Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 6: Ánh xạ tuyến tính - Đặng Văn Vinh

----------------------------------
Ánh xạ cho bởi23: RRf 
1 2 3 1 2 3 1 3( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )     x x x x f x x x x x x
Ví dụ
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
Vậy ma trận cần tìm là
{ } ; { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (1,1),(1,2)E F 
(1,1,1) (0,3)f  [ ](1,
3
1,1)
3
Ff
 
   
 

(1,0,1) ( 2,3)f   [ ](1,
7
0,1)
5
Ff
 
   
 

(1,1,0) (3,2)f  [ ](1,
4
1,0)
1
Ff
 
   
 
7
5
3
3
4
1
A

 
  




III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó tồn tại duy nhất
một ma trận AE,F cở mxn sao cho
:f V W
,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x
với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng.
Định lý
2. Cho ma trận trên trường số K. Khi đó tồn tại
duy nhất một ánh xạ tuyến tính thỏa
( )ij m nA a 
: n mf K K
,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x
Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận
và ngược lại.
Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thường không phân biệt
hai khái niệm này.
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cặp cơ sở
3 2:f R R
1. Tìm f (3,1,5),
2 1 3
0 3 4
E FA
 
  
 
Bước 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) trong cơ sở E:
Bước 2. Sử dụng công thức ,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x
Bước 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc.
3
(3,1,5) 2
2
[ ]E
 
 
 
  
3
2 1 3 14
[ (3,1,5)] 2
0 3 4 2
2
Ff
 
               
(3,1,5) 14(1,1) 2(2,1) (10,12)f   
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cặp cơ sở
3 2:f R R
2. Tìm f (x)
,
2 1 3
0 3 4
E FA
 
  
 
1 2 3( , , ) x x x x (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)    
1 2 3 1 2 1 3; ;x x x x x x x          
[ ]
1 2 3
1 2
1 3
E
x x x
x x x
x x
   
   
 
  
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ ]
1 2 3
1 2
1 3
2 1 3
( )
0 3 4
F
x x x
f x x x
x x
   
         
Theo công thức ta có: [ ] [ ],( ) .F E F Ef x A x
[ ] 1 2 3
1 2 3
4 5
( )
7 3 4F
x x x
f x
x x x
   
     
1 2 3 1 2 3( ) ( 4 5 )(1,1) (7 3 4 )(2,1)f x x x x x x x       
1 2 3 1 2 3( ) (10 5 3 ,3 2 )f x x x x x x x     
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính.3 3:f R R
Giả sử
1. Tìm f(2,1,5).
2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ,2 ,3 4 )f x f x x x x x x x x x x x x       
3. Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1).
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của
f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là
1. Tìm f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf.
,
1 1 1
2 3 3
1 2 4
E EA
 
 
 
 
 
3 3:f R R
Cách 1. Để tìm kerf, có thể tìm f(x) rồi làm tiếp.
Cách 2. ker ( ) 0x f f x  
Giả sử
1
2
3
[ ]E
x
x x
x
 
 
 
 
 
[ ( )] 0Ef x  , .[ ] 0E E EA x 
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 2 2 3 3x x e x e x e   
1
2
3
1 1 1
2 3 3 0
1 2 4
x
x
x
   
   
  
  
  
6
[ ] 5Ex



 
   
 
 
 
6 (1,1,1) 5 (1,0,1) (1,1,0)x      
(2 ,7 , )x     (2,7,1)
Vậy là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf.(2,7,1){ }E 
dim( er ) =1K f
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f
trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} là
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 3:f R R
Ví dụ
1. Tính f (4,3, 5)
,
1 0 1
2 1 4
1 1 3
E EA
 
 
 
 
 
2. Tìm cơ sở và chiều của Imf.
VI. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e e e E e e e Cho hai cơ sở của kgvt V:
 (1)1 1 2 2 ... n nx V x x e x e x e      
 (2)' ' ' ' ' '1 1 2 2 ... n nx x e x e x e   
'
1 11 1 21 2 1... n ne a e a e a e   
'
2 12 1 22 2 2... n ne a e a e a e   

'
1 1 2 2 ...n n n nn ne a e a e a e   
'
1 11 1 21 2 1
'
2 12 1 22 2 2
'
1 1 2 2
( ... )
( ... ) ...
( ... )
n n
n n
n n n nn n
x x a e a e a e
x a e a e a e
x a e a e a e
    
     
   
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 & (2)
'
111 12 11
'
21 22 22 2
'
1 2 ,
(1)
n
n
n n n nn n
xa a ax
a a ax x
a a ax x
   
   
        
         


    

11 12 1
21 22 2
1 2 ,
n
n
n n n n
a a a
a a a
P
a a a
 
 
 
 
 
 


   

Ma trận được gọi là ma trận
chuyển cơ sở từ E sang E’.
Ta có: [ ] [ ] '.E Ex P x
Cấu trúc ma trận P:
 ' ' '1 2[ ] [ ] [ ]E E n EP e e e 
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)}Trong R3 cho cặp cơ sở:
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’.
E’ = {(1,1,2); (1,2,1); (1,1,1)}
Tìm tọa độ của véctơ trong E:
'
1 (1,1,2)e 
'
1
2
0
1
[ ]Ee
 
 


 


Tương tự ta tìm được: '2
2
1
0
[ ]Ee
 
 


 



'
3[ ]
1
0
0
Ee
 
 
 
 
 
2
1
0
1
0
0
2
0
1
P
 
  
 
 
 

III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e e e E e e e Cho hai cơ sở của V:
Cho ánh xạ tuyến tính W:f V 
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,m mF f f f F f f f Cho hai cơ sở của W:
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
Q là ma trận chuyển cơ sở từ F vào F’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F.
Khi đó là ma trận của f trong cặp cơ sở E’ và F’.1 EFQ A P

[ ( )] [ ]F EF Ef x A x ' '[ ( )] [ ]EFF EQ f x A P x 
' '
1[ ( )] [ ]EFF Ef x Q A P x
 
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E F
E’ F’
A
P Q
Q-1AP
Tóm tắt slide vừa rồi trong sơ đồ như sau:
Chú ý: Q là ma trận chuyển cơ sở từ F sang F’, nên Q khả nghịch.
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e e e E e e e Cho hai cơ sở của V:
Cho ánh xạ tuyến tính V:f V 
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E.
Khi đó là ma trận của f trong cơ sở E’.1P AP
' '
1[ ( )] [ ]
E E
f x P AP x 
E E
E’ E’
A
P P
P-1AP
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f
trong cơ sở E = {(1,2,1); (1,1,2); (1,1,1)} là
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 3:f R R
Ví dụ
,
1 0 1
2 1 4
1 1 3
E EA
 
 
 
 
 
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
trong cơ sở chính tắc.
Cơ sở chính tắc: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)F 
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Ma trận cần tìm là 1B P AP
Tìm ma trận P lâu. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ
của F trong E. Ma trận là ma trận chuyển từ F sang E.1P
1
1 1 1
2 1 1
1 2 1
P
 
 
 
 
 
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f
trong cơ sở là
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
: f V V
Ví dụ
,
2 1 3
1 2 0
1 1 1
 
 
 
  
E EA
Tìm ma trận của f trong cơ sở
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Ma trận cần tìm là 1B P AP
Tìm ma trận P. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của F
trong E.
1 2 2
0 1 0
0 1 1
P
 
 
 
  
{ , ,2 }1 2 3 1 2 3 1 2 32E e e e e e e e e e      
{ , , }1 2 3 1 2 2 3F e e e e e e e    
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai ma trận vuông A và B cấp n trên cùng trường K.
Định nghĩa hai ma trận đồng dạng
A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch
P sao cho P-1 A P = B.
Hệ quả
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, E.
Cho ánh xạ tuyến tính V.:f V 
B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở F, F.
Khi đó A và B là hai ma trận đồng dạng.