Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 7: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc - Huỳnh Thái Hoàng

)()()1(...)1()( 0110 kubkyakyankyankya =++++−+++ nn−
‘ Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Bi á đ à i â đ ë b è í hi äŽ en au t en at ang t n eu ra;
Ž Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i−1 một 
chu kỳ lấy mẫu
)1()(
)()(
12
1
+=
=
kxkx
kykx
)1()( 23 += kxkx
M
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 32
)1()( 1 += − kxkx nn
Thành lập PTTT từ PTSP
Trường hơp 1 (tt)
⎩⎨
⎧ +=+
)()(
)()()1(
kk
krkk dd
C
BxAx
 ï 
‘ Phương trình trạng thái: =y d x
trong đó:
⎤⎡
⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢ 0100
0010
MMMM
K
K
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡ 0
0
M⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
)(
)(1
kx
kx
⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢=
−− 121
1000
aaaa nnn
d
K
A
⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢=
0
0
b
dB
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
=
)(
)( 2
kx
k Mx
⎥⎦⎢⎣
−−−−
0000 aaaa
K ⎥⎦⎢⎣ 0a
[ ]0001C
n
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 33
K=d
Thành lập PTTT từ PTSP
Thí du trường hơp 1 ï ï 
‘ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:
)(3)(4)1(5)2()3(2 kukykykyky =++++++
⎪
⎪⎨
⎧
+=
=
)1()(
)()(
12
1
kxkx
kykx
‘ Đặt các biến trạng thái:
⎩ += )1()( 23 kxkx
‘ Phương trình trạng thái: ⎨⎧ +=+ )()()1( krkk dd BxAx
⎤⎡⎤⎡ ⎥
⎥⎤⎢⎢
⎡
=⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡
= 0
0
0
0
B
trong đó:
⎩ = )()( kky d xC
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
=
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢=
50522
100
010
100
010
123 aaa
dA
⎥⎦⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣
5.1
0
0
a
b
d
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 34
−−−⎥⎦⎢⎣
−−− ..
000 aaa [ ]001=dC
Thành lập PTTT từ PTSP
‘ Trường hơp 2: Vế phải của PTSP có chứa sai phân của tín hiệụ
vào
=++++−+++ − )()1(...)1()( 110 kyakyankyankya nn
)()1(...)2()1( 1210 kubkubnkubnkub nn −− ++++−++−+
‘ Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Ž Biến đầu tiên đặt bằng tín )()(1 kykx =
hiệu ra
Ž Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng 
cách làm sớm biến thứ i−1 )()1()(
)()1()(
223
112
krkxkx
krkxkx
−+=
−+=
β
β
một chu kỳ lấy mẫu và trừ 1 
lượng tỉ lệ với tính hiệu vào )()1()( 11 krkxkx nnn −− −+= β
M
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 35
Thành lập PTTT từ PTSP
Trường hơp 2 (tt)
⎩⎨
⎧ +=+
)()(
)()()1(
kk
krkk dd
C
BxAx
 ï 
‘ Phương trình trạng thái: =y d x
trong đó:
⎤⎡ 0010
⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢ 0100
MMMM
K
K
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡ β
β
2
1
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
)(
)(
2
1
kx
kx
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢
−−−−
=
−− 121
1000
aaaa nnn
d
K
A
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
=
−n
d
β
β 1
MB
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
=
)(
)(
kx
k
n
Mx
⎦⎣ 0000 aaaa
K
n
[ ]0001C
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 36
K=d
Thành lập PTTT từ PTSP
Trường hơp 2 (tt) ï 
Các hệ số β trong vector Bd xác định như sau:
b
0
0
1
b
a
β
β =
0
111
2
aab
a
a
ββ
β −=
0
12212
3 a
β −−=
M
0
1122111
a
aaab nnnn
n
ββββ −−−− −−−−= K
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 37
Thành lập PTTT từ PTSP
Thí du trường hơp 2 ï ï 
‘ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:
)(3)2()(4)1(5)2()3(2 kukukykykyky ++=++++++
⎪
⎪⎨
⎧
−+=
=
)()1()(
)()(
112
1
krkxkx
kykx
β‘ Đặt các biến trạng thái:
⎩ −+= )()1()( 223 krkxkx β
‘ Phương trình trạng thái: ⎨⎧ +=+ )()()1( kukk dd BxAx
⎤⎡⎤⎡ ⎥
⎤⎢⎡ 1
βtrong đó:
⎩ = )()( kky d xC
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
=
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢=
50522
100
010
100
010
123 aaa
dA ⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣
=
3
2
β
βdB
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 38
−−−⎥⎦⎢⎣
−−− ..
000 aaa [ ]001=dC
Thành lập PTTT từ PTSP
Thí du trường hơp 2 (tt) ï ï 
‘ Các hệ số của vector Bd xác định như sau:
⎧ 1b
⎪⎪
⎪
×−−
===
5010
5.0
20
0
1
ab
a
β
β
⎪⎪
⎪⎨
=×−−×−=−−=
−===
37505.05)25.0(13
25.0
2
.
12212
0
111
2
aab
a
βββ
β
⎩
.
20
3 a
⎤⎡ 50
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
−=
3750
25.0
.
dB⇒
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 39
.
Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha 
‘ Xét hệ rời rac mô tả bởi phương trình sai phânï
=++++−+++ − )()1(...)1()( 110 kyakyankyankya nn
)()1(...)1()( 110 kubkubmkubmkub mm ++++−+++ −
‘ Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Ž Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình:
)()()1()1()( 1
0
1
0
1
1
0
1
1 kukxa
akx
a
ankx
a
ankx nn =++++−+++ −L
á è á
)1()( 12 += kxkx
Ž Bien thứ i (i=2..n) đặt bang cách làm sớm bien thứ i−1 một 
chu kỳ lấy mẫu:
)()(
)1()( 23 +=
kk
kxkx
M
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 40
11 += −xx nn
Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha
⎧ ++ )()()1( kkk BA
⎩⎨ =
=
)()( kky
u
d
dd
xC
xx‘ Phương trình trạng thái:
trong đó:
⎥⎤⎢⎡
0010 K
⎥⎤⎢⎡
0⎤⎡ )(k
⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢
=
0100
d
MMMM
K
A ⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢=
0
MdB⎥⎥
⎥
⎢⎢
⎢
= )()( 2
1
kx
x
k Mx
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
−−−− −−
0
1
0
2
0
1
0
1000
a
a
a
a
a
a
a
a nnn K
K
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣1
0⎥⎦⎢⎣ )(kxn
⎥⎤⎢⎡= − 0001 bbb mmdC
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 41
⎦⎣ 000
KK
aaa
Thí dụ thành lập PTTT từ PTSP dùng PP tọa độ pha
‘ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 
)(3)2()(4)1(5)2()3(2 kukukykykyky ++=++++++
‘ Đặt biến trang thái theo phương pháp toa độ pha ta đươc phương ï ï , ï 
trình trạng thái:
⎩⎨
⎧ +=+
)()(
)()()1(
kk
kukk dd
C
BxAx
⎤⎡
trong đó:
=y d x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢=
50522
100
010
100
010
123 aaa
dA
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
dB
−−−⎥⎦⎢⎣
−−− ..
000 aaa
[ ]50051012 ⎥⎤⎢⎡ bbbC
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 42
..
000
=
⎦⎣
=
aaad
Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Thành lập PTTT mô tả hệ rời rac có sơ đồ khối:ï
y(t)+− G(s)ZOH
r(t)
T
eR(t)e(kT)e(t)
‘ Bước 1: Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục (hở):
y(t)eR(t) ⎧ += )()()( tett BAxx&G(s)
⎩⎨ = )()( tty
R
Cx
‘ Bước 2: Tính ma trận quá độ
)]([)( 1 st Φ=Φ −L
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43
( ) 1)( -ss AI −=Φvới
Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Bước 3: Rời rạc hóa PTTT mô tả hệ liên tục (hở):
G(s)ZOH
e(kT) y(kT)
⎪⎧
Φ=Ad T )(
với⎩⎨
⎧
=
+=+
)()(
)()(])1[(
kTkTy
kTekTTk
d
Rdd
xC
BxAx
⎪⎪
⎪⎨ Φ= ∫B
T
d Bd
0
)( ττ
⎩ = CCd
‘ Bước 4: Viết PTTT mô tả hệ rời rac kín (với tín hiệu vào là r(kT))ï
[ ]⎨⎧ +−=+ )()(])1[( kTrkTTk dddd BxCBAx
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44
⎩ = )()( kTkTy d xC
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Thành lập PTTT mô tả hệ rời rac có sơ đồ khối:ï
y(t)+− ZOH
r(t)
T
eR(t)e(kT)e(t) 11 K
x2 x1
sas +
Với a = 2, T = 0.5, K = 10
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Gi ûi
y(t)eR(t)
s
1
2
1
+s 10
x2 x1‘ Bước 1:
a :
s
sXsX )()( 21 = )()( 21 sXssX =⇒ )()( 21 txtx =&⇒
2
)()(2 += s
sEsX R )()()2( 2 sEsXs R=+⇒ )()(2)( 22 tetxtx R+−=&⇒
{
)(
1
0
)(
)(
20
10
)(
)(
2
1
2
1 te
tx
tx
tx
tx
R⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43421&
&
⇒ BA
[ ] ⎥⎤⎢⎡== )(010)(10)( 11 txtxty
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46
⎦⎣ )(2 tx321C
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Bước 2: Tính ma trận quá độ
( )
11
1
20
1
20
10
10
01
)(
−−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=Φ
s
s
sss -AI
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
1
)2(
11
0
12
)2(
1 ssss
⎥⎥⎦⎢⎢⎣ +
+
2
0
s
sss
⎤⎡ ⎬⎫⎨⎧⎬⎫⎨⎧⎫⎧ ⎤⎡ 1111 11 LL
⎥⎥
⎥⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎢
⎣ ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎭⎩ +⎭⎩=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎥⎥
⎥⎥
⎦⎢⎢
⎢⎢
⎣
+=Φ=Φ
−
−−
−−
10
)2(
2
10
)2()]([)(
1
11 ssssssst
L
LL
++ 2ss
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡ −=Φ
− tet
2 )1(
2
11)(⇒
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47
⎦⎣ − te 20
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Bước 3: Rời rac hóa ⎧ +=+ )()(])1[( kTekTTk BxAxï
PTTT của hệ liên tục ⎩⎨ = )()( kTkTy d
Rdd
xC
⎤⎡⎤⎡ 11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
−=⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
−=Φ=
×−
×−
=
−
−
368.00
316.01
0
)1(
2
1
0
)1(
2
1)(
5.02
5.02
2
2
e
e
e
eT
Tt
t
t
dA
∫∫∫ ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=Φ=
−
−
−
− TTT
d d
e
ed
e
ed
0 2
2
0 2
2
0
)1(
2
1
1
0
0
)1(
2
11)( ττττ
τ
τ
τ
τ
BB
⎥⎤⎢⎡⎥
⎥⎤⎢⎢
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
×−−
092.02
1
22
5.0
22 22
5.02
2
2 ee
Tττ
⎦⎣=⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ +−
=
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ −
= ×−− 316.0
2
1
22
5.02
0
2 ee τ
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48
[ ]010== CCd
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
‘ Bước 4: PTTT rời rac mô tả hệ kínï
[ ]
⎩⎨
⎧ +−=+
)()(
)()(])1[(
kTkT
kTrkTTk dddd
xC
BxCBAx
=y d
[ ] [ ] ⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡ 316.0080.0010092.0316.01CBAvới
à
⎦⎣−=⎦⎣−⎦⎣=− 368.0160.3316.0368.00ddd
)(
092.0)(316.0080.0)1( 11 k
kxkx
⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡
+
‘ Vậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc can tìm là:
316.0)(368.0160.3)1( 22
r
kxkx ⎦⎣+⎦⎣⎦⎣−
=
⎦⎣ +
[ ] ⎥⎤⎢⎡ )(010)( 1 kxky
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49
⎦⎣
=
)(
.
2 kx
Tính hàm truyền từ PTTT
‘ Cho hệ rời rac mô tả bởi PTTTï
⎩⎨
⎧
=
+=+
)()(
)()()1(
kky
kukk dd
xC
BxAx
d
‘ Hàm truyền của hệ rời rac là:ï
ddd zU
zYzG BAIC 1)(
)(
)()( −−==
z
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 50
Thí dụ tính hàm truyền từ PTTT
‘ Tính hàm truyền của hệ rời rac mô tả bởi PTTTï
⎩⎨
⎧
=
+=+
)()(
)()()1(
kky
kukk
d
dd
xC
BxAx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1070
10
dA ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
0
dB [ ]01=dC
‘ Giải: Hàm truyền cần tìm là
−− ..
ddd zzG BAIC
1)()( −−=
[ ] ⎥⎤⎢⎡⎟⎟⎞⎜⎜⎛ ⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡=
− 01001
01
1
z ⎦⎣⎠⎝ ⎦⎣ −−
−⎦⎣ 21.07.010
2)(G⇒
25 November 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 51
7.01.02 ++= zzz