Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng - Đặng Văn Vinh

ơng trình1 5 
5
2
4
x 
 
   
 
 
 
VTR của A ứng với TR là tất cả các véctơ1
5
2 ,
4
0 
 
 
 
 



VTR của f ứng với TR véctơ x sao cho1  
5
2
4
E
x



 
  
 
 
 
(5 , 2 ,4 )x      (vì E là cơ sở chính tắc)
Tương tự cho trị riêng 2
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2
1 3 1
1 1 1
 
  
 
  
AMa trận của f trong E là:
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
1) Chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E 
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. ( 2)( 4) 0    
1 2 30, 2, 4    Trị riêng của ma trận A là:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
(1,1,1) (2,1,3); (1,0,1) (6,3,5); (1,1,0) ( 2, 1, 3).f f f     
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
2 2 2
( ) 1 3 1 0
1 1 1

   
     
  
    
x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:
Giải hệ phương trình1 0 
1
0
1
x 
 
  
 
 
 
VTR của A ứng với TR là tất cả các véctơ1 0
1
0 ,
1
 
 
 
 
 



VTR của f ứng với TR véctơ x sao cho1   0Ex


 
 
 
 
 
(1,1,1) 0(1,1,1) (1,1,0)x     
Tương tự cho trị riêng 2 3, 
(2 ,2 , ), 0    
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 1
2 1 2
14 25 14
  
    
 
 
 
A
vì ma trận của f trong E đã cho sẵn là A.
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cơ sở là
3 3:f R R
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E 
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
2( 3)( 6) 0   
1 23, 6  Trị riêng của ma trận A là:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
1) Hiển nhiên chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E 
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
1 2 1
( ) 2 4 2 0
14 25 11

     
       
  
  
  
x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:
Giải hệ phương trình1 3 
1
1
1
x 
 
   
 
 
 
VTR của A ứng với TR là tất cả các véctơ1
1
1 ,
1
0 
 
 
 
 



VTR của f ứng với TR véctơ x sao cho1  Ex



 
  
 
 
 
(1,1,1) (1,2,1) (1,1,2)x      
Tương tự cho trị riêng 2
( ,0,2 ), 0   
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 1
2 1 2
14 25 14
  
    
 
 
 
A
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cơ sở là
3 3:f R R
Ví dụ
1) Tính 2)
{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E 
(2,4,3)f (2,0,4)f
Để giải câu 1) và 2) ta sử dụng công thức    ( ) E Ef x A x
Tuy nhiên theo ví dụ trước ta thấy véctơ (2,0,4) là VTR của f
tương ứng với TR 1 3 
Vậy (2,0,4) (2,3. 0,4) (6,0,12)f  
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Theo định nghĩa của trị riêng, véctơ riêng của axtt ta có:
Biết ảnh của một cơ sở của R3, suy ra ta có thể tìm được f(x).
Tìm ánh xạ tuyến tính , biết f có 3 trị riêng là3 3:f R R
Ví dụ
(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)
1 2 12, 1, 0    
và 3 véctơ riêng tương ứng là
(1,1,1) 2(1,1,1) (2,2,2)f  
(1,2,1) 1(1,2,1) (1,2,1)f  
(1,1,2) 0(1,1,2) (0,0,0)f  
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong chương trước ta biết ánh xạ tuyến tính là một ma trận A
của ánh xạ trong một cơ sở E nào đó.
Cho ánh xạ tuyến tính :f V V
Khi làm việc với axtt f ta làm việc với ma trận A này.
Trong không gian véctơ V có vô số cơ sở E, F, G,..
Tương ứng với các cơ sở đó có vô số ma trận của f trong các cơ
sở khác nhau đó.
Mỗi ma trận đều đại diện (thay thế) cho ánh xạ tuyến tính. Khi
làm việc với axtt, ta làm việc với một trong các ma trận này.
Chọn một ma trận có cấu trúc đơn giản nhất, nếu có thể ta chọn
ma trận chéo D.
Bài toán đặt ra: Tìm cơ sở B (nếu có) của V sao cho ma trận
của f trong B là ma trận chéo D.
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ tuyến tính có thể coi là một ma trận nên chéo hóa ánh
xạ tuyến tính cũng là chéo hóa ma trận.
Ánh xạ tt chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận chéo hóa được.
Ma trận của ánh xạ tt trong các cơ sở khác nhau thì đồng dạng
nên chúng có cùng đa thức đặc trưng, cùng tập trị riêng.
Một ma trận của f trong cơ sở A chéo hóa được thì ma trận của
f trong các cơ sở khác cũng chéo hóa được và ngược lại.
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính gọi là chéo hóa được nếu tồn tại
cơ sở B của V, sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận
chéo D.
:f V V
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E.
Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được)
Nếu A chéo hóa được, thì f chéo hóa được.
Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận chéo D.
Bước 1. Chọn một cơ sở E của không gian véctơ V.
Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính :f V V
Bước 3. Kết luận
Nếu A không chéo hóa được, thì f không chéo hóa được.
Khi đó cơ sở B cần tìm có: tọa độ mỗi véctơ của B trong cơ sở
E là một cột của ma trận P.(Chú ý!!)
Ma trận của f trong cơ sở B là ma trận chéo D.
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận của f trong E là
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) (2 2 , 2 2 ,14 25 14 )f x x x x x x x x x x       
3 3:f R R
Ví dụ
Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B
là ma trận chéo D, tìm D. (Tương đương: chéo hóa f nếu được).
2) Chéo hóa (nếu được) ma trận A. 2( 3)( 6) 0   
1) Chọn cơ sở chính tắc của R3 { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)E 
2 2 1
2 1 2
14 25 14
A
  
    
 
 
 
Kiểm tra thấy BHH của nhỏ hơn BĐS của nó.2 6 
Vậy A không chéo hóa được, suy ra f không chéo hóa được.
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R
Ví dụ
Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B
là ma trận chéo D, tìm D. (Tương đương: chéo hóa f nếu được).
(1,1,1) (1, 7,9); (1,0,1) ( 7,4, 15); (1,1,0) ( 7,1, 12).f f f       
1 4 4
8 11 8
8 8 5
  
   
 
  
A
Bước 1. Tìm ma trận của f trong { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E 
Bước 2. Chéo hóa A (nếu được).
Phương trình đặc trưng: 2( 1)( 3) 0   
1 1  Bội đại số = 1 Bội hình học = 1
2 3   Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm VTR của f
2 3:  
1 1:  2
2
x



 
  
 
  
Hệ 1( ) 0A I X 
VTR của f ứng với TR là x sao cho1 1    2
2
E
x



 
 
 
  
(1,1,1) 2 (1,0,1) 2 (1,1,0)x       ( , ,3 )   
x
 


 
  
 
 
 
Hệ 2( ) 0A I X 
VTR của f ứng với TR là x sao cho2 3    Ex
 


 
 
 
 
 
Chọn một VTR của f ứng với TR là: 1 (1, 1,3)b  1 1 
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là:
(2 2 , 2 ,2 )x          
( )(1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)x        
Chọn hai VTR độc lập tuyến tính của f ứng với TR là2 3  
(2,1,2) (2,2,1)x    
2 3(2,1,2); (2,2,1)b b 
Cơ sở B cần tìm là: { }(2,1,2)(1, 1, (2,; 23 1)) ; ,B 
0 0
0
1
30 0
3 0D 

 
 
 
 
 
Bài tập
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 4 2
1) 3 4 0 ; 1,2,3.
3 1 3

  
   
 
  
A
1. Chéo hóa các ma trận sau (nếu được)
4 2 2
2) 2 4 2 ; 2,8.
2 2 4

 
  
 
 
 
A
2 2 1
3) 1 3 1 ; 0,1,4.
1 1 0
A 
 
   
 
  
4 0 2
4) 2 5 4 ; 5,4
0 0 5

 
  
 
 
 
A
7 4 16
 2 5 8 ; 3,35) ,1.
2 2 5

 
  
 
    
A
0 4 6
6) 1 0 3 ; 2,2,1.
1 2 5
A 
  
    
 
 
 
Bài tập
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Chứng minh rằng nếu A chéo hóa và khả nghịch thì A-1
cũng chéo hóa và khả nghịch.
3. Chứng tỏ nếu ma trận vuông A cấp n có n VTR độc lập
tuyến tính thì ma trận AT cũng có n VTR độc lập tuyến tính.
4. Chứng tỏ nếu B đồng dạng với A và A chéo hóa được thì
B cũng chéo hóa được
5. Chứng tỏ nếu B = P-1AP và x là VTR của A tương ứng với
TR , thì P-1x là VTR của B ứng với TR này.
6. Chứng tỏ nếu A đồng dạng với B, thì rank(A) = rank(B).
7. Chứng tỏ nếu A chéo hóa được, thì A và AT đồng dạng.
8. Chứng tỏ nếu A đồng dạng B, thì A2 và B2 đồng dạng.