
1 ln pTp z z e
T
= ⇒ =
( )i ii j Tp T
iz e e
α β+⇒ = =pi = αi + jβi
.i i iT j T j Ti iz e e z e
α β β= =
iT
iz e
α=
αi < 0 ↔ |zi| < 1
αi > 0 ↔ |zi| > 1
αi = 0 ↔ |zi| = 1
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số 
ổn định là tất cả các nghiệm của phương trình 
đặc tính đều có modun nhỏ hơn 1.
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số 
không ổn định là có ít nhất một nghiệm của 
phương trình đặc tính có modun lớn hơn 1.
• Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển số ở 
biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm của 
phương trình đặc tính có modun bằng 1 và tất 
cả các nghiệm còn lại đều có modun nhỏ hơn 1.
Nếu thể hiện nghiệm số của 
phương trình đặc tính lên 
mặt phẳng phức – được 
gọi là mặt phẳng z thì các 
nghiệm số có modun nhỏ 
hơn 1 nằm bên trong 
đường tròn đơn vị; các 
nghiệm số có modun lớn 
hơn 1 nằm bên ngoài 
đường tròn đơn vị; còn 
các nghiệm có modun 
bằng 1 nằm trên đường 
tròn đơn vị. Như vậy bên 
trong đường tròn đơn vị là 
miền ổn định, bên ngoài 
đường tròn đơn vị là miền 
không ổn định, đường 
tròn đơn vị là biên giới.
Không ổn định Biên giới ổn định
z
Ổn định 1
-1
Ví dụ
( )( )21( )
T
T T
eG z
z e z e
−
− −
−= − −• Hệ thống có hàm truyền đạt:
Các cực của G(z) là:
1. z1 = e-TÆ |z1| = e-T < 1
2. z2 = e-2TÆ |z2| = e-2T < 1
Æ Hệ thống đã cho ổn định
2
1( )
4
G z
z
= +• Hệ thống có hàm truyền đạt:
Các cực của G(z) là:
1. z1 = j2 Æ |z1| = 2 > 1
2. z2 = -j2 Æ |z2| = 2 > 1
Æ Hệ thống đã cho không ổn định
Không ổn định
Biên giới ổn 
định
p
Ổn định Không ổn định
Biên giới 
ổn định
z
Ổn định 1
-1x
x
x
v
1 1;
1 1
z vv z
z v
− += =+ − + Phép biến đổi lưỡng tuyến tính
Kết luận 1
• Sau khi thực hiện phép biến đổi lưỡng 
tuyến tính, điều kiện cần và đủ về tính ổn 
định của hệ thống điều khiển số cũng 
giống như điều kiện cần và đủ về tính ổn 
định của hệ thống điều khiển liên tục. Mặt 
phẳng v cũng chính là mặt phẳng p
Kết luận 2
• Định nghĩa – giống nhau
• Điều kiện cần và đủ - giống nhau 
Î Các tiêu chuẩn ổn định giống nhau
Î Sau khi thực hiện phép biến đổi 
lưỡng tuyến tính, có thể sử dụng các 
tiêu chuẩn ổn định của hệ thống điều 
khiển liên tục để xét tính ổn định của hệ
thống điều khiển số
Ví dụ
2
1( )
0.5
G z
z z
= + +• Xét tính ổn định của hệ thống có hàm truyền đạt:
2( ) 0.5z z z∆ = + +Đa thức đặc tính:
Thực hiện phép biến đổi lưỡng tuyến tính:
( )
2
1
1
2
2
1 1( ) 0.5
1 1
0.5 2.5
1
vz
v
v vz
v v
v v
v
+=− +
+ +⎛ ⎞∆ = + +⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
+ += −
2( ) 0.5 2.5v v v⇒∆ = + +
2( ) 0.5 2.5v v v⇒∆ = + +
0.5 2.5
1
2.5
• Lập bảng Routh:
Î Hệ thống đã cho ổn định
• Đối với hệ thống có đa thức đặc tính bậc 
một hoặc bậc hai, điều kiện cần cũng 
chính là điều kiện đủ Î hệ thống đã cho 
ổn định
5.4. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH JURY
• Hệ thống có đa thức đặc tính bậc 2:
∆(z) = a0z2 + a1z + a2
1
1
2 0
( ) 0
( ) 0
z
z
z
z
a a
=
=−
• ∆ >
• ∆ >
• <
• Hệ thống có đa thức đặc tính bậc 3:
∆(z) = a0z3 + a1z2 + a2z + a3
1
1
3 0
2 2
3 0 1 3 0 2
( ) 0
( ) 0
z
z
z
z
a a
a a a a a a
=
=−
• ∆ >
• ∆ <
• <
• − > −
Ví dụ
2
1( )
0.5
G z
z z
= + +
∆(z) = z2 + z + 0.5
1
( ) 2.5 0
z
z =• ∆ = > 9
1
( ) 0.5 0
z
z =−• ∆ = > 9
0.5 1• < 9
Æ Hệ thống đã cho ổn định
Ví dụ
3 2
1( )
3 3.25 0.5
G z
z z z
= − + −
∆(z) = z3 - 3z2 + 3.25z - 0.5
1
( ) 1 3 3.25 0.5 0.75 0
z
z =• ∆ = − + − = > 9
1
( ) 1 3 3.25 0.5 7.75 0
z
z =−• ∆ = − − − − = − < 9
0.5 1• − < 9
( ) ( ) ( )2 20.5 1 0.5 . 3 3.25.1• − − < − − − 8
Æ Hệ thống đã cho không ổn định