Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ - Đặng Văn Vinh

ợp tuyến tính của M thì hạng khơng thay đổi. Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính28Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 11 Tìm hạng của họ véctơ sau.Hạng của họ M bằng 2. Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính29Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Họ véctơ hàng của A Họ véctơ cột của A Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính30Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý về hạng:Cho A là ma trận cỡ mxn trên trường K.Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ hàng A.Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ cột của A.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính31Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 11 Tìm hạng của họ véctơ sauLời giải M là họ véctơ hàng của A. Suy ra hạng của M bằng hạng r(A) của ma trận A.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính32Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho tập hợp M chứa m véctơ.1. Nếu hạng của M bằng với m (số véctơ của M) thì M độc lập tuyến tính.2. Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số véctơ của M ) thì M phụ thuộc tuyến tính.3. Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm véctơ x, thì x là tổ hợp tuyến tính của M.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính33Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 7 Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.M phụ thuộc tuyến tính vì hạng của M bằng 2, ít hơn số vécto trong M.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính34Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 8 Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.M độc lập tuyến tính vì hạng của M bằng 3, bằng số vécto trong M.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính35Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 9 Hãy xác định tập hợp các ma trận sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. M độc lập tuyến tính vì hạng của M bằng 4, bằng số vécto trong M.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính36Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.3. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 10 Xác định tất cả các giá trị của hằng số thực m, để họ véctơ sau phụ thuộc tuyến tínhM phụ thuộc tt khi và chỉ khi hạng của M < số vécto trong M Suy ra, m = -1Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính37Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa tập sinhTập hợp M được gọi là tập sinh của khơng gian véctơ V nếu mọi véctơ x của V là tổ hợp tuyến tính của M. M sinh ra VKhơng gian véctơ V được sinh ra bởi MKhoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính38Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 12 Kiểm tra tập sau đây cĩ là tập sinh của khơng gian R3Khi đĩ x là tổ hợp tt của M, hay M sinh ra R3. Hệ cĩ nghiệm Giả sửKhoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính39Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 13 Kiểm tra tập sau đây cĩ là tập sinh của khơng gian R3Tồn tại x để hệ vơ nghiệm, ví dụ: Hay khơng là tổ hợp của M. M khơng sinh ra R3. Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính40Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 14M cĩ là tập sinh của khơng gian P2[x]?Tồn tại p(x) để hệ vơ nghiệm, ví dụ: Suy ra M khơng là tập sinh. Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính41Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}. Hỏi M1 = {2x, x + y, z} cĩ là tập sinh của V?Cĩ nghĩa là v là tổ hợp tuyến tính của M1 là tổ hợp tuyến tính của M ( vì M là tập sinh) Hay M1 sinh ra vectơ v, mà vì v tùy ý nên M1 sinh ra kgian VKhoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính42Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}. Hỏi M2 = {x, x+y, x - y} cĩ là tập sinh của V?Trường hợp 1. z là tổ hợp tuyến tính của x và y. Thật vậy, ta chứng minh M2 khơng sinh ra được véctơ z.Khi đĩ ta chứng minh M2 là tập sinh của khơng gian véctơ V Trường hợp 2. z khơng là tổ hợp tuyến tính của x và y. Khi đĩ ta chứng minh M2 là khơng tập sinh của khơng gian véctơ V.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính43Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M- độc lập TTM sinh ra VM- cơ sở của VM cơ sở hữu hạnV – là khơng gian hữu hạn chiều dim V = Số véctơ trong một cơ sở của VNếu V khơng được sinh ra bởi tập hữu hạn, thì V được gọi là khơng gian vơ hạn chiềuKhoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính44Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ Trong khơng gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V. Hỏi M1 = {2x + y + z, x + 2y + z, x + y + z} cĩ là cơ sở của V?Chứng minh rằng M1 là tập sinh của V.Chứng minh rằng M1 độc lập tuyến tính bằng định nghĩa.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính45Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ Trong khơng gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V. Hỏi M1 = {2x, 3y, z, x + y + z} cĩ là tập sinh của V?Đáp án. M1 là cơ sở của V. Thật vậy chỉ cần chứng tỏ 2x, 3y, z là tập sinh của V.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính46Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minhGiả sử V là khơng gian hữu hạn chiều.Định lý.1. Tồn tại vơ số cơ sở của khơng gian vectơ V.2. Số lượng vectơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính47Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính48Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------dim(V) =nMọi tập con của V chứa ít hơn n véctơ khơng sinh ra V. Mọi tập con của V chứa nhiều hơn n véctơ thì phụ thuộc tuyến tính. Mọi tập độc lập tuyến tính cĩ đúng n véctơ là cơ sở của V Mọi tập sinh của V cĩ đúng n véctơ là cơ sở của V Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính49Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho - tập con của V , H = Span a. Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính, thì cĩ thể bỏ đi một phần tử của S ta vẫn được tập sinh của H.b. Nếu S là tập độc lập tuyến tính, thì khơng thể bỏ đi bất kỳ phần tử nào của S để được tập sinh của H.Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính50Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 14 Kiểm tra tập hợp sau cĩ là cơ sở của R3.Ta cĩ dim(R3) = 3.M là cơ sở khi và chỉ khi M cĩ 3 vécto độc lập tuyến tính. Kiểm tra thấy M là cơ sở. Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính51Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 14 Kiểm tra tập hợp sau cĩ là tập sinh của R3.Ta cĩ dim(R3) = 3.M là tập sinh khi và chỉ khi M cĩ hạng bằng 3. Suy ra M là tập sinh (khơng là cơ sở) Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính52Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 20104.4. Cơ sở và chiều ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 15 Tập hợp sau đây cĩ là cơ sở của khơng gian P2[x]?Ta cĩ dim(P2[x]) = 3.M là cơ sở khi và chỉ khi M cĩ 3 vécto độc lập tuyến tính. Kiểm tra thấy M khơng là cơ sở. Đại số tuyến tính. Chương 4@Copyright 201053Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính