Bài giảng Computer graphics and virtual reality - Bài 8: Mô hình bề mặt – Surface. Các phương pháp xây dựng - Lê Tấn Hùng

u,v E [ 0, 1]
z=z(u,v) 
Q(u,v) = Q[ x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) ]
Thành phần
– u,v là các tham biến
– Các điểm Q(0,0) Q(0,1), Q(1,0), Q(1,1) là cận của mảnh
– Các đường cong Q(1,v), Q(0,v), Q(u,0), Q(u,1) là các biên của mảnh
– Đạo hàm riêng tại điểm Q(u,v) xác định vector tiếp tuyến theo hướng u, v
5
Kết nối mảnh tứ giác
z Thực thể hình học biểu diễn thông
qua các mảnh cùng dạng
z Các mảnh có thể nối với nhau theo
các hướng u,v khi 2 mảnh cùng
hướng đó
z Nếu mọi điểm trên biên của 2 mảnh = 
nhau, hay 2 biên = nhau. 2 mảnh liên
tục bậc Co
z Nếu 2 biên = nhau và đạo hàm bằng
nhau trên cùng 1 hướng thi 2 mảnh
gọi là kết nối bậc C1
6
Hệ tọa độ 
Barycentric Coordinates ?
Tập các điểm P1,P2 ... Pn
Tập các tổ hợp của các điểm đó
k1P1 + k2P2 + k3P3 ... + knPn
Với 
k1 + k2 + k3 + ... + kn =1
các điểm tạo thành không gian affine với các gias trị toạ 
độ nates
k1,k2,k3,..kn
được gọi là hệ toạ độ barycentric.
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
2
7
Tam giác 
Triangular
Trong tam giác các điểm có dạng P1, P2, P3
Hệ số: k1, k2, k3 E [ 0, 1]
k1 + k2 + k3 = 1
P = k1P1 + k2P2+ k3P3
Nếu Hệ số ki > 1 hoặc <0 điểm P sẽ nằm ngoài tam 
giác Q
Nếu Hệ số ki = 1 hoặc =0 điểm P sẽ nằm trên cạnh
tam giác
8
Bi-Linear
z Là mặt nội suy từ 4 điểm P00; P01; P10; P11 trong không gian
Với (u,v) [0; 1] [0; 1]
P(u,v) = (1 - u)(1 - v)P00 + (1 - u)vP01 + u(1 - v)P10 + uvP11
z Dùng để mô tả các đối tượng có hình dạng tứ giác như cờ, khăn ...
z Mở rộng cho các đối tượng cùng loại
9
Mô hình hoá các mặt cong
Surface Patches
zRuled Surface
zCoon-Boolean Sum
zSurface of Revolution
zSwept Surface 
– Extrusion
10
Ruled Surface
z Bề mặt được xây dựng bằng cách
cho trượt 1 đoạn thẳng trên 2 
đường cong 
z Các mặt kẻ nhận được bằng phép
nội suy tuyến tính từ hai đường
cong biên cho trước tương ứng
với hai biên đối diện của mặt kẻ
P1(u) và P2(u)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
1.5
2
2.5
3
Ruled Surface (Matke)
Duong cong Bspline
Duong cong Bezier
•Phương trình mặt kẻ:
Q(u,v) = P2(u)v + P1(u)(1-v)
Nếu hai đường cong cho trước tương ứng là P1(v) và P2(v)
Thì mặt kẻ có phương trình
Q(u,v) = P1(v)(1-u) + P2(v)u ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)(2
)(1
 u] u) - [(1 
vP
vP
11
Mặt tròn xoay
Revolution surface
z Mặt được xây dựng bởi đường
thẳng hay 1 đường cong phẳng, 
quanh một trục trong không gian
z Giả sử đường cong phẳng có dạng
P(t)=[x(t) y(t) z(t)] 0≤t≤tmax
z Ví dụ: quay quanh trục x một thực thể nằm trên mặt phẳng xy, phương
trình bề mặt là
Q(t, φ ) = [ x(t) y(t) cosφ z(t) sinφ ] πφ 20 ≤≤
12
VD - Mặt tròn xoay
P1[1 1 0] và P2[6 2 0] nằm trong mặt phẳng xy. Quay đường thẳng
quanh trục x sẽ được một mặt nón. Xác định điểm của mặt tại
t=0.5, φ =π/3.
Phương trình tham số cho đoạn thẳng từ P1 tới P2 là:
P(t) = [ x(t) y(t) z(t) ] = P1 + (P1 - P2)t 0 ≤ t ≤ 1
với các thành phần Đề-các:
x(t) = x1 + (x2- x1)t = 1+5t
y(t) = y1 + (y2- y1)t = 1+t
z(t) = z1 + (z2- z1)t = 0
Dùng phương trình
Q(1/2, π/3) = [ 1+5t (1+t)cosφ (1+t)sinφ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4
33
4
3
2
7
3
sin
2
3
3
cos
2
3
2
7 ππ
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
3
13
Mặt trượt - Sweept Surface 
z Sweep surface là mặt được tạo bởi
bằng cách trượt một thực thể
z ví dụ: một đường thẳng, đa giác, một
đường cong, một hình dọc theo một
đường trong không gian.
z Q(u,v) = P(u)*[ T(v) ]
P(u) thực thể cần trượt
[ T(v) ] là ma trận biến đổi([ T(v) ] có thể là
ma trận tịnh tiến, quay, hay tỉ lệ hoặc
là kết hợp của nhiều phép biến đổi đó) 
Ví dụ:
P1[0 0 0], P2[0 3 0]. 
P(t) = P1 + (P2 – P1)*u = [0 3u 0 1] 
0 ≤ u,v ≤ 1 ⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
ΠΠ−
ΠΠ=
10010
0)2cos()2sin(0
0)2sin()2cos(0
0001
)(
v
vv
vv
vT
14
0
2
4
6
8
10
-3
-2
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
2
4
6
8
10
-2
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Ví dụ về mặt Sweept
Extrusion
z Hình vuông xác định bởi 4 đỉnh : 
P1[0 -1 0], P2[0 -1 -1],
P3[0 1 -1], P4[0 1 1]
z Đường cong trượt
x= 10v y= cos(Πv) – 1
Quay 1 góc khi trượt
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
=
1110
1110
1110
1110
1110
4
3
2
1
)(
P
P
P
P
uP
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
−Π
=
101)cos(10
0100
0010
0001
)(
vv
vT
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
−Π
−
101)cos(10
0100
00)cos()sin(
00)sin()cos(
vv
ϕϕ
ϕϕ
15
Boolean sum
Coon surface
Mặt được xây dựng trên 4 điểm và
các đường cong biên
S(u,v) Mặt nội suy trên 4 đường biên
S(u; v) = S1(u, v) + S2(u, v) - P(u; v)
Với:
P(u,v) = (1-u)(1-v)P00 + (1-u)vP01 + u(1-v)P10 + uvP11
S1(u,v) = vA0(u) + (1-v)A2(u)
S2(u; v) = uA1(v) + (1-u)A3(v);
P là các đỉnh của mảnh 4
Ai(u) là các phương trình đường biên
16
Example 
Boolean Sum Surface
Với u = 0
S(0,v) = S1(0,v) + S2(0,v) - P(0, v)
= v A0(0) + (1 - v)A2(0) + 0 A1(v)
+ 1 A3(v) - (1 - v)P00 - v P01
= v P01 + (1 - v)P00 + A3(v) -(1 - v)P00 - v P01
= A3(v)
17
Surface from Curves
z Hermite
z Bezier
z B-Spline
18
Mặt cong bậc ba Hermite
( ) ∑∑
= =
≤≤=
3
0
3
0
10
i j
ji
ij vuvuCvuQ ,,
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
0 0 0 1 
0 1 0 0 
123 3
1 1 22 
HM
z Q(u, v) = [U ][C ][V ]T
0 ≤ u, v <1
z Q(u, v) = [U][MH] [B] [MH]T [V]T
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
4
19
Mảnh-patch Bézier
z Mô Hình dạng tổng quát
z Mảnh Bezier được hình thành trên
phép trượt của đường cong Bezier.
z Việc xây dựng nên mảnh Bezier dưới
các điểm kiểm soát, tạo nên đa diện
kiểm soát
z Phương trình tổng quát của mặt cong 
tham biến Bezier có dạng: 
u,v E [0, 1]
20
Mảnh Bezier bậc 3
z Mặt cong Bezier bậc 3 là mặt phổ biến nhất trong
CG, vì đi độ đơn giản của nó
z Hình thành trên 4x4 diểm kiểm soát
z Công thức có dạng
z Đa thức Bernstein có dạng:
( ) ( ) ( ) ij
i j
jmin PvBuBvuQ ∑ ∑
= =
=
3
0
3
0
,,,
21
Tính chất của mảnh Bézier
z Tính bao lồi: Mặt cong 
Bezier luôn nằm trong đa
diện lồi của các điểm kiểm
soát
z Mặt cong đi qua 4 điểm cận
P00, P01,P10,P11 hay chính
xác
Q(0,0)=P00, Q(0,1)=P01, 
Q(1,0)=P10, Q(1,1)=P11
z Đường cong biên của Mặt
Bezier là đường cong Bezier
z Mặt cong là liên tục và 
đạo hàm riêng các bậc 
tồn tại của nó cũng liên 
tục.
z Đạo hàm riêng của mặt
cong có dạng:
22
z Q(u,v) là mọi điểm nằm trên mặt cong và
( ) [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
1
v
v
v
1000
3300
3630
1331
BBBB
BBBB
BBBB
BBBB
0001
0033
0363
1331
1uuuv,uQ
2
3
33323130
23222120
13121110
03020100
23
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TT VMBNUv,uQ =
[N] và [M] được biểu diễn = 
[ ] [ ]1uuuU 23=
[ ] [ ]1vvvV 23=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
0001
0033
0363
1331
23
Nối 2 miếng Bezier
Bậc 3(Bi-cubic)
z Hai mảnh Q và R cùng chung
tham biến tại biên (Giả sử u)
z Hai đường cong biên phải
bằng nhau Q(1,v)=R(0,v)
z Hệ số của cột cuối ma trận Q 
= cột đầu ma trận R
z Tương tự: Nếu theo hướng
của v thì hàng sẽ thay cột ma 
trận
24
z Bậc của mặt cong theo mỗi hướng của tham biến bằng số điểm kiểm soát trừ 1.
z Tính liên tục hay đạo hàm của mặt theo mỗi tham biến bằng số điểm kiểm soát
trừ 2.
z Hình dạng của mặt biến đổi theo các cạnh của đa giác kiểm soát.
z Mặt lưới chỉ đi qua các điểm góc cạnh của đa giác kiểm soát.
z Mặt lưới chỉ nằm trong phần giới hạn bởi lưới của đa giác lồi kiểm soát.
z Mặt lưới không thay đổi dưới tác động của các phép biến đổi affine.
z Mỗi đường biên của mặt Bezier là 1 đường cong Bezier với mặt cong bậc ba
Bezier các đường cong biên luôn đảm bảo là các đường Bezier bậc 3.
z Như vậy lưới đa giác cho bề mặt sẽ là 4 × 4
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
5
25
ĐÁNH GIÁ MẶT CONG BEZIER
z ƯU ĐIỂM
– Dễ trong xây dựng chương trình
– Dễ trong render
– Là mặt cong mạnh biểu diễn được nhiều hình phức
tạp
z NHƯỢC ĐIỂM
– Không thể mô tả được hình cầu
– Điều kiện để nối 2 mặt cong cần rất nhiều điểm. Dẫn
đến mất khả năng điều khiển
26
Mặt cong B-Spline
z Phương trình mặt B-spline
z Pij là điểm kiểm soát
z N và M là đa thức B-spline
z Với các mặt cong mở mặt
cong phụ thuộc vào các
knot vector
ji
n
i
m
j
hjki PwMuNwuQ ,
1 1
,, .)().(),( ∑∑
= =
=
⎩⎨
⎧ <≤= +
otherwise
xux
uN iiki 0
1
)( 1,
1
1,1
1
1, )().()()()(,
++
−++
−+
−
−
−+−
−=
iki
kiki
iki
kii
xx
uNux
xx
uNxu
ukNi
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≤≤++−=
≤≤+−=
≤≤=
)1(1
)1(
10
kninknx
nikkix
kix
i
i
i
27
Đặc điểm của mặt cong
B-Spline
z Số bậc caonhất của bề mặt theo mỗi hướng thì bằng số điểm kiểm
soát -1 theo hướng đó.
z Đạo hàm riêng của phương trình bề mặt theo mỗi tham biến có bậc
bằng số điểm kiểm soát theo tham biến đó trừ 2.
z Bề mặt B-spline thì không chịu ảnh hưởng của phép biến đổi anfine. 
Bề mặt sẽ thay đổi nếu ta thay đổi đa giác kiểm soát.
z ảnh hưởng của một điểm kiểm soát đơn được giới hạn bởi + - k/2 
h/2 khoảng đối với mỗi tham số.
z Nếu số đỉnh của đa giác kiểm soát bằng số bậc theo mỗi tham biến
và không có điểm kép nào thì mặt B-spline sẽ chuyển thành mặt
Bezier.
z Nếu các đa giác kiểm soát có dạng tam giác thì lưới đa giác kiểm
soát sẽ có hình dáng gần giống với bề mặt cong.
z Mỗi mặt B-Spline luôn nằm trong bao lồi của đa giác kiểm soát .
z Mỗi mặt B-Spline có dáng điệu luôn bám theo hình dáng của đa giác
kiểm soát.
28
Mặt cong tham biến bậc 3
z Dựa vào việc xây dựng và tạo
bề mặt toán học trên những
điểm dữ liệu
z Dựa trên việc xây dựng nên bề
mặt phụ thuộc vào biến số có
khả năng thay đổi một cách
trực diện thông qua các tương
tác đồ hoạ. 
z Q( u, v ) = [ x y z ]
z = [ x( u, v ) y( u 
,v ) z( u, v ) ] umin≤ u ≤ umax , vmin ≤ v ≤ vmax
29
z Bậc cao nhất của mặt theo mỗi hướng bằng số điểm
kiểm soát -1 theo hướng đó
z Đạo hàm riêng của phương trình bề mặt theo một
hướng có bậc bằng số điểm kiểm soát -2.
z Mặt B.spline không thay đổi dưới tác động của các
phép biến đổi affine
z Nếu số điểm kiểm soát bằng số bậc của mặt cong 
cộng 1 thì mặt B-spline chuyển dạng Bezier.